Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

Teorema celor trei perpendiculare și reciproca ei, distanța de la un punct la o dreaptă, calcule de distanțe în corpuri.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Teorema celor trei perpendiculare

Fie α un plan, A ∈ α, VA ⟂ α, d ⊂ α, B ∈ d cu AB ⟂ d. Atunci VB ⟂ d. Cu alte cuvinte, dacă o dreaptă din plan este perpendiculară pe proiecția unei oblice, ea este perpendiculară și pe oblică (și reciproc).

VA ⟂ α   AB ⟂ d   ⇒   VB ⟂ d   (T3⊥)
distanța de la V la d = VB   VB² = VA² + AB²
VABC

VA ⟂ (ABC), AB ⟂ BC ⇒ VB ⟂ BC

AA′BB′CC′DD′

BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′ ⇒ BC ⟂ A′B

Distanța de la un punct la o dreaptă

Este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. De obicei o aflăm prin T3⊥: coborâm perpendiculara din punct pe plan, apoi din piciorul ei pe dreaptă.

Exemplul 1. Într-un paralelipiped dreptunghic cu AB = 3, BC = 4 și AA′ = 12 (cm), află distanța de la A′ la dreapta BC.
Metoda 1 (cu T3⊥). AA′ ⟂ (ABC), AB ⟂ BC ⇒ A′B ⟂ BC. Distanța = A′B = √(AA′² + AB²) = √(144 + 9) = √153 = 3√17 cm.
Metoda 2 (BC ⟂ (ABB′)). BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′ ⇒ BC ⟂ (ABB′) ⇒ BC ⟂ A′B; aceeași concluzie.
Exemplul 2. Într-un cub cu muchia 6 cm, află distanța de la A′ la dreapta BD.
Metoda 1 (cu T3⊥). Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AO = 3√2. AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD. A′O² = 36 + 18 = 54 ⇒ A′O = 3√6 cm.
Metoda 2 (cu triunghiul A′BD). A′BD este echilateral cu latura 6√2; înălțimea din A′ este 6√2·√3/2 = 3√6 cm.
Exemplul 3. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 16 și VO = 15 (cm). Află distanța de la V la AB și distanța de la O la planul (VAB).
Metoda 1 (apotema și aria). OM = 8, VM = √(225 + 64) = 17 (VM ⟂ AB, T3⊥). Din OP·VM = VO·OM: OP = 15·8/17 = 120/17 cm.
Metoda 2 (cu asemănare). Triunghiurile VOM și OPM sunt asemenea: OP/VO = OM/VM ⇒ OP = 15·8/17.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 9√2  ·  C) 9√3  ·  D) 18  ·  E) 10
  2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 6 cm, AA′ = 2 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 15  ·  C) 9  ·  D) 6  ·  E) 8
  3. Teorema celor trei perpendiculare: dacă VA ⟂ α, A ∈ α, d ⊂ α, AB ⟂ d (B ∈ d), atunci:VABC
    Variante: A) VB ⟂ α  ·  B) VA ∥ d  ·  C) VB = AB  ·  D) VB ∥ d  ·  E) VB ⟂ d
  4. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 3 cm, AA′ = 6 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3  ·  B) 6  ·  C) 9  ·  D) 8  ·  E) 14
  5. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 1  ·  B) 5√2  ·  C) 0  ·  D) 5  ·  E) 10
  6. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 2 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4  ·  B) 2  ·  C) 0  ·  D) 2√2  ·  E) 1
  7. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 3 cm, AA′ = 8 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) 11  ·  C) 7  ·  D) 3  ·  E) 4
  8. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea:
    Variante: A) segmentului paralel cu dreapta  ·  B) segmentului dus la un punct fix al dreptei  ·  C) perpendicularei duse din punct pe dreaptă  ·  D) unui segment oblic  ·  E) oricărui segment dus din punct la dreaptă
  9. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 1  ·  B) 8√2  ·  C) 0  ·  D) 16  ·  E) 8
  10. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3√2  ·  B) 3√3  ·  C) 3  ·  D) 4  ·  E) 6
  11. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 10 cm, AA′ = 5 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10  ·  B) 5  ·  C) 14  ·  D) 15  ·  E) 4
  12. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 1  ·  B) 14  ·  C) 7  ·  D) 7√2  ·  E) 0
  13. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 7 cm, AA′ = 6 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 11  ·  B) 13  ·  C) 6  ·  D) 7  ·  E) 5
  14. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 11 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 1  ·  B) 11  ·  C) 22  ·  D) 0  ·  E) 11√2
  15. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 5 cm, AA′ = 7 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 15  ·  C) 10  ·  D) 7  ·  E) 5
  16. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 6  ·  C) 0  ·  D) 6√2  ·  E) 1
  17. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 4 cm, AA′ = 9 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4  ·  B) 13  ·  C) 9  ·  D) 8  ·  E) 17
  18. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√3  ·  B) 6  ·  C) 5√2  ·  D) 10  ·  E) 5
  19. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 6 cm, AA′ = 7 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6  ·  B) 7  ·  C) 9  ·  D) 15  ·  E) 13
  20. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 12 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12√2  ·  B) 1  ·  C) 12  ·  D) 0  ·  E) 24
