Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 2
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 2
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Cel mai mic număr natural de trei cifre divizibil cu 7 este:
Rezolvare. 100 : 7 = 14 rest 2, iar 7·14 = 98 are doar două cifre. Următorul multiplu este 7·15 = 105.
5p2. Dacă ab = 25, cu a și b nenule, atunci a + bb este egal cu:
Rezolvare. a + bb = ab + bb = 25 + 1 = 75.
5p3. Soluția ecuației 3(x − 2) = 2x + 1, x ∈ ℝ, este numărul:
Rezolvare. 3x − 6 = 2x + 1, deci 3x − 2x = 1 + 6, adică x = 7.
5p4. Numărul √45 − √20 este egal cu:
Rezolvare. √45 = 3√5 și √20 = 2√5, deci diferența este 3√5 − 2√5 = √5.
5p5. Patru elevi determină numărul elementelor mulțimii A = {x ∈ ℤ | −4 < 2x + 1 ≤ 9} și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ioana | Matei | Sara | Vlad |
|---|---|---|---|
| 5 | 6 | 7 | 8 |
Rezolvare. −4 < 2x + 1 ≤ 9 ⇒ −5 < 2x ≤ 8 ⇒ −2,5 < x ≤ 4. Numerele întregi sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, adică 7 numere.
5p6. Afirmația „Numărul 3√2 aparține intervalului [4, 5).” este:
Rezolvare. 3√2 = √18. Cum 16 < 18 < 25, avem 4 < √18 < 5, deci numărul aparține intervalului [4, 5). Afirmația este adevărată.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctul M se află pe segmentul AB astfel încât AM = 2·MB. Dacă AB = 18 cm, atunci lungimea segmentului AM este egală cu:
Rezolvare. AB = AM + MB = 2·MB + MB = 3·MB, deci MB = 6 cm și AM = 12 cm.
5p2. În figura alăturată, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente, cu m(∠AOB) = 70° și m(∠BOC) = 30°. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOC. Măsura unghiului BOM este egală cu:
Rezolvare. m(∠AOC) = 70° + 30° = 100°, deci m(∠AOM) = 50°. Atunci m(∠BOM) = m(∠AOB) − m(∠AOM) = 70° − 50° = 20°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu m(∠B) = 30° și BC = 14 cm. Lungimea catetei AC este egală cu:
Rezolvare. Cateta AC se opune unghiului de 30°, deci este jumătate din ipotenuză: AC = 14 : 2 = 7 cm.
5p4. În figura alăturată, rombul ABCD are diagonalele AC = 12 cm și BD = 16 cm. Perimetrul rombului este egal cu:
Rezolvare. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc: AO = 6 cm, BO = 8 cm. Din triunghiul dreptunghic AOB: AB² = 36 + 64 = 100, deci AB = 10 cm. Perimetrul este 4·10 = 40 cm.
5p5. În figura alăturată, cercul de centru O are raza de 10 cm, iar AB este o coardă. Dacă OM ⟂ AB, M ∈ AB, și OM = 6 cm, atunci lungimea coardei AB este egală cu:
Rezolvare. Perpendiculara din centru pe coardă trece prin mijlocul ei: AM = MB. Din triunghiul dreptunghic OMA: AM² = 10² − 6² = 64, deci AM = 8 cm și AB = 16 cm.
5p6. Piramida patrulateră regulată VABCD din figura alăturată are AB = 8 cm și înălțimea VO = 3 cm (O este centrul bazei). Punctul M este mijlocul laturii BC. Lungimea segmentului VM este egală cu:
Rezolvare. OM este jumătate din latura pătratului: OM = 8 : 2 = 4 cm, iar VO este perpendiculară pe planul bazei, deci VO ⟂ OM. Din triunghiul dreptunghic VOM: VM² = 3² + 4² = 25, deci VM = 5 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Suma a două numere naturale este 58. Împărțind numărul mai mare la cel mai mic, se obține câtul 4 și restul 3.
2pa) Este posibil ca cele două numere să fie 40 și 18? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Suma 40 + 18 = 58 convine, dar 40 : 18 = 2 rest 4, deci nu se obține câtul 4 și restul 3. (1p) Prin urmare, nu este posibil. (1p)
3pb) Determină cele două numere.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fie b numărul mai mic. Numărul mai mare este a = 4b + 3. (1p) Din a + b = 58 rezultă 5b + 3 = 58, deci b = 11. (1p) Atunci a = 4·11 + 3 = 47. Numerele sunt 47 și 11 (verificare: 47 + 11 = 58 și restul 3 < 11). (1p)
2. Se consideră numărul a = (√98 − √32) : √2 + 3·(√2)² − 4.
2pa) Arată că a = 5.
