📘 Teorie pe înțelesul tuturor
1. Împărțirea exactă (rest zero)
A împărți numerele a și b (cu b ≠ 0) înseamnă să găsim numărul c pentru care a = b · c. Scriem a : b = c.
- a se numește deîmpărțit, b se numește împărțitor, iar c se numește cât.
- Împărțirea exactă se mai numește împărțire cu rest zero.
- Proba se face prin înmulțire: dacă a : b = c, atunci b · c = a. Putem verifica și printr-o altă împărțire: a : c = b.
Reguli de aur (le ții minte ușor!)
- 0 : b = 0 pentru orice b ≠ 0 (nimic împărțit la ceva rămâne nimic).
- a : 1 = a și a : a = 1 (pentru a ≠ 0).
- Nu se poate împărți la 0! Expresia a : 0 nu are sens.
- Câtul a două numere naturale nu este întotdeauna număr natural (de exemplu 7 : 2 nu are cât natural exact).
- Împărțirea la 10, 100, 1000: „tăiem” 1, 2, respectiv 3 zerouri de la sfârșitul deîmpărțitului.
Exemplu: 45000 : 100 = 450, iar 69000 : 1000 = 69.
2. Teorema împărțirii cu rest
Oricare ar fi două numere naturale a și b, cu b ≠ 0, există două numere naturale q și r, unic determinate, astfel încât:
- a = deîmpărțitul, b = împărțitorul, q = câtul, r = restul.
- Condiția r < b este esențială: restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul.
- La împărțirea cu b, resturile posibile sunt 0, 1, 2, …, b − 1 (în total b resturi).
- Dacă r = 0, împărțirea este exactă.
- Proba: calculăm b · q + r și trebuie să obținem deîmpărțitul a.
Exemplu rezolvat 1 – împărțirea „în scris”
Efectuăm 9806 : 27 și facem proba.
9806 : 27 = 363
-81
──
170
-162
───
86
-81
───
5 ← restul
Deci 9806 : 27 = 363 rest 5. Observăm că 5 < 27 ✓.
Proba: 27 · 363 + 5 = 9801 + 5 = 9806 ✓
Exemplu rezolvat 2 – aflarea deîmpărțitului
La o împărțire, împărțitorul este 12, câtul 25 și restul 7. Aflați deîmpărțitul.
Folosim teorema: a = b · q + r = 12 · 25 + 7 = 300 + 7 = 307.
Exemplu rezolvat 3 – toate numerele cu un cât dat
Aflați numerele naturale care împărțite la 5 dau câtul 8.
Scriem a = 5 · 8 + r = 40 + r, cu r < 5, deci r poate fi 0, 1, 2, 3 sau 4.
Numerele sunt: 40, 41, 42, 43, 44.
Exemplu rezolvat 4 – cel mai mare număr cu o proprietate
Aflați cel mai mare număr natural care împărțit la 37 dă câtul de 5 ori mai mic decât restul.
Notăm restul cu r și câtul cu q. Știm că r = 5 · q și că r < 37. Cel mai mare r care este multiplu de 5 și mai mic decât 37 este 35, deci q = 7.
Numărul este a = 37 · 7 + 35 = 259 + 35 = 294.
Exemplu rezolvat 5 – problemă cu „ultimul rând”
47 de puieți se plantează pe rânduri de câte 5. Câți puieți sunt pe ultimul rând?
47 : 5 = 9 rest 2 (pentru că 5 · 9 + 2 = 47). Sunt 9 rânduri pline, iar pe ultimul rând (incomplet) sunt 2 puieți.
⚠️ Greșeli frecvente
- Un rest mai mare sau egal cu împărțitorul este întotdeauna greșit (de exemplu „47 : 5 = 8 rest 7” nu e corect, trebuia 9 rest 2).
- Uităm să facem proba: b · q + r trebuie să dea exact deîmpărțitul.
- Când câtul are zerouri pe parcurs (de exemplu 6125 : 6 = 1020 rest 5), nu uităm să scriem cifra 0 în cât.
- Confundăm „de k ori mai mare” (se înmulțește) cu „de k ori mai mic” (se împarte).