  21. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 8 cm, AA′ = 5 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 8  ·  C) 5  ·  D) 13  ·  E) 7
  22. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 10 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10  ·  B) 5  ·  C) 13  ·  D) 3  ·  E) 15
  23. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7√3  ·  B) 7  ·  C) 7√2  ·  D) 14  ·  E) 8
  24. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 8 cm, AA′ = 4 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 18  ·  B) 8  ·  C) 10  ·  D) 4  ·  E) 12
  25. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 7 cm, AA′ = 2 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 4  ·  C) 9  ·  D) 7  ·  E) 11
  26. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 1  ·  B) 10  ·  C) 0  ·  D) 10√2  ·  E) 20
  27. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 7 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 10  ·  C) 2  ·  D) 7  ·  E) 3
  28. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 4 cm, AA′ = 6 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 10  ·  C) 4  ·  D) 5  ·  E) 6
  29. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 8 cm, AA′ = 9 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3  ·  B) 17  ·  C) 8  ·  D) 11  ·  E) 9
  30. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 9 cm, AA′ = 8 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10  ·  B) 9  ·  C) 17  ·  D) 18  ·  E) 8
  31. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) 8√3  ·  C) 8√2  ·  D) 16  ·  E) 9
  32. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 8 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 11  ·  B) 8  ·  C) 3  ·  D) 10  ·  E) 13
  33. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 5 cm, AA′ = 9 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 14  ·  C) 9  ·  D) 5  ·  E) 11
  34. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10  ·  B) 10√3  ·  C) 20  ·  D) 10√2  ·  E) 11
  35. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 8 cm, AA′ = 7 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 15  ·  B) 8  ·  C) 16  ·  D) 9  ·  E) 7
  36. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6√3  ·  B) 12  ·  C) 7  ·  D) 6  ·  E) 6√2
  37. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 4 cm, AA′ = 8 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 8  ·  C) 4  ·  D) 10  ·  E) 2
  38. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 3 cm, AA′ = 8 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) 3  ·  C) 6  ·  D) 14  ·  E) 11
  39. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 5 cm, AA′ = 2 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5  ·  B) 7  ·  C) 9  ·  D) 2  ·  E) 14
  40. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 2 cm, AA′ = 5 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 7  ·  C) 5  ·  D) 6  ·  E) 11
  41. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, distanța de la A′ la dreapta A′B′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0  ·  B) 1  ·  C) 9√2  ·  D) 9  ·  E) 18
  42. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 10 cm, AA′ = 2 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 18  ·  C) 10  ·  D) 8  ·  E) 2
  43. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 6 cm, AA′ = 9 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 13  ·  B) 7  ·  C) 6  ·  D) 15  ·  E) 9
  44. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 10 cm, AA′ = 7 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 10  ·  C) 5  ·  D) 7  ·  E) 17
  45. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 5 cm, AA′ = 9 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 19  ·  C) 10  ·  D) 5  ·  E) 14
  46. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 5 cm, AA′ = 10 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) 5  ·  C) 13  ·  D) 15  ·  E) 10
  47. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4√3  ·  B) 8  ·  C) 4√2  ·  D) 4  ·  E) 5
  48. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 7 cm, AA′ = 5 cm), distanța de la punctul C la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7  ·  B) 10  ·  C) 3  ·  D) 12  ·  E) 5
  49. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 9 cm, AA′ = 7 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta AB este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7  ·  B) 15  ·  C) 8  ·  D) 9  ·  E) 16
  50. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 12 cm, distanța de la C′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 13  ·  B) 12  ·  C) 12√2  ·  D) 12√3  ·  E) 24
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 9 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  2. 6 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  3. VB ⟂ d — Dacă o dreaptă este perpendiculară pe plan și o dreaptă din plan este perpendiculară pe proiecția primei, atunci este perpendiculară și pe oblică.
