Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Funcții. Funcții definite pe mulțimi finite

Funcții. Funcții definite pe mulțimi finite

Definiția funcției, domeniu, codomeniu, mulțimea valorilor, modalități de a da o funcție, graficul unei funcții definite pe o mulțime finită.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce este o funcție

O funcție f: A → B asociază fiecărui element x din mulțimea A (domeniul) exact un element f(x) din mulțimea B (codomeniul). Elementul f(x) se numește imaginea lui x. Mulțimea tuturor imaginilor este mulțimea valorilor funcției: f(A) = {f(x) | x ∈ A}.

f: A → B   x ↦ f(x)
fiecărui x din A îi corespunde un singur f(x)

Patru moduri de a da o funcție

O funcție poate fi dată printr-o diagramă cu săgeți, un tabel, o formulă sau ca o mulțime de perechi. Funcția f: {1, 2, 3} → {2, 4, 5, 7}, f(x) = 2x + 1 are valorile f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 7.

AB12323457

Diagramă cu săgeți: fiecare element din A are exact o săgeată

xy1122334455667788O(1, 3)(2, 5)(3, 7)

Graficul funcției: trei puncte izolate, nu o linie continuă

x123
f(x)357
Graficul lui f = {(x, f(x)) | x ∈ A}
Exemplul 1. Este funcție relația cu perechile {(1, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 7)} definită pe A = {1, 2, 3}?
Metoda 1 (din diagramă). Din elementul 2 pornesc două săgeți (spre 5 și spre 6). Un element are două imagini, deci nu este funcție.
Metoda 2 (din perechi). Prima componentă 2 apare în două perechi cu a doua componentă diferită, deci relația nu este funcție.
Exemplul 2. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x) = x² − 1. Determină mulțimea valorilor.
Metoda 1 (calculând fiecare valoare). f(−2) = 3, f(−1) = 0, f(0) = −1, f(1) = 0, f(2) = 3. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {−1, 0, 3}.
Metoda 2 (prin simetrie). x² ia aceeași valoare pentru x și −x, deci sunt suficiente x = 0, 1, 2: −1, 0, 3.
Exemplul 3. Funcția f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x) = ax + 2 verifică f(3) = 11. Află a și scrie graficul.
Metoda 1 (din ecuație). 3a + 2 = 11 ⇒ a = 3. Valorile: f(1) = 5, f(2) = 8, f(3) = 11, f(4) = 14. Graficul: {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)}.
Metoda 2 (verificare). f(3) = 3·3 + 2 = 11 ✓.

Calcule cu funcții

Pentru f(f(a)) calculăm întâi f(a), apoi aplicăm din nou f. Egalitatea f(x) = f(y) nu înseamnă neapărat x = y: pentru f(x) = x², f(−3) = f(3).