Rezolvare și barem, punctul a)
√98 = 7√2 și √32 = 4√2, deci (√98 − √32) : √2 = 3√2 : √2 = 3. (1p) Atunci a = 3 + 3·2 − 4 = 5. (1p)
3pb) Determină numărul elementelor mulțimii A = {x ∈ ℤ | −a ≤ 3x − 2 < a}.
Rezolvare și barem, punctul b)
Cu a = 5: −5 ≤ 3x − 2 < 5. (1p) Adunăm 2: −3 ≤ 3x < 7, apoi împărțim la 3: −1 ≤ x < 7/3 (adică 2,33…). (1p) Numerele întregi sunt −1, 0, 1, 2, deci mulțimea A are 4 elemente. (1p)
3. Se consideră expresia E(x) = (x + 3)² − (x − 2)(x + 2) − 2(x + 1), unde x este număr real.
2pa) Arată că E(x) = 4x + 11, pentru orice număr real x.
Rezolvare și barem, punctul a)
(x + 3)² = x² + 6x + 9, (x − 2)(x + 2) = x² − 4 (1p). E(x) = x² + 6x + 9 − x² + 4 − 2x − 2 = 4x + 11. (1p)
3pb) Determină numerele întregi n pentru care −5 ≤ E(n) < 15.
Rezolvare și barem, punctul b)
−5 ≤ 4n + 11 < 15 (1p). Scădem 11: −16 ≤ 4n < 4, apoi împărțim la 4: −4 ≤ n < 1. (1p) Numerele întregi sunt −4, −3, −2, −1, 0. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 15 cm și AC = 20 cm. Punctul D se află pe BC, astfel încât AD ⟂ BC.
2pa) Arată că BC = 25 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Din teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: BC² = AB² + AC² = 225 + 400 = 625. (1p) Deci BC = 25 cm. (1p)
3pb) Arată că aria triunghiului ADC este egală cu 96 cm².
Rezolvare și barem, punctul b)
Aria triunghiului ABC este AB·AC : 2 = 150 cm² și este egală cu BC·AD : 2, deci 25·AD = 300 și AD = 12 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic ADC: DC² = AC² − AD² = 400 − 144 = 256, deci DC = 16 cm. (1p) Aria triunghiului ADC = AD·DC : 2 = 12·16 : 2 = 96 cm². (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AB = 12 cm, AD = 8 cm și m(∠A) = 60°. Punctul E este piciorul perpendicularei din D pe dreapta AB.
2pa) Arată că distanța de la punctul D la dreapta AB este egală cu 4√3 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
În triunghiul dreptunghic AED, m(∠ADE) = 30°, deci AE = AD : 2 = 4 cm. (1p) DE² = AD² − AE² = 64 − 16 = 48, deci DE = 4√3 cm. (1p)
3pb) Calculează lungimea diagonalei BD.
Rezolvare și barem, punctul b)
EB = AB − AE = 12 − 4 = 8 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic DEB: BD² = DE² + EB² = 48 + 64 = 112. (1p) Deci BD = √112 = 4√7 cm. (1p)
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul muchiei A′B′, iar N este mijlocul muchiei B′C′.
2pa) Arată că dreptele MN și AC sunt paralele.
Rezolvare și barem, punctul a)
MN este linie mijlocie în triunghiul A′B′C′, deci MN ∥ A′C′. (1p) Patrulaterul AA′C′C este dreptunghi (AA′ ∥ CC′ și AA′ = CC′), deci A′C′ ∥ AC. Atunci MN ∥ AC. (1p)
3pb) Calculează perimetrul patrulaterului AMNC.
Rezolvare și barem, punctul b)
AC = 4√2 cm (diagonala unui pătrat cu latura 4 cm) și MN = A′C′ : 2 = 2√2 cm. (1p) AA′ ⟂ A′M, deci AM² = AA′² + A′M² = 16 + 4 = 20 și AM = 2√5 cm; analog CN = 2√5 cm. (1p) Perimetrul = 4√2 + 2√2 + 2√5 + 2√5 = 6√2 + 4√5 cm. (1p)