Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 7
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 7
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Valoarea expresiei (−1)²⁰²⁶ + (−1)²⁰²⁷ + 2³ − 3² este egală cu:
Rezolvare. (−1)²⁰²⁶ = 1 (exponent par) și (−1)²⁰²⁷ = −1 (exponent impar). Expresia este 1 − 1 + 8 − 9 = −1.
5p2. Dacă xy = 34, cu y nenul, atunci raportul 2x + yy este egal cu:
Rezolvare. 2x + yy = 2·xy + 1 = 2·34 + 1 = 32 + 1 = 52.
5p3. Un elev rezolvă corect 60% din cele 25 de probleme date. Numărul problemelor rămase nerezolvate este:
Rezolvare. 60% din 25 = 15 probleme rezolvate, deci au rămas 25 − 15 = 10 probleme.
5p4. Soluția ecuației x + 12 − x − 13 = 1, x ∈ ℝ, este numărul:
Rezolvare. Înmulțim cu 6: 3(x + 1) − 2(x − 1) = 6, adică 3x + 3 − 2x + 2 = 6, deci x + 5 = 6 și x = 1.
5p5. Patru elevi calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℤ | −3 ≤ 3x + 1 < 10} și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Rezolvare. −3 ≤ 3x + 1 < 10 ⇒ −4 ≤ 3x < 9 ⇒ −1,33… ≤ x < 3. Numerele întregi sunt −1, 0, 1, 2, iar suma lor este 2.
5p6. Afirmația „Numărul 4√3 este mai mic decât 7.” este:
Rezolvare. 4√3 = √48, iar 7 = √49. Cum 48 < 49, rezultă 4√3 < 7. Afirmația este adevărată.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctul B se află pe segmentul AC, astfel încât AB = 2·BC. Dacă AC = 18 cm, M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijlocul segmentului BC, atunci lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. AB = 12 cm și BC = 6 cm. MB = 6 cm și BN = 3 cm. Cum B se află între M și N, MN = MB + BN = 6 + 3 = 9 cm (în general, MN = AC : 2).
5p2. În figura alăturată, triunghiul ABC are m(∠A) = 3x, m(∠B) = 4x și m(∠C) = 5x. Măsura unghiului C este egală cu:
Rezolvare. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°: 3x + 4x + 5x = 180°, deci 12x = 180° și x = 15°. Atunci m(∠C) = 5·15° = 75°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, m(∠B) = 60° și BC = 20 cm. Aria triunghiului ABC este egală cu:
Rezolvare. m(∠C) = 30°, deci AB = BC : 2 = 10 cm. AC² = 400 − 100 = 300, deci AC = 10√3 cm. Aria = AB·AC : 2 = 10·10√3 : 2 = 50√3 cm².
5p4. Rombul ABCD din figura alăturată are latura de 8 cm și m(∠A) = 60°. Lungimea diagonalei AC este egală cu:
Rezolvare. Triunghiul ABD este isoscel cu un unghi de 60°, deci echilateral, iar BD = 8 cm, BO = 4 cm. Din triunghiul dreptunghic AOB: AO² = 64 − 16 = 48, deci AO = 4√3 cm și AC = 2·AO = 8√3 cm.
5p5. Punctele A, B și C se află pe cercul de centru O din figura alăturată, iar m(∠ACB) = 50°. Măsura unghiului OAB este egală cu:
Rezolvare. Unghiul înscris ∠ACB are 50°, deci unghiul la centru ∠AOB are 100°. Triunghiul AOB este isoscel (OA = OB), deci m(∠OAB) = (180° − 100°) : 2 = 40°.
5p6. Conul circular drept din figura alăturată are raza bazei OB = 5 cm și generatoarea VB = 13 cm. Înălțimea VO a conului este egală cu:
Rezolvare. Triunghiul VOB este dreptunghic în O: VO² = VB² − OB² = 169 − 25 = 144, deci VO = 12 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Tatăl are 42 de ani, iar fiul lui are 12 ani.
2pa) Este posibil ca peste 4 ani vârsta tatălui să fie triplul vârstei fiului? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Peste 4 ani, tatăl va avea 46 de ani, iar fiul 16 ani. (1p) Triplul vârstei fiului ar fi 48 ≠ 46, deci nu este posibil. (1p)
3pb) Peste câți ani vârsta tatălui va fi dublul vârstei fiului?
