Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 9
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 9
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Rezultatul calculului 2⁵⁰ : 2⁴⁸ + 3²·(−1)²⁰²⁵ este egal cu:
Rezolvare. 2⁵⁰ : 2⁴⁸ = 2² = 4, iar (−1)²⁰²⁵ = −1 (exponent impar). Deci 4 + 9·(−1) = 4 − 9 = −5.
5p2. Dacă 2a − 3b = 0, cu b ≠ 0, atunci raportul 3a + bb este egal cu:
Rezolvare. Din 2a = 3b rezultă ab = 32. Atunci 3a + bb = 3·ab + 1 = 92 + 1 = 112.
5p3. Prețul unui obiect scade cu 20%, apoi crește cu p% din noul preț, iar prețul final este egal cu prețul inițial. Numărul p este egal cu:
Rezolvare. Fie x prețul inițial. După scădere: 0,8x. După creștere: 0,8x·(1 + p/100) = x, deci 1 + p/100 = 1,25 și p = 25.
5p4. Numărul numerelor întregi n pentru care 2n − 1 ∈ (−5, 9] este egal cu:
Rezolvare. −5 < 2n − 1 ≤ 9 ⇒ −4 < 2n ≤ 10 ⇒ −2 < n ≤ 5. Numerele întregi sunt −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, adică 7 numere.
5p5. Patru elevi calculează valoarea expresiei (√7 + √3)² − (√7 − √3)² și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 10 | 4√21 | 2√21 | 4√10 |
Rezolvare. (√7 + √3)² = 10 + 2√21, iar (√7 − √3)² = 10 − 2√21. Diferența este 4√21.
5p6. Afirmația „Media aritmetică a numerelor 3 − √5 și 3 + √5 este egală cu √5.” este:
Rezolvare. Media aritmetică este ((3 − √5) + (3 + √5)) : 2 = 6 : 2 = 3, nu √5. Afirmația este falsă.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB : BC : CD = 2 : 3 : 5 și AD = 40 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. Cu AB = 2k, BC = 3k, CD = 5k: 10k = 40, deci k = 4 și AB = 8, BC = 12, CD = 20 cm. M este la 4 cm de A, iar N este la 40 − 10 = 30 cm de A. MN = 30 − 4 = 26 cm.
5p2. În figura alăturată, unghiurile AOB, BOC și COD sunt adiacente, cu m(∠AOB) = 40°, m(∠COD) = 60° și m(∠AOD) = 160°. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului AOM este egală cu:
Rezolvare. m(∠BOC) = 160° − 40° − 60° = 60°, deci m(∠BOM) = 30°. Atunci m(∠AOM) = m(∠AOB) + m(∠BOM) = 40° + 30° = 70°.
5p3. Triunghiul echilateral ABC din figura alăturată are aria egală cu 9√3 cm². Perimetrul triunghiului este egal cu:
Rezolvare. Aria triunghiului echilateral cu latura l este l²√34. Din l²√34 = 9√3 rezultă l² = 36, deci l = 6 cm, iar perimetrul este 3·6 = 18 cm.
5p4. Dreptunghiul ABCD din figura alăturată are diagonala AC = 16 cm, iar diagonalele AC și BD se intersectează în O, cu m(∠AOB) = 60°. Aria dreptunghiului este egală cu:
Rezolvare. Diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc: OA = OB = 8 cm. Triunghiul AOB este isoscel cu un unghi de 60°, deci echilateral și AB = 8 cm. BC² = AC² − AB² = 256 − 64 = 192, deci BC = 8√3 cm. Aria = 8·8√3 = 64√3 cm².
5p5. În figura alăturată, triunghiul isoscel ABC (AB = AC), cu m(∠BAC) = 40°, este înscris într-un cerc, iar punctul D se află pe arcul mic BC. Măsura unghiului BDC este egală cu:
Rezolvare. Arcul mic BC are 2·40° = 80° (unghiul înscris BAC are jumătate din arcul pe care îl subîntinde). Arcul mare BAC are 360° − 80° = 280°, deci m(∠BDC) = 280° : 2 = 140°. (Patrulaterul ABDC este inscriptibil, deci unghiurile opuse A și D au suma 180°.)
5p6. Cilindrul circular drept din figura alăturată are secțiunea axială un pătrat, cu diagonala AB′ = 10√2 cm. Înălțimea cilindrului este egală cu:
Rezolvare. Dacă latura pătratului este l, diagonala este l√2 = 10√2, deci l = 10 cm. Înălțimea cilindrului este latura pătratului: 10 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Un număr natural de două cifre este de 7 ori mai mare decât suma cifrelor sale.
2pa) Verifică dacă numărul 42 are această proprietate.
Rezolvare și barem, punctul a)
Suma cifrelor lui 42 este 4 + 2 = 6 (1p), iar 7·6 = 42. Deci numărul 42 are proprietatea. (1p)
3pb) Determină toate numerele de două cifre care au această proprietate.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fie numărul 10a + b, cu a ≠ 0. Condiția devine 10a + b = 7(a + b). (1p) Rezultă 3a = 6b, adică a = 2b. (1p) Cum a este cifră nenulă, b ∈ {1, 2, 3, 4}, iar numerele sunt 21, 42, 63 și 84. (Pentru b = 0 ar rezulta a = 0, imposibil.) (1p)
2. Se consideră numerele a = √3 − 1√3 + √5 − √3√15 + 3 − √5√45 și b = 3 − √((√5 − 3)²) + √20.
2pa) Arată că a = 2/3.
