Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 5
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 5
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Rezultatul calculului 3·(−4)² : 6 − 12 este egal cu:
Rezolvare. (−4)² = 16, deci 3·16 : 6 = 48 : 6 = 8. Atunci 8 − 12 = −4.
5p2. Dacă 2a = 3b, cu b ≠ 0, atunci raportul a − bb este egal cu:
Rezolvare. Din 2a = 3b rezultă ab = 32. Atunci a − bb = ab − 1 = 32 − 1 = 12.
5p3. După o ieftinire cu 25%, un obiect costă 150 de lei. Obiectul s-a ieftinit cu:
Rezolvare. 150 de lei reprezintă 75% din prețul inițial, deci prețul inițial este 150 : 0,75 = 200 de lei. Ieftinirea este 200 − 150 = 50 de lei.
5p4. Numărul întreg x pentru care x < √50 < x + 1 este:
Rezolvare. Cum 7² = 49 < 50 < 64 = 8², avem 7 < √50 < 8, deci x = 7.
5p5. Patru elevi calculează numărul elementelor mulțimii [−√10, √15) ∩ ℤ și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 5 | 6 | 7 | 8 |
Rezolvare. 3 < √10 < 4, deci −4 < −√10 < −3, iar 3 < √15 < 4. Numerele întregi din interval sunt −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, adică 7 numere.
5p6. În diagrama de mai jos este prezentat numărul de cărți citite într-o bibliotecă în primele cinci luni ale anului.Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, în aprilie s-au citit de patru ori mai multe cărți decât în martie.” este:
Rezolvare. În aprilie s-au citit 40 de cărți, iar în martie 10 cărți. Cum 40 = 4·10, afirmația este adevărată.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctul C se află pe segmentul AB, astfel încât AC : CB = 3 : 5. Dacă AB = 24 cm, atunci lungimea segmentului CB este egală cu:
Rezolvare. AC = 3k, CB = 5k și 8k = 24, deci k = 3. Atunci CB = 5·3 = 15 cm (și AC = 9 cm).
5p2. În figura alăturată, triunghiul ABC are m(∠A) = 50° și m(∠B) = 70°, iar CD este bisectoarea unghiului C, cu D ∈ AB. Măsura unghiului ADC este egală cu:
Rezolvare. m(∠C) = 180° − 50° − 70° = 60°, deci m(∠ACD) = 30°. În triunghiul ADC: m(∠ADC) = 180° − 50° − 30° = 100°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A și m(∠B) = 65°. Punctul M este mijlocul ipotenuzei BC. Măsura unghiului AMC este egală cu:
Rezolvare. Mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea jumătate din ipotenuză: AM = MB = MC. Triunghiul AMB este isoscel, deci m(∠MAB) = m(∠B) = 65°. Unghiul AMC este exterior triunghiului AMB: m(∠AMC) = 65° + 65° = 130°.
5p4. Pătratul ABCD din figura alăturată are diagonala AC = 10√2 cm. Aria pătratului este egală cu:
Rezolvare. Dacă latura este l, atunci AC = l√2 = 10√2, deci l = 10 cm. Aria este 10² = 100 cm².
5p5. Din punctul exterior P se duc tangentele PA și PB la un cerc, A și B fiind punctele de tangență. Dacă PA = 8 cm și m(∠APB) = 60°, atunci lungimea segmentului AB este egală cu:
Rezolvare. Tangentele duse dintr-un punct exterior sunt congruente: PA = PB = 8 cm. Triunghiul PAB este isoscel cu un unghi de 60°, deci este echilateral, iar AB = 8 cm.
5p6. Secțiunea axială a conului circular drept din figura alăturată este triunghiul echilateral VAB, cu latura de 10 cm. Înălțimea VO a conului este egală cu:
Rezolvare. O este mijlocul laturii AB, deci AO = 5 cm. Din triunghiul dreptunghic VOA: VO² = VA² − AO² = 100 − 25 = 75, deci VO = √75 = 5√3 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Ana, Bogdan și Cătălin au împreună 195 de lei. Ana are 2/3 din suma pe care o are Bogdan, iar Cătălin are cu 20 de lei mai mult decât Ana.