Rezolvare și barem, punctul b)
Peste x ani, tatăl va avea 42 + x ani, iar fiul 12 + x ani. (1p) 42 + x = 2(12 + x) ⇒ 42 + x = 24 + 2x ⇒ x = 18. (1p) Peste 18 ani tatăl va avea 60 de ani, iar fiul 30 de ani, adică dublu. (1p)
2. Se consideră numerele a = 6√3 + √27 − 12√12 și b = √48 − √27.
2pa) Arată că a = 3√3.
Rezolvare și barem, punctul a)
6√3 = 2√3, √27 = 3√3 și 12√12 = √12 = 2√3. (1p) Atunci a = 2√3 + 3√3 − 2√3 = 3√3. (1p)
3pb) Arată că media geometrică a numerelor a și b este numărul natural 3.
Rezolvare și barem, punctul b)
b = 4√3 − 3√3 = √3. (1p) Media geometrică este √a·b = √3√3·√3 (1p) = √3·3 = √9 = 3. (1p)
3. Se consideră mulțimile A = (−3, 9] și B = {x ∈ ℝ | 3(x − 1) ≤ 2x + 4}.
2pa) Arată că B = (−∞, 7].
Rezolvare și barem, punctul a)
3x − 3 ≤ 2x + 4 (1p) ⇒ 3x − 2x ≤ 4 + 3 ⇒ x ≤ 7, deci B = (−∞, 7]. (1p)
3pb) Determină numerele naturale pare din mulțimea A ∩ B.
Rezolvare și barem, punctul b)
A ∩ B = (−3, 9] ∩ (−∞, 7] = (−3, 7]. (1p) Numerele naturale din acest interval sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (1p) Cele pare sunt 0, 2, 4, 6. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, m(∠A) = m(∠D) = 90°, AB = 6 cm, AD = 8 cm și BC = 10 cm. Punctul M este mijlocul laturii AD.
2pa) Arată că CD = 12 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Fie BE ⟂ CD, E ∈ CD. ABED este dreptunghi, deci BE = AD = 8 cm și DE = AB = 6 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic BEC: EC² = 100 − 64 = 36, deci EC = 6 cm și CD = 6 + 6 = 12 cm. (1p)
3pb) Calculează aria triunghiului BMC.
Rezolvare și barem, punctul b)
Aria trapezului ABCD = (6 + 12)·8 : 2 = 72 cm². (1p) Cum M este mijlocul lui AD, AM = MD = 4 cm. Aria triunghiului ABM = 6·4 : 2 = 12 cm², iar aria triunghiului MDC = 4·12 : 2 = 24 cm². (1p) Aria triunghiului BMC = 72 − 12 − 24 = 36 cm². (1p)
5. În figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 15 cm și BC = 10 cm. Bisectoarea unghiului ABC intersectează latura AC în D, iar paralela prin D la BC intersectează latura AB în E.
2pa) Arată că EB = ED.
Rezolvare și barem, punctul a)
Cum DE ∥ BC, unghiurile EDB și DBC sunt alterne interne, deci m(∠EDB) = m(∠DBC). (1p) BD este bisectoarea unghiului ABC, deci m(∠DBC) = m(∠EBD). Rezultă m(∠EDB) = m(∠EBD), deci triunghiul EBD este isoscel și EB = ED. (1p)
3pb) Calculează perimetrul triunghiului AED.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fie EB = ED = y; atunci AE = 15 − y. Triunghiurile AED și ABC sunt asemenea (DE ∥ BC), deci AE/AB = ED/BC: (15 − y)/15 = y/10. (1p) Rezultă 10(15 − y) = 15y, adică 150 = 25y și y = 6. Atunci AE = 9 cm și ED = 6 cm. (1p) Triunghiul AED este asemenea cu ABC, care este isoscel, deci AD = AE = 9 cm. Perimetrul = 9 + 9 + 6 = 24 cm. (1p)
6. În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu toate muchiile de 8 cm. Punctul M este mijlocul muchiei VA, iar N este mijlocul muchiei VD.
2pa) Arată că dreptele MN și BC sunt paralele.
Rezolvare și barem, punctul a)
MN este linie mijlocie în triunghiul VAD, deci MN ∥ AD. (1p) Cum ABCD este pătrat, AD ∥ BC. Atunci MN ∥ BC. (1p)
3pb) Calculează perimetrul patrulaterului MNCB.
Rezolvare și barem, punctul b)
MN = AD : 2 = 4 cm și BC = 8 cm. (1p) Triunghiul VAB este echilateral cu latura 8 cm, iar BM este mediană, deci și înălțime: BM² = 64 − 16 = 48 și BM = 4√3 cm; analog CN = 4√3 cm. (1p) Perimetrul = 4 + 8 + 4√3 + 4√3 = 12 + 8√3 cm. (1p)