Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 4
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 4
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Rezultatul calculului 18 − 6·(5 − 8) : 2 este egal cu:
Rezolvare. 5 − 8 = −3, apoi 6·(−3) = −18 și (−18) : 2 = −9. În final, 18 − (−9) = 18 + 9 = 27.
5p2. Numărul real x pentru care x + 14 = 32 este egal cu:
Rezolvare. Din proporție, 2(x + 1) = 4·3 = 12, deci x + 1 = 6 și x = 5.
5p3. Numărul divizorilor naturali ai lui 36 este egal cu:
Rezolvare. Divizorii lui 36 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, adică 9 divizori.
5p4. Rezultatul calculului √72 : √2 − √9 este egal cu:
Rezolvare. √72 : √2 = √36 = 6, iar √9 = 3. Deci 6 − 3 = 3.
5p5. Patru elevi determină cel mai mare număr întreg din intervalul (−∞, 2√7) și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 | 7 |
Rezolvare. 2√7 = √28. Cum 25 < 28 < 36, avem 5 < 2√7 < 6, deci cel mai mare număr întreg mai mic decât 2√7 este 5.
5p6. Afirmația „Mulțimea soluțiilor inecuației −2x ≤ 6, x ∈ ℝ, este intervalul (−∞, −3].” este:
Rezolvare. Împărțim la −2 și schimbăm sensul inegalității: x ≥ −3. Soluția este intervalul [−3, +∞), deci afirmația este falsă.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 10 cm și BC = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijlocul segmentului AC. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. AC = 16 cm, deci AN = 8 cm. AM = 5 cm. Cum M și N sunt pe același semisegment din A, MN = AN − AM = 8 − 5 = 3 cm.
5p2. În figura alăturată, punctele A, O și D sunt coliniare, iar unghiurile AOB, BOC și COD sunt adiacente, cu m(∠AOB) = 2x, m(∠BOC) = 3x și m(∠COD) = x. Măsura unghiului BOC este egală cu:
Rezolvare. Unghiurile AOB, BOC și COD formează un unghi alungit: 2x + 3x + x = 180°, deci x = 30°. Atunci m(∠BOC) = 3·30° = 90°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 5 cm și AC = 12 cm, iar M este mijlocul ipotenuzei BC. Lungimea medianei AM este egală cu:
Rezolvare. BC² = 5² + 12² = 169, deci BC = 13 cm. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: AM = 13 : 2 = 6,5 cm.
5p4. În figura alăturată, ABCD este un trapez cu AB ∥ CD, AB = 9 cm și CD = 21 cm. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor neparalele AD, respectiv BC. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. MN este linia mijlocie a trapezului, deci MN = (AB + CD) : 2 = (9 + 21) : 2 = 15 cm.
5p5. În figura alăturată, triunghiul ABC este înscris în cercul de centru O, iar AB = 20 cm este diametru. Dacă m(∠ABC) = 30°, atunci lungimea segmentului AC este egală cu:
Rezolvare. Triunghiul ABC este dreptunghic în C (unghi înscris în semicerc). Cateta AC se opune unghiului de 30°, deci AC = AB : 2 = 10 cm.
5p6. Prisma triunghiulară regulată din figura alăturată are muchia bazei de 6 cm și înălțimea de 10 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu:
Rezolvare. Prisma are 6 muchii ale bazelor (două triunghiuri echilaterale): 6·6 = 36 cm, și 3 muchii laterale: 3·10 = 30 cm. În total 36 + 30 = 66 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Maria are 30 de bancnote, unele de 5 lei, altele de 10 lei.
2pa) Este posibil ca suma totală să fie 145 de lei? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Dacă toate cele 30 de bancnote ar fi de 5 lei, suma ar fi 150 de lei, iar cu bancnote de 10 lei suma crește. Deci suma este cel puțin 150 de lei. (1p) Cum 145 < 150, nu este posibil. (1p)
3pb) Dacă suma totală este 215 lei, determină câte bancnote de 10 lei are Maria.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fie x numărul bancnotelor de 5 lei; atunci are 30 − x bancnote de 10 lei. Suma este 5x + 10(30 − x) = 300 − 5x. (1p) Din 300 − 5x = 215 rezultă 5x = 85, deci x = 17. (1p) Maria are 30 − 17 = 13 bancnote de 10 lei (verificare: 17·5 + 13·10 = 85 + 130 = 215). (1p)
2. Se consideră mulțimea A = {x ∈ ℝ | −1 < (2x + 1)/3 ≤ 3}.
2pa) Arată că A = (−2, 4].