  4. 6 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  5. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  6. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  7. 3 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  8. perpendicularei duse din punct pe dreaptă — Distanța punct–dreaptă este lungimea perpendicularei din punct pe dreaptă (cea mai scurtă dintre toate segmentele către punctele dreptei).
  9. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  10. 3 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  11. 10 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  12. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  13. 6 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  14. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  15. 5 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  16. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  17. 9 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  18. 5 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  19. 6 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  20. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  21. 5 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  22. 10 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  23. 7 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  24. 8 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  25. 7 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  26. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  27. 7 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  28. 4 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  29. 8 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  30. 8 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  31. 8 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  32. 3 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  33. 9 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  34. 10 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  35. 7 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  36. 6 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  37. 8 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  38. 8 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  39. 5 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  40. 5 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  41. 0 — Punctul A′ aparține dreptei A′B′, deci distanța este 0.
  42. 10 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  43. 6 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  44. 7 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  45. 9 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  46. 5 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  47. 4 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.
  48. 7 — CB ⟂ AB, deci distanța de la C la AB este CB = BC.
  49. 7 — AA′ ⟂ AB (AA′ ⟂ planul bazei), deci distanța este AA′.
  50. 12 — C′C ⟂ CD, deci distanța este CC′ = s.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 10 cm și apotema 13 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 18  ·  B) 12  ·  C) 5  ·  D) 8  ·  E) 13
  2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 4 cm, AA′ = 8 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5  ·  B) 11  ·  C) √73  ·  D) 4√5  ·  E) √89
  3. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√3/2  ·  B) 5√6/2  ·  C) 5√2/2  ·  D) 5√2  ·  E) 5√3
  4. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 7 cm, AA′ = 5 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √74  ·  B) √138  ·  C) √113  ·  D) √89  ·  E) 12
  5. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 40 cm și înălțimea 21 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 41  ·  B) 29  ·  C) 28  ·  D) √1241  ·  E) 30
  6. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 14 cm și înălțimea 24 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 25  ·  B) 24  ·  C) 26  ·  D) √674  ·  E) 31
  7. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 6 cm și AC = 8 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 3 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABC
    Variante: A) 10  ·  B) 8  ·  C) 3  ·  D) 6  ·  E) 4
  8. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 8 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 3 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABC
    Variante: A) 8  ·  B) 15  ·  C) 4  ·  D) 17  ·  E) 3
  9. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 9 cm, AA′ = 10 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √106  ·  B) 15  ·  C) √206  ·  D) √181  ·  E) 5√5
  10. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 7 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √158  ·  B) √149  ·  C) √58  ·  D) 10  ·  E) √109
  11. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 14 cm și apotema 25 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 24  ·  B) 18  ·  C) 7  ·  D) 32  ·  E) 25
  12. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√3  ·  B) 4√3  ·  C) 4√2  ·  D) 2√6  ·  E) 2√2
  13. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 6 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) √70  ·  C) √34  ·  D) √61  ·  E) 3√5
  14. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 12 cm și apotema 10 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 16  ·  B) 8  ·  C) 6  ·  D) 4  ·  E) 9
  15. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 4 cm, AA′ = 5 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 11  ·  B) √41  ·  C) √61  ·  D) 2√13  ·  E) √77
  16. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 2 cm, AA′ = 10 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√30  ·  B) 2√29  ·  C) 12  ·  D) 2√5  ·  E) 2√26
  17. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 40 cm și apotema 29 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 22  ·  B) 21  ·  C) 20  ·  D) 9  ·  E) 49
  18. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 16 cm și înălțimea 15 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 17  ·  B) 23  ·  C) 18  ·  D) √353  ·  E) 16