Rezolvare și barem, punctul a)
Amplificăm termenii: √3 − 1√3 = 1 − 1√3, √5 − √3√15 = 1√3 − 1√5 și 3 − √5√45 = 3 − √53√5 = 1√5 − 13. (1p) Prin însumare se reduc termenii opuși: a = 1 − 13 = 23. (1p)
3pb) Stabilește dacă a + b ∈ [7, 8).
Rezolvare și barem, punctul b)
Cum √5 < 3, avem √((√5 − 3)²) = |√5 − 3| = 3 − √5, iar √20 = 2√5. Deci b = 3 − (3 − √5) + 2√5 = 3√5. (1p) a + b = 23 + 3√5 = 23 + √45. Cum 6 < √45 < 7, avem 203 < a + b < 233; pentru o încadrare mai fină: 613 = 193 cu 3619 = 40,1… ≤ 45, deci √45 ≥ 193, iar 223² = 4849 = 53,7… > 45, deci √45 < 223. (1p) Atunci a + b ∈ (213, 243) = (7, 8), adică a + b ∈ [7, 8). (1p)
3. Prețul unui obiect se reduce cu 20%, apoi noul preț se reduce cu 25%, iar la final prețul obținut se majorează cu 50%.
2pa) Arată că prețul final reprezintă 90% din prețul inițial.
Rezolvare și barem, punctul a)
Fie p prețul inițial. După prima reducere: 0,8p. (1p) După a doua reducere: 0,75·0,8p = 0,6p, iar după majorare: 1,5·0,6p = 0,9p = 90% din p. (1p)
3pb) Dacă prețul final este 270 de lei, determină prețul inițial.
Rezolvare și barem, punctul b)
0,9p = 270 (1p), deci p = 270 : 0,9 (1p) = 300 de lei. Verificare: 300 → 240 → 180 → 270. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 12 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC, iar N este mijlocul laturii CD. Dreptele AM și BN se intersectează în punctul P.
2pa) Demonstrează că AM ⟂ BN.
Rezolvare și barem, punctul a)
Triunghiurile ABM și BCN sunt congruente (LUL): AB = BC, BM = CN și m(∠ABM) = m(∠BCN) = 90°. (1p) Rezultă m(∠BAM) = m(∠CBN). Atunci, în triunghiul ABP: m(∠BAP) + m(∠ABP) = m(∠CBN) + m(∠ABP) = m(∠ABC) = 90°, deci m(∠APB) = 90° și AM ⟂ BN. (1p)
3pb) Arată că BP = 12√55 cm.
Rezolvare și barem, punctul b)
Din triunghiul dreptunghic ABM: BM = 6 cm și AM² = 144 + 36 = 180, deci AM = 6√5 cm. (1p) Cum BP ⟂ AM, BP este înălțime în triunghiul ABM, deci aria(ABM) = AB·BM : 2 = AM·BP : 2. (1p) BP = 12·66√5 = 12√5 = 12√55 cm. (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, m(∠A) = m(∠D) = 90°, AB = 4 cm și CD = 9 cm. Diagonalele AC și BD sunt perpendiculare.
2pa) Arată că triunghiurile ABD și DAC sunt asemenea.
Rezolvare și barem, punctul a)
Fie O = AC ∩ BD. În triunghiul AOD, m(∠OAD) + m(∠ODA) = 90°, adică m(∠DAC) + m(∠ADB) = 90°. (1p) Cum m(∠DAB) = 90°, în triunghiul ABD avem m(∠ADB) + m(∠ABD) = 90°. Rezultă m(∠DAC) = m(∠ABD). Triunghiurile ABD și DAC au m(∠BAD) = m(∠ADC) = 90° și m(∠ABD) = m(∠DAC), deci sunt asemenea (UU). (1p)
3pb) Calculează lungimea laturii AD.
Rezolvare și barem, punctul b)
Din asemănarea ΔABD ~ ΔDAC (A ↔ D, B ↔ A, D ↔ C) rezultă AB/DA = AD/DC = BD/AC. (1p) Deci AD² = AB·DC (1p) = 4·9 = 36, adică AD = 6 cm. (1p)
6. În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată REMS, cu vârful R, baza triunghiul echilateral EMS, cu EM = 12 cm, și muchiile laterale RE = RM = RS = 10 cm. Punctul O este centrul bazei, iar RO este înălțimea piramidei.
2pa) Arată că înălțimea RO a piramidei este egală cu 2√13 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Înălțimea triunghiului EMS este 6√3 cm, iar O este centrul de greutate: EO = 23·6√3 = 4√3 cm. (1p) RO ⟂ (EMS), deci RO ⟂ EO, iar RO² = RE² − EO² = 100 − 48 = 52, adică RO = √52 = 2√13 cm. (1p)
3pb) Calculează suma ariilor fețelor laterale ale piramidei.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fiecare față laterală este un triunghi isoscel cu laturile 10, 10 și 12 cm. Înălțimea din R pe EM cade în mijlocul lui EM: h² = 100 − 36 = 64, deci h = 8 cm. (1p) Aria unei fețe laterale = 12·8 : 2 = 48 cm². (1p) Cele trei fețe laterale sunt congruente, deci suma ariilor lor este 3·48 = 144 cm². (1p)