Rezolvare și barem, punctul a)
Înmulțim cu 3: −3 < 2x + 1 ≤ 9. (1p) Scădem 1: −4 < 2x ≤ 8, apoi împărțim la 2: −2 < x ≤ 4. Deci A = (−2, 4]. (1p)
3pb) Determină cel mai mare număr natural n pentru care n² ∈ A.
Rezolvare și barem, punctul b)
n² ∈ (−2, 4] ⇒ n² ≤ 4 (condiția n² > −2 este verificată pentru orice n). (1p) Pentru n natural: n = 0, 1, 2 verifică (0, 1, 4), iar pentru n ≥ 3 avem n² ≥ 9 > 4. (1p) Cel mai mare număr natural este n = 2. (1p)
3. Se consideră expresia E(x) = (2x − 1)² − (2x + 1)(2x − 1) + 3x, unde x este număr real.
2pa) Arată că E(x) = 2 − x, pentru orice număr real x.
Rezolvare și barem, punctul a)
(2x − 1)² = 4x² − 4x + 1 și (2x + 1)(2x − 1) = 4x² − 1 (1p). E(x) = 4x² − 4x + 1 − 4x² + 1 + 3x = 2 − x. (1p)
3pb) Determină numerele întregi x pentru care E(x) ∈ [−1, 3).
Rezolvare și barem, punctul b)
−1 ≤ 2 − x < 3. (1p) Scădem 2: −3 ≤ −x < 1, apoi înmulțim cu −1 și schimbăm sensul inegalităților: −1 < x ≤ 3. (1p) Numerele întregi sunt 0, 1, 2, 3. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC = 12 cm și m(∠BAC) = 120°. Punctul D este piciorul perpendicularei din A pe BC.
2pa) Arată că BC = 12√3 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
AD este înălțime și bisectoare în triunghiul isoscel, deci m(∠BAD) = 60° și m(∠ABD) = 30°. (1p) Atunci AD = AB : 2 = 6 cm, iar BD² = 144 − 36 = 108, deci BD = 6√3 cm și BC = 2·BD = 12√3 cm. (1p)
3pb) Arată că aria triunghiului ABC este egală cu 36√3 cm².
Rezolvare și barem, punctul b)
Aria = BC·AD : 2 (1p) = 12√3·6 : 2 (1p) = 36√3 cm². (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 12 cm și AD = 6 cm. Punctul M este mijlocul laturii CD.
2pa) Arată că AM = 6√2 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
DM = CD : 2 = 6 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic ADM: AM² = AD² + DM² = 36 + 36 = 72, deci AM = 6√2 cm. (1p)
3pb) Arată că triunghiul AMB este dreptunghic.
Rezolvare și barem, punctul b)
Analog, BM = 6√2 cm (triunghiurile ADM și BCM sunt congruente). (1p) AM² + BM² = 72 + 72 = 144 (1p) = AB². Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul AMB este dreptunghic în M. (1p)
6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat VABC, cu muchia de 6 cm. Punctul O este centrul triunghiului echilateral ABC (VO este înălțimea tetraedrului).
2pa) Arată că aria triunghiului VBC este egală cu 9√3 cm².
Rezolvare și barem, punctul a)
Triunghiul VBC este echilateral cu latura 6 cm. (1p) Aria = 6²·√34 = 9√3 cm². (1p)
3pb) Arată că înălțimea VO a tetraedrului este egală cu 2√6 cm.
Rezolvare și barem, punctul b)
Înălțimea triunghiului ABC este 3√3 cm, iar O este centrul de greutate: AO = 23·3√3 = 2√3 cm. (1p) VO este perpendiculară pe planul (ABC), deci VO ⟂ AO. (1p) VO² = VA² − AO² = 36 − 12 = 24, deci VO = √24 = 2√6 cm. (1p)