  19. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 3 cm, AA′ = 6 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5  ·  B) √61  ·  C) 3√5  ·  D) 2√13  ·  E) 9
  20. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 5 cm și AC = 12 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 2 cm. Lungimea segmentului VC este (cm):VABC
    Variante: A) √29  ·  B) √173  ·  C) 2√37  ·  D) 14  ·  E) 13
  21. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 5 cm și AC = 12 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 3 cm. Lungimea segmentului VC este (cm):VABC
    Variante: A) √178  ·  B) 15  ·  C) √34  ·  D) 3√17  ·  E) 13
  22. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 2 cm, AA′ = 6 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √85  ·  B) 11  ·  C) 3√13  ·  D) 2√10  ·  E) 8
  23. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 30 cm și apotema 25 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 20  ·  B) 40  ·  C) 15  ·  D) 21  ·  E) 10
  24. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9√6/2  ·  B) 9√2  ·  C) 9√2/2  ·  D) 9√3  ·  E) 9√3/2
  25. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 8 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 2 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABC
    Variante: A) 15  ·  B) 8  ·  C) 2  ·  D) 3  ·  E) 17
  26. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3√6/2  ·  B) 3√2/2  ·  C) 3√3/2  ·  D) 3√3  ·  E) 3√2
  27. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 6 cm și înălțimea 4 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) √34  ·  B) 4  ·  C) 7  ·  D) 6  ·  E) 5
  28. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 8 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 6 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABC
    Variante: A) 7  ·  B) 6  ·  C) 17  ·  D) 8  ·  E) 15
  29. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 6 cm și apotema 5 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 2  ·  B) 3  ·  C) 8  ·  D) 5  ·  E) 4
  30. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 10 cm și înălțimea 12 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 14  ·  B) √194  ·  C) 12  ·  D) 17  ·  E) 13
  31. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 3 cm și AC = 4 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 12 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABC
    Variante: A) 13  ·  B) 3  ·  C) 12  ·  D) 4  ·  E) 5
  32. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 10 cm, AA′ = 2 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√30  ·  B) 2√29  ·  C) 6  ·  D) 2√26  ·  E) 2√5
  33. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 24 cm și înălțimea 16 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 20  ·  B) 19  ·  C) 4√34  ·  D) 21  ·  E) 28
  34. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7√3/2  ·  B) 7√6/2  ·  C) 7√2  ·  D) 7√3  ·  E) 7√2/2
  35. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3√2  ·  B) 6√2  ·  C) 6√3  ·  D) 3√3  ·  E) 3√6
  36. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 5 cm și AC = 12 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 4 cm. Lungimea segmentului VC este (cm):VABC
    Variante: A) 4√10  ·  B) √41  ·  C) 16  ·  D) √185  ·  E) 13
  37. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 3 cm și AC = 4 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 10 cm. Lungimea segmentului VC este (cm):VABC
    Variante: A) 14  ·  B) 5√5  ·  C) √109  ·  D) 2√29  ·  E) 5
  38. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 16 cm și apotema 17 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 16  ·  B) 25  ·  C) 15  ·  D) 8  ·  E) 9
  39. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 3 cm, AA′ = 6 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√34  ·  B) 3√5  ·  C) √145  ·  D) 9  ·  E) √109
  40. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 11 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 11√2  ·  B) 11√3  ·  C) 11√6/2  ·  D) 11√3/2  ·  E) 11√2/2
  41. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 18 cm și înălțimea 12 cm. Distanța de la V la dreapta AB este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 15  ·  B) 16  ·  C) 21  ·  D) 3√34  ·  E) 14
  42. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 3 cm, AA′ = 10 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√29  ·  B) 5  ·  C) 5√5  ·  D) √109  ·  E) 14
  43. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 5 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 13  ·  B) √34  ·  C) √134  ·  D) 5√5  ·  E) √109
  44. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√6  ·  B) 5√3  ·  C) 10√3  ·  D) 10√2  ·  E) 5√2
  45. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 3 cm, AA′ = 10 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √173  ·  B) 18  ·  C) 2√41  ·  D) √109  ·  E) √73
  46. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 24 cm și apotema 20 cm. Distanța de la V la planul bazei este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 8  ·  B) 16  ·  C) 12  ·  D) 17  ·  E) 32
  47. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 7 cm, AA′ = 3 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta CD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √34  ·  B) √74  ·  C) √83  ·  D) √58  ·  E) 10
  48. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 6 cm și AC = 8 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 10 cm. Lungimea segmentului VC este (cm):VABC
    Variante: A) 2√34  ·  B) 10  ·  C) 18  ·  D) 2√41  ·  E) 10√2
  49. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 7 cm, AA′ = 9 cm), distanța de la punctul A′ la dreapta BC este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √134  ·  B) √130  ·  C) √85  ·  D) 11  ·  E) √53
  50. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 8 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC) cu VA = 9 cm. Lungimea segmentului VC este (cm):VABC
    Variante: A) √145  ·  B) √370  ·  C) 17  ·  D) 3√34  ·  E) 24
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 12 — VO² = VM² − OM² = 169 − 25 = 144 ⇒ VO = 12 cm.