2pa) Este posibil ca Ana să aibă 40 de lei? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Dacă Ana are 40 de lei, Bogdan are 40 : 2·3 = 60 de lei, iar Cătălin are 40 + 20 = 60 de lei. (1p) Suma ar fi 40 + 60 + 60 = 160 ≠ 195, deci nu este posibil. (1p)
3pb) Determină sumele de bani pe care le au cei trei copii.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fie Bogdan 3k, Ana 2k și Cătălin 2k + 20. (1p) Atunci 3k + 2k + 2k + 20 = 195, deci 7k = 175 și k = 25. (1p) Ana are 50 de lei, Bogdan 75 de lei și Cătălin 70 de lei (verificare: 50 + 75 + 70 = 195). (1p)
2. Se consideră numărul a = (√20 − √5 + √45)·√5.
2pa) Arată că a = 20.
Rezolvare și barem, punctul a)
√20 = 2√5 și √45 = 3√5, deci paranteza este 2√5 − √5 + 3√5 = 4√5. (1p) Atunci a = 4√5·√5 = 4·5 = 20. (1p)
3pb) Determină câte numere întregi se află în intervalul (−√a, √a).
Rezolvare și barem, punctul b)
Intervalul este (−√20, √20). Cum 16 < 20 < 25, avem 4 < √20 < 5. (1p) Numerele întregi din interval sunt −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. (1p) În interval sunt 9 numere întregi. (1p)
3. Numerele reale x și y verifică relațiile x + y = 7 și x·y = 10.
2pa) Arată că x² + y² = 29.
Rezolvare și barem, punctul a)
(x + y)² = x² + 2xy + y² (1p), deci x² + y² = 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29. (1p)
3pb) Determină numerele x și y, știind că x > y.
Rezolvare și barem, punctul b)
(x − y)² = x² + y² − 2xy = 29 − 20 = 9. (1p) Cum x > y, x − y = 3. (1p) Din x + y = 7 și x − y = 3 rezultă x = 5 și y = 2 (verificare: 5·2 = 10). (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu m(∠B) = 30° și BC = 16 cm. Punctul D este piciorul perpendicularei din A pe BC.
2pa) Arată că AC = 8 cm și AB = 8√3 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Cateta AC se opune unghiului de 30°, deci AC = BC : 2 = 8 cm. (1p) AB² = BC² − AC² = 256 − 64 = 192, deci AB = √192 = 8√3 cm. (1p)
3pb) Calculează distanța de la punctul A la dreapta BC.
Rezolvare și barem, punctul b)
Distanța este lungimea înălțimii AD. Aria triunghiului ABC este AB·AC : 2 = 8√3·8 : 2 = 32√3 cm². (1p) Aceeași arie este BC·AD : 2 = 8·AD. (1p) Din 8·AD = 32√3 rezultă AD = 4√3 cm. (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AB = 10 cm, AD = 6 cm și m(∠A) = 60°. Bisectoarea unghiului A intersectează dreapta CD în punctul E, E ∈ CD.
2pa) Arată că DE = 6 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
m(∠DAE) = m(∠EAB) = 30°. Cum AB ∥ CD, unghiurile EAB și DEA sunt alterne interne, deci m(∠DEA) = 30°. (1p) Triunghiul ADE are două unghiuri congruente (∠DAE și ∠DEA), deci este isoscel și DE = AD = 6 cm. (1p)
3pb) Calculează perimetrul patrulaterului ABCE.
Rezolvare și barem, punctul b)
EC = CD − DE = 10 − 6 = 4 cm. (1p) m(∠D) = 180° − 60° = 120°. Fie DM ⟂ AE; în triunghiul isoscel ADE, M este mijlocul lui AE și m(∠DAM) = 30°, deci DM = AD : 2 = 3 cm. Atunci AM² = 36 − 9 = 27, AM = 3√3 cm și AE = 6√3 cm. (1p) Perimetrul = AB + BC + CE + EA = 10 + 6 + 4 + 6√3 = 20 + 6√3 cm. (1p)
6. În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară dreaptă ABCA′B′C′, cu baza ABC triunghi dreptunghic în A, AB = 6 cm, AC = 8 cm și AA′ = 8 cm.
2pa) Arată că BC = 10 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Din teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: BC² = 36 + 64 = 100. (1p) Deci BC = 10 cm. (1p)
3pb) Calculează perimetrul triunghiului A′BC.
Rezolvare și barem, punctul b)
Muchia AA′ este perpendiculară pe planul (ABC), deci AA′ ⟂ AB și AA′ ⟂ AC. (1p) A′B² = AA′² + AB² = 64 + 36 = 100, deci A′B = 10 cm; A′C² = 64 + 64 = 128, deci A′C = 8√2 cm. (1p) Perimetrul = A′B + A′C + BC = 10 + 8√2 + 10 = 20 + 8√2 cm. (1p)