Exemplul 4. Fie f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3. Calculează f(f(4)).
Metoda 1 (pas cu pas). f(4) = 5; f(5) = 7.
Metoda 2 (formula compusă). f(f(x)) = 2(2x − 3) − 3 = 4x − 9; pentru x = 4: 7.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Fie A = {2, 5, 6}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(2, 1), (5, 4), (6, 6)}  ·  B) {(2, 1), (5, 4), (6, 6), (2, 2)}  ·  C) {(2, 1), (5, 4), (6, 6), (5, 6)}  ·  D) {(2, 1), (5, 4)}  ·  E) {(2, 1), (2, 1)}
  2. Fie A = {3, 5, 7}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(3, 6), (5, 3)}  ·  B) {(3, 6), (5, 3), (7, 4), (5, 5)}  ·  C) {(3, 6), (5, 3), (7, 4), (3, 7)}  ·  D) {(3, 6), (5, 3), (7, 4)}  ·  E) {(3, 6), (3, 6)}
  3. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = x + 4. Care este mulțimea valorilor funcției?
  4. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 5. Care este mulțimea valorilor lui f?
  5. Fie f: {1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = 6. Care este mulțimea valorilor lui f?
  6. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 4x + 3. Calculează f(4).
  7. Funcția f este dată prin tabelul:
    x−101
    f(x​)3−22
    Care este f(0)?
  8. Fie A = {1, 3, 7}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(1, 2), (3, 5)}  ·  B) {(1, 2), (3, 5), (7, 3), (3, 7)}  ·  C) {(1, 2), (1, 2)}  ·  D) {(1, 2), (3, 5), (7, 3), (1, 3)}  ·  E) {(1, 2), (3, 5), (7, 3)}
  9. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 3. Care este mulțimea valorilor lui f?
  10. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 3x − 1. Calculează f(3).
  11. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 1. Care este mulțimea valorilor funcției?
  12. Domeniul unei funcții are 5 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 6 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  13. Fie A = {1, 2, 3}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(1, 3), (2, 4)}  ·  B) {(1, 3), (2, 4), (3, 1)}  ·  C) {(1, 3), (1, 3)}  ·  D) {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (1, 4)}  ·  E) {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (2, 6)}
  14. Domeniul unei funcții are 3 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 4 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  15. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 6. Care este mulțimea valorilor lui f?
  16. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 4. Calculează f(4).
  17. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 4x + 3. Calculează f(1).
  18. Fie A = {3, 4, 7}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(3, 3), (4, 6), (7, 8), (4, 8)}  ·  B) {(3, 3), (4, 6)}  ·  C) {(3, 3), (4, 6), (7, 8)}  ·  D) {(3, 3), (4, 6), (7, 8), (3, 4)}  ·  E) {(3, 3), (3, 3)}
  19. Domeniul unei funcții are 2 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 6 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  20. Fie A = {1, 3, 4}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(1, 6), (1, 6)}  ·  B) {(1, 6), (3, 4), (4, 1), (1, 7)}  ·  C) {(1, 6), (3, 4), (4, 1)}  ·  D) {(1, 6), (3, 4)}  ·  E) {(1, 6), (3, 4), (4, 1), (3, 6)}
  21. Fie f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 4x + 5. Care este mulțimea valorilor funcției?
  22. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 8. Care este mulțimea valorilor lui f?
  23. Fie A = {1, 2, 6}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(1, 7), (2, 5)}  ·  B) {(1, 7), (1, 7)}  ·  C) {(1, 7), (2, 5), (6, 3), (2, 7)}  ·  D) {(1, 7), (2, 5), (6, 3)}  ·  E) {(1, 7), (2, 5), (6, 3), (1, 8)}
  24. Funcția f este dată prin tabelul:
    x−2−1012
    f(x​)71−3−1−1
    Care este f(−1)?
  25. Fie A = {2, 4, 6}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(2, 1), (4, 2), (6, 8), (4, 4)}  ·  B) {(2, 1), (4, 2)}  ·  C) {(2, 1), (4, 2), (6, 8)}  ·  D) {(2, 1), (2, 1)}  ·  E) {(2, 1), (4, 2), (6, 8), (2, 2)}
  26. Funcția f este dată prin tabelul:
    x012
    f(x​)7−24
    Care este f(0)?
  27. Domeniul unei funcții are 6 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 2 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  28. Fie f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x + 5. Care este mulțimea valorilor funcției?
  29. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 3. Care este mulțimea valorilor funcției?
  30. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 4x + 1. Care este mulțimea valorilor funcției?
  31. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 2x + 5. Care este mulțimea valorilor funcției?
  32. Domeniul unei funcții are 6 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 4 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  33. Domeniul unei funcții are 2 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 3 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  34. Funcția f este dată prin tabelul:
    x−101
    f(x​)146
    Care este f(−1)?
  35. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x − 2. Calculează f(3).
  36. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 4. Care este mulțimea valorilor lui f?
  37. Fie A = {4, 5, 6}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(4, 4), (5, 6), (6, 1), (5, 8)}  ·  B) {(4, 4), (5, 6)}  ·  C) {(4, 4), (5, 6), (6, 1)}  ·  D) {(4, 4), (4, 4)}  ·  E) {(4, 4), (5, 6), (6, 1), (4, 5)}