  2. √73 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 64 + 9 = 73.
  3. 5√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 25 + 25/2 = 75/2; A′O = 5√6/2.
  4. √74 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 25 + 49 = 74.
  5. 29 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 441 + 400 = 841, VM = 29 cm.
  6. 25 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 576 + 49 = 625, VM = 25 cm.
  7. 3 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AB; distanța de la V la AB este VA = h.
  8. 3 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AB; distanța de la V la AB este VA = h.
  9. 5√5 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 100 + 25 = 125.
  10. √58 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 9 + 49 = 58.
  11. 24 — VO² = VM² − OM² = 625 − 49 = 576 ⇒ VO = 24 cm.
  12. 2√6 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 16 + 8 = 24; A′O = 4√6/2.
  13. √34 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 9 + 25 = 34.
  14. 8 — VO² = VM² − OM² = 100 − 36 = 64 ⇒ VO = 8 cm.
  15. √61 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 25 + 36 = 61.
  16. 2√26 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 100 + 4 = 104.
  17. 21 — VO² = VM² − OM² = 841 − 400 = 441 ⇒ VO = 21 cm.
  18. 17 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 225 + 64 = 289, VM = 17 cm.
  19. 3√5 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 36 + 9 = 45.
  20. 2√37 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AC; VC² = VA² + AC² = 4 + 144 = 148.
  21. 3√17 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AC; VC² = VA² + AC² = 9 + 144 = 153.
  22. 2√10 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 36 + 4 = 40.
  23. 20 — VO² = VM² − OM² = 625 − 225 = 400 ⇒ VO = 20 cm.
  24. 9√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 81 + 81/2 = 243/2; A′O = 9√6/2.
  25. 2 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AB; distanța de la V la AB este VA = h.
  26. 3√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 9 + 9/2 = 27/2; A′O = 3√6/2.
  27. 5 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 16 + 9 = 25, VM = 5 cm.
  28. 6 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AB; distanța de la V la AB este VA = h.
  29. 4 — VO² = VM² − OM² = 25 − 9 = 16 ⇒ VO = 4 cm.
  30. 13 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 144 + 25 = 169, VM = 13 cm.
  31. 12 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AB; distanța de la V la AB este VA = h.
  32. 2√5 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 4 + 16 = 20.
  33. 20 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 256 + 144 = 400, VM = 20 cm.
  34. 7√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 49 + 49/2 = 147/2; A′O = 7√6/2.
  35. 3√6 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 36 + 18 = 54; A′O = 6√6/2.
  36. 4√10 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AC; VC² = VA² + AC² = 16 + 144 = 160.
  37. 2√29 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AC; VC² = VA² + AC² = 100 + 16 = 116.
  38. 15 — VO² = VM² − OM² = 289 − 64 = 225 ⇒ VO = 15 cm.
  39. 3√5 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 36 + 9 = 45.
  40. 11√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 121 + 121/2 = 363/2; A′O = 11√6/2.
  41. 15 — Fie M mijlocul lui AB; OM ⟂ AB și VO ⟂ (ABC) ⇒ VM ⟂ AB (T3⊥). VM² = VO² + OM² = 144 + 81 = 225, VM = 15 cm.
  42. 2√29 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 100 + 16 = 116.
  43. √109 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 9 + 100 = 109.
  44. 5√6 — Fie O mijlocul lui BD: AO ⟂ BD, AA′ ⟂ (ABC) ⇒ A′O ⟂ BD (T3⊥). A′O² = AA′² + AO² = 100 + 50 = 150; A′O = 10√6/2.
  45. 2√41 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 100 + 64 = 164.
  46. 16 — VO² = VM² − OM² = 400 − 144 = 256 ⇒ VO = 16 cm.
  47. √58 — CD ⟂ AD și CD ⟂ AA′, deci CD ⟂ (ADD′), de unde CD ⟂ A′D. Distanța este A′D: A′D² = AA′² + AD² = 9 + 49 = 58.
  48. 2√41 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AC; VC² = VA² + AC² = 100 + 64 = 164.
  49. √85 — BC ⟂ AB și BC ⟂ BB′, deci BC ⟂ (ABB′), de unde BC ⟂ A′B. Distanța este A′B: A′B² = AA′² + AB² = 81 + 4 = 85.
