Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 3
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 3
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Rezultatul calculului (−2)³ + 20 : (−4) este egal cu:
Rezolvare. (−2)³ = −8, iar 20 : (−4) = −5. Deci −8 + (−5) = −13.
5p2. Numerele a și b sunt direct proporționale cu 3 și 4, iar a + b = 21. Numărul a este egal cu:
Rezolvare. a3 = b4 = a + b3 + 4 = 217 = 3, deci a = 3·3 = 9 (și b = 12).
5p3. Un obiect costă 200 de lei. Prețul lui se reduce cu 15%, apoi se majorează cu 10% din noul preț. Prețul final al obiectului este:
Rezolvare. După reducere: 200·0,85 = 170 de lei. După majorare: 170·1,1 = 187 de lei.
5p4. Cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5 − 2x > −7, x ∈ ℝ, este:
Rezolvare. 5 − 2x > −7 ⇒ −2x > −12 ⇒ x < 6 (se schimbă sensul inegalității). Cel mai mare număr întreg mai mic decât 6 este 5.
5p5. Patru elevi calculează valoarea expresiei (√3 + 1)² − 2√3 și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 4 + 2√3 |
Rezolvare. (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3. Atunci 4 + 2√3 − 2√3 = 4.
5p6. În diagrama de mai jos este prezentat numărul de elevi ai unei clase, după nota obținută la o lucrare.Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, cei mai mulți elevi au obținut nota 9.” este:
Rezolvare. Cea mai înaltă coloană este cea de la nota 8 (7 elevi), nu cea de la nota 9 (5 elevi). Afirmația este falsă.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctul B se află pe segmentul AC astfel încât AB : BC = 3 : 2. Dacă AC = 30 cm, iar M este mijlocul segmentului AB, atunci lungimea segmentului MC este egală cu:
Rezolvare. AB = 3k, BC = 2k și 5k = 30, deci k = 6: AB = 18 cm și BC = 12 cm. AM = 9 cm, deci MC = AC − AM = 30 − 9 = 21 cm.
5p2. În figura alăturată, dreptele a și b sunt paralele, iar c este secantă. Unghiurile 1 și 2 sunt alterne interne, cu m(∠1) = (2x + 20)° și m(∠2) = (3x − 10)°. Măsura unghiului 1 este egală cu:
Rezolvare. Unghiurile alterne interne formate de două drepte paralele cu o secantă sunt congruente: 2x + 20 = 3x − 10, deci x = 30. Atunci m(∠1) = 2·30 + 20 = 80°.
5p3. Triunghiul echilateral ABC din figura alăturată are perimetrul egal cu 24 cm, iar AD este înălțime. Lungimea înălțimii AD este egală cu:
Rezolvare. Latura triunghiului este 24 : 3 = 8 cm. Înălțimea este și mediană: BD = 4 cm, iar AD² = 8² − 4² = 48, deci AD = 4√3 cm.
5p4. Dreptunghiul ABCD din figura alăturată are AB = 12 cm și diagonala AC = 13 cm. Aria dreptunghiului este egală cu:
Rezolvare. Din triunghiul dreptunghic ABC: BC² = AC² − AB² = 169 − 144 = 25, deci BC = 5 cm. Aria = AB·BC = 12·5 = 60 cm².
5p5. În figura alăturată, triunghiul ABC este înscris în cercul de centru O, iar AB este diametru. Dacă AC = 6 cm și BC = 8 cm, atunci raza cercului este egală cu:
Rezolvare. Unghiul ∠ACB este înscris într-un semicerc, deci triunghiul ABC este dreptunghic în C. AB² = 6² + 8² = 100, deci AB = 10 cm, iar raza este 10 : 2 = 5 cm.
5p6. În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei de 3 cm și înălțimea de 4 cm. Secțiunea axială ABB′A′ este un dreptunghi. Lungimea diagonalei AB′ a secțiunii axiale este egală cu:
Rezolvare. Dreptunghiul ABB′A′ are AB = 2·3 = 6 cm și BB′ = 4 cm. AB′² = 6² + 4² = 52, deci AB′ = √52 = 2√13 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Un turist parcurge un drum în trei zile. În prima zi parcurge 30% din lungimea drumului, în a doua zi parcurge 40% din restul drumului, iar în a treia zi parcurge ultimii 63 km.