  50. 3√34 — VA ⟂ (ABC) ⇒ VA ⟂ AC; VC² = VA² + AC² = 81 + 225 = 306.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7√2/2  ·  B) 7√3  ·  C) 7√2  ·  D) 7√6/2  ·  E) 7√3/2
  2. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 24 cm și OM = 7 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 31/2  ·  B) 7  ·  C) 168/25  ·  D) 175/24  ·  E) 600/7
  3. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 20 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 9 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 14  ·  B) 15  ·  C) 21  ·  D) 16  ·  E) 34
  4. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 30 cm, BC = 40 cm și AA′ = 10 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 34  ·  B) 25  ·  C) 60  ·  D) 27  ·  E) 26
  5. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 15 cm și AC = 20 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 9 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 14  ·  B) 34  ·  C) 16  ·  D) 15  ·  E) 21
  6. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 30 cm, BC = 40 cm și AA′ = 7 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 31  ·  B) 26  ·  C) 24  ·  D) 25  ·  E) 57
  7. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 12 cm și OM = 5 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 156/5  ·  B) 65/12  ·  C) 60/13  ·  D) 17/2  ·  E) 5
  8. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 24 cm și OM = 10 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 10  ·  B) 17  ·  C) 65/6  ·  D) 312/5  ·  E) 120/13
  9. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3√6/2  ·  B) 3√3/2  ·  C) 3√2/2  ·  D) 3√2  ·  E) 3√3
  10. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 30 cm, BC = 40 cm și AA′ = 32 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 82  ·  B) 56  ·  C) 39  ·  D) 41  ·  E) 40
  11. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 15 cm, BC = 20 cm și AA′ = 5 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30  ·  B) 13  ·  C) 17  ·  D) 12  ·  E) 14
  12. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 15 cm, BC = 20 cm și AA′ = 35 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 38  ·  B) 47  ·  C) 60  ·  D) 37  ·  E) 36
  13. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 20 cm și OM = 15 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 35/2  ·  B) 12  ·  C) 75/4  ·  D) 15  ·  E) 100/3
  14. Un cilindru circular drept are raza 11 cm și înălțimea 10 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) √221  ·  B) 21  ·  C) 11  ·  D) √321  ·  E) 2√146
  15. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 4 cm și OM = 3 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 15/4  ·  B) 12/5  ·  C) 20/3  ·  D) 3  ·  E) 7/2
  16. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√3  ·  B) 10√3  ·  C) 5√2  ·  D) 5√6  ·  E) 10√2
  17. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 20 cm, BC = 15 cm și AA′ = 5 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 17  ·  B) 14  ·  C) 12  ·  D) 30  ·  E) 13
  18. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 20 cm, BC = 15 cm și AA′ = 35 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 37  ·  B) 36  ·  C) 60  ·  D) 47  ·  E) 38
  19. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 8 cm și OM = 6 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 7  ·  B) 15/2  ·  C) 6  ·  D) 24/5  ·  E) 40/3
  20. Un cilindru circular drept are raza 7 cm și înălțimea 7 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 7√5  ·  B) 7√3  ·  C) 7√2  ·  D) 14  ·  E) 7
  21. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 12 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6√2  ·  B) 6√6  ·  C) 12√2  ·  D) 6√3  ·  E) 12√3
  22. Un cilindru circular drept are raza 9 cm și înălțimea 8 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 2√97  ·  B) √209  ·  C) 9  ·  D) 17  ·  E) √145
  23. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 30 cm și AC = 40 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 18 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 29  ·  B) 30  ·  C) 31  ·  D) 42  ·  E) 68
  24. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 12 cm și OM = 9 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 36/5  ·  B) 21/2  ·  C) 45/4  ·  D) 9  ·  E) 20
  25. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√2  ·  B) 5√3/2  ·  C) 5√6/2  ·  D) 5√2/2  ·  E) 5√3
  26. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√2  ·  B) 2√6  ·  C) 2√3  ·  D) 4√3  ·  E) 4√2
  27. Un cilindru circular drept are raza 11 cm și înălțimea 6 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 17  ·  B) √157  ·  C) √193  ·  D) 2√130  ·  E) 11
  28. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 11 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 11√3/2  ·  B) 11√2  ·  C) 11√2/2  ·  D) 11√6/2  ·  E) 11√3
  29. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 20 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 35 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 47  ·  B) 36  ·  C) 60  ·  D) 38  ·  E) 37
  30. Un cilindru circular drept are raza 2 cm și înălțimea 7 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 2  ·  B) √102  ·  C) √65  ·  D) 9  ·  E) √53
  31. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 30 cm și AC = 40 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 7 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 57  ·  B) 24  ·  C) 26  ·  D) 31  ·  E) 25
  32. Un cilindru circular drept are raza 12 cm și înălțimea 2 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 2√37  ·  B) 2√38  ·  C) 2√145  ·  D) 14  ·  E) 12
  33. Un cilindru circular drept are raza 7 cm și înălțimea 8 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 2√65  ·  B) √177  ·  C) 7  ·  D) √113  ·  E) 15
  34. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 30 cm și AC = 40 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 10 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 34  ·  B) 25  ·  C) 60  ·  D) 26  ·  E) 27
  35. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 15 cm, BC = 20 cm și AA′ = 9 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 15  ·  B) 34  ·  C) 14  ·  D) 16  ·  E) 21
  36. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 15 cm și AC = 20 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 35 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 47  ·  B) 38  ·  C) 60  ·  D) 36  ·  E) 37
  37. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 30 cm și AC = 40 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 32 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 39  ·  B) 56  ·  C) 82  ·  D) 40  ·  E) 41
  38. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 16 cm și OM = 12 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 15  ·  B) 48/5  ·  C) 14  ·  D) 12  ·  E) 80/3
  39. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 20 cm, BC = 15 cm și AA′ = 9 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 14  ·  B) 34  ·  C) 16  ·  D) 21  ·  E) 15
  40. În piramida patrulateră regulată VABCD, VO = 15 cm și OM = 8 cm (M mijlocul lui AB). Distanța de la O la planul (VAB) este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 8  ·  B) 136/15  ·  C) 23/2  ·  D) 255/8  ·  E) 120/17
  41. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6√3  ·  B) 6√2  ·  C) 3√6  ·  D) 3√2  ·  E) 3√3
  42. Un cilindru circular drept are raza 8 cm și înălțimea 4 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 12  ·  B) 8  ·  C) 4√6  ·  D) 4√17  ·  E) 4√5
  43. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 20 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 5 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 13  ·  B) 14  ·  C) 12  ·  D) 17  ·  E) 30
  44. Un cilindru circular drept are raza 12 cm și înălțimea 6 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 6√5  ·  B) 12  ·  C) 18  ·  D) 6√17  ·  E) 6√6
  45. Un cilindru circular drept are raza 12 cm și înălțimea 8 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 20  ·  B) 8√10  ·  C) 12  ·  D) 4√13  ·  E) 4√17
  46. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, distanța de la C′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8√3  ·  B) 8√2  ·  C) 4√6  ·  D) 4√2  ·  E) 4√3
  47. Un cilindru circular drept are raza 4 cm și înălțimea 12 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 4  ·  B) 4√13  ·  C) 4√19  ·  D) 16  ·  E) 4√10
  48. Un cilindru circular drept are raza 3 cm și înălțimea 4 cm. Distanța de la centrul bazei de sus la un punct al cercului bazei de jos este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) √41  ·  B) 2√13  ·  C) 3  ·  D) 7  ·  E) 5
  49. ABC este un triunghi dreptunghic în A cu AB = 20 cm și AC = 15 cm, iar VA ⟂ (ABC), VA = 16 cm. Distanța de la V la dreapta BC este (cm):VABC
    Variante: A) 41  ·  B) 19  ·  C) 20  ·  D) 21  ·  E) 28
  50. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 40 cm, BC = 30 cm și AA′ = 7 cm. Distanța de la A′ la dreapta BD este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 26  ·  B) 31  ·  C) 25  ·  D) 24  ·  E) 57
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 7√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 49 + 49/2 = 147/2.
  2. 168/25 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 24·7/25 = 168/25 cm.
  3. 15 — BC = 25. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 20·15/25 = 12. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 81 + 144 = 225 ⇒ VD = 15 cm.
  4. 26 — BD = 50. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 30·40/50 = 24. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 100 + 576 = 676 ⇒ A′E = 26 cm.
  5. 15 — BC = 25. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 15·20/25 = 12. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 81 + 144 = 225 ⇒ VD = 15 cm.
  6. 25 — BD = 50. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 30·40/50 = 24. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 49 + 576 = 625 ⇒ A′E = 25 cm.
  7. 60/13 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 12·5/13 = 60/13 cm.