2pa) Este posibil ca drumul să aibă lungimea de 200 km? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
După prima zi rămân 70% din drum. În a doua zi parcurge 40% din 70% = 28% din drum, deci în a treia zi rămân 100% − 30% − 28% = 42% din drum. (1p) Pentru un drum de 200 km, 42% din 200 = 84 km ≠ 63 km. Deci nu este posibil. (1p)
3pb) Determină lungimea drumului.
Rezolvare și barem, punctul b)
42% din lungimea drumului este 63 km. (1p) Lungimea drumului este 63 : 0,42 (1p) = 150 km. Verificare: prima zi 45 km, a doua zi 0,4·105 = 42 km, a treia zi 63 km, iar 45 + 42 + 63 = 150. (1p)
2. Se consideră numerele a = √48 : √3 + (√7 − 1)(√7 + 1) − 2 și b = (√8 + √2)².
2pa) Arată că a = 8.
Rezolvare și barem, punctul a)
√48 : √3 = √16 = 4 (1p) și (√7 − 1)(√7 + 1) = 7 − 1 = 6. Atunci a = 4 + 6 − 2 = 8. (1p)
3pb) Arată că media geometrică a numerelor a și b este numărul natural 12.
Rezolvare și barem, punctul b)
√8 = 2√2, deci b = (2√2 + √2)² = (3√2)² = 18. (1p) Media geometrică este √a·b = √8·18 (1p) = √144 = 12 ∈ ℕ. (1p)
3. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ | 3x − 5 ≤ 7} și B = {x ∈ ℝ | 2(x + 1) > −4}.
2pa) Arată că A = (−∞, 4] și B = (−3, +∞).
Rezolvare și barem, punctul a)
3x − 5 ≤ 7 ⇒ 3x ≤ 12 ⇒ x ≤ 4, deci A = (−∞, 4]. (1p) 2(x + 1) > −4 ⇒ x + 1 > −2 ⇒ x > −3, deci B = (−3, +∞). (1p)
3pb) Calculează suma elementelor mulțimii (A ∩ B) ∩ ℤ.
Rezolvare și barem, punctul b)
A ∩ B = (−3, 4]. (1p) Numerele întregi din acest interval sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. (1p) Suma lor este (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC, iar N este un punct pe AB astfel încât MN ⟂ AB.
2pa) Arată că lungimea segmentului AM este egală cu 5 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
BC² = 6² + 8² = 100, deci BC = 10 cm. (1p) AM este mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci AM = BC : 2 = 5 cm. (1p)
3pb) Calculează aria triunghiului AMN.
Rezolvare și barem, punctul b)
MN ⟂ AB și AC ⟂ AB, deci MN ∥ AC. Cum M este mijlocul lui BC, N este mijlocul lui AB și MN este linie mijlocie: MN = AC : 2 = 4 cm și AN = AB : 2 = 3 cm. (1p) Triunghiul AMN este dreptunghic în N. (1p) Aria = AN·MN : 2 = 3·4 : 2 = 6 cm². (1p)
5. Rombul ABCD din figura alăturată are perimetrul egal cu 32 cm și m(∠ABC) = 120°.
2pa) Arată că lungimea diagonalei BD este egală cu 8 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Latura rombului este 32 : 4 = 8 cm. Unghiurile ∠ABC și ∠BAD sunt suplementare, deci m(∠BAD) = 60°. (1p) Triunghiul ABD este isoscel (AB = AD) cu un unghi de 60°, deci este echilateral și BD = 8 cm. (1p)
3pb) Calculează aria rombului ABCD.
Rezolvare și barem, punctul b)
Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc: BO = 4 cm. Din triunghiul dreptunghic AOB: AO² = 64 − 16 = 48, deci AO = 4√3 cm și AC = 8√3 cm. (2p) Aria = AC·BD : 2 = 8√3·8 : 2 = 32√3 cm². (1p)
6. Piramida patrulateră regulată VABCD din figura alăturată are toate muchiile congruente, cu lungimea de 8 cm. Punctul O este centrul bazei.
2pa) Arată că triunghiul VAC este dreptunghic isoscel.
Rezolvare și barem, punctul a)
VA = VC = 8 cm, iar AC = 8√2 cm (diagonala pătratului ABCD). (1p) VA² + VC² = 64 + 64 = 128 = AC², deci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul VAC este dreptunghic în V și isoscel. (1p)
3pb) Calculează lungimea înălțimii VO a piramidei.
Rezolvare și barem, punctul b)
O este mijlocul ipotenuzei AC, deci VO este mediană în triunghiul dreptunghic VAC. (1p) Mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea jumătate din ipotenuză: (1p) VO = AC : 2 = 4√2 cm. (1p)