  8. 120/13 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 24·10/26 = 120/13 cm.
  9. 3√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 9 + 9/2 = 27/2.
  10. 40 — BD = 50. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 30·40/50 = 24. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 1024 + 576 = 1600 ⇒ A′E = 40 cm.
  11. 13 — BD = 25. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 15·20/25 = 12. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 25 + 144 = 169 ⇒ A′E = 13 cm.
  12. 37 — BD = 25. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 15·20/25 = 12. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 1225 + 144 = 1369 ⇒ A′E = 37 cm.
  13. 12 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 20·15/25 = 12 cm.
  14. √221 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 100 + 121 = 221.
  15. 12/5 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 4·3/5 = 12/5 cm.
  16. 5√6 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 100 + 50 = 150.
  17. 13 — BD = 25. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 20·15/25 = 12. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 25 + 144 = 169 ⇒ A′E = 13 cm.
  18. 37 — BD = 25. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 20·15/25 = 12. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 1225 + 144 = 1369 ⇒ A′E = 37 cm.
  19. 24/5 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 8·6/10 = 24/5 cm.
  20. 7√2 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 49 + 49 = 98.
  21. 6√6 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 144 + 72 = 216.
  22. √145 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 64 + 81 = 145.
  23. 30 — BC = 50. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 30·40/50 = 24. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 324 + 576 = 900 ⇒ VD = 30 cm.
  24. 36/5 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 12·9/15 = 36/5 cm.
  25. 5√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 25 + 25/2 = 75/2.
  26. 2√6 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 16 + 8 = 24.
  27. √157 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 36 + 121 = 157.
  28. 11√6/2 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 121 + 121/2 = 363/2.
  29. 37 — BC = 25. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 20·15/25 = 12. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 1225 + 144 = 1369 ⇒ VD = 37 cm.
  30. √53 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 49 + 4 = 53.
  31. 25 — BC = 50. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 30·40/50 = 24. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 49 + 576 = 625 ⇒ VD = 25 cm.
  32. 2√37 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 4 + 144 = 148.
  33. √113 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 64 + 49 = 113.
  34. 26 — BC = 50. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 30·40/50 = 24. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 100 + 576 = 676 ⇒ VD = 26 cm.
  35. 15 — BD = 25. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 15·20/25 = 12. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 81 + 144 = 225 ⇒ A′E = 15 cm.
  36. 37 — BC = 25. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 15·20/25 = 12. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 1225 + 144 = 1369 ⇒ VD = 37 cm.
  37. 40 — BC = 50. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 30·40/50 = 24. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 1024 + 576 = 1600 ⇒ VD = 40 cm.
  38. 48/5 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 16·12/20 = 48/5 cm.
  39. 15 — BD = 25. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 20·15/25 = 12. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 81 + 144 = 225 ⇒ A′E = 15 cm.
  40. 120/17 — Ducem OP ⟂ VM (P ∈ VM); OP ⟂ (VAB). Din aria triunghiului VOM: OP·VM = VO·OM ⇒ OP = 15·8/17 = 120/17 cm.
  41. 3√6 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 36 + 18 = 54.
  42. 4√5 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 16 + 64 = 80.
  43. 13 — BC = 25. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 20·15/25 = 12. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 25 + 144 = 169 ⇒ VD = 13 cm.
  44. 6√5 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 36 + 144 = 180.
  45. 4√13 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 64 + 144 = 208.
  46. 4√6 — Fie O mijlocul lui BD: CO ⟂ BD, CC′ ⟂ (ABC) ⇒ C′O ⟂ BD (T3⊥). C′O² = 64 + 32 = 96.
  47. 4√10 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 144 + 16 = 160.
  48. 5 — Segmentul O′B împreună cu axa și raza OB formează un triunghi dreptunghic: O′B² = h² + r² = 16 + 9 = 25.
  49. 20 — BC = 25. Fie AD ⟂ BC, D ∈ BC: AD = 20·15/25 = 12. VA ⟂ (ABC), AD ⟂ BC ⇒ VD ⟂ BC (T3⊥). VD² = VA² + AD² = 256 + 144 = 400 ⇒ VD = 20 cm.
  50. 25 — BD = 50. Fie AE ⟂ BD: AE = AB·AD/BD = 40·30/50 = 24. AA′ ⟂ (ABC), AE ⟂ BD ⇒ A′E ⟂ BD (T3⊥). A′E² = 49 + 576 = 625 ⇒ A′E = 25 cm.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a