  38. Fie f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 2x + 5. Care este mulțimea valorilor funcției?
  39. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 2. Calculează f(2).
  40. Fie f: {0, 1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = x + 2. Care este mulțimea valorilor funcției?
  41. Funcția f este dată prin tabelul:
    x−2−10123
    f(x​)4715−33
    Care este f(0)?
  42. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 8. Care este mulțimea valorilor lui f?
  43. Fie A = {2, 5, 7}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(2, 3), (5, 8), (7, 4), (2, 4)}  ·  B) {(2, 3), (5, 8), (7, 4), (5, 10)}  ·  C) {(2, 3), (5, 8), (7, 4)}  ·  D) {(2, 3), (2, 3)}  ·  E) {(2, 3), (5, 8)}
  44. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3. Care este mulțimea valorilor lui f?
  45. Fie f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x + 3. Care este mulțimea valorilor funcției?
  46. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 4x + 4. Calculează f(3).
  47. Domeniul unei funcții are 4 elemente, iar mulțimea în care ia valori are 2 elemente. Câte perechi (x, f(x​)) are graficul funcției?
  48. Fie f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x + 2. Care este mulțimea valorilor funcției?
  49. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 9. Care este mulțimea valorilor lui f?
  50. Fie A = {5, 6, 7}. Care dintre relațiile următoare reprezintă o funcție definită pe A?
    Variante: A) {(5, 8), (6, 3), (7, 4)}  ·  B) {(5, 8), (6, 3)}  ·  C) {(5, 8), (6, 3), (7, 4), (6, 5)}  ·  D) {(5, 8), (5, 8)}  ·  E) {(5, 8), (6, 3), (7, 4), (5, 7)}
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. {(2, 1), (5, 4), (6, 6)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  2. {(3, 6), (5, 3), (7, 4)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  3. {4, 5, 6, 7, 8} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 4, f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 7, f(4) = 8. Mulțimea valorilor este {4, 5, 6, 7, 8}.
  4. {5} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4}, f(x​) = 5. Mulțimea valorilor are un singur element: {5}.
  5. {6} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3}, f(x​) = 6. Mulțimea valorilor are un singur element: {6}.
  6. 19 — f(4) = 4·4 + 3 = 19.
  7. −2 — Citim în tabel valoarea de sub x = 0: f(0) = −2.
  8. {(1, 2), (3, 5), (7, 3)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  9. {3} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, f(x​) = 3. Mulțimea valorilor are un singur element: {3}.
  10. 8 — f(3) = 3·3 − 1 = 8.
  11. {1, 4, 7, 10, 13} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 1, f(1) = 4, f(2) = 7, f(3) = 10, f(4) = 13. Mulțimea valorilor este {1, 4, 7, 10, 13}.
  12. 5 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 5 perechi.
  13. {(1, 3), (2, 4), (3, 1)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  14. 3 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 3 perechi.
  15. {6} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, f(x​) = 6. Mulțimea valorilor are un singur element: {6}.
  16. 16 — f(4) = 3·4 + 4 = 16.
  17. 7 — f(1) = 4·1 + 3 = 7.
  18. {(3, 3), (4, 6), (7, 8)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  19. 2 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 2 perechi.
  20. {(1, 6), (3, 4), (4, 1)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  21. {5, 9, 13} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 5, f(1) = 9, f(2) = 13. Mulțimea valorilor este {5, 9, 13}.
  22. {8} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4}, f(x​) = 8. Mulțimea valorilor are un singur element: {8}.
  23. {(1, 7), (2, 5), (6, 3)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  24. 1 — Citim în tabel valoarea de sub x = −1: f(−1) = 1.
  25. {(2, 1), (4, 2), (6, 8)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  26. 7 — Citim în tabel valoarea de sub x = 0: f(0) = 7.
  27. 6 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 6 perechi.
  28. {5, 8, 11} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 5, f(1) = 8, f(2) = 11. Mulțimea valorilor este {5, 8, 11}.
  29. {3, 6, 9, 12, 15} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 3, f(1) = 6, f(2) = 9, f(3) = 12, f(4) = 15. Mulțimea valorilor este {3, 6, 9, 12, 15}.
  30. {1, 5, 9, 13, 17} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 1, f(1) = 5, f(2) = 9, f(3) = 13, f(4) = 17. Mulțimea valorilor este {1, 5, 9, 13, 17}.
  31. {5, 7, 9, 11, 13} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 5, f(1) = 7, f(2) = 9, f(3) = 11, f(4) = 13. Mulțimea valorilor este {5, 7, 9, 11, 13}.
  32. 6 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 6 perechi.
  33. 2 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 2 perechi.
  34. 1 — Citim în tabel valoarea de sub x = −1: f(−1) = 1.
  35. 7 — f(3) = 3·3 − 2 = 7.
  36. {4} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, f(x​) = 4. Mulțimea valorilor are un singur element: {4}.
  37. {(4, 4), (5, 6), (6, 1)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  38. {5, 7, 9} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 5, f(1) = 7, f(2) = 9. Mulțimea valorilor este {5, 7, 9}.
  39. 8 — f(2) = 3·2 + 2 = 8.
  40. {2, 3, 4, 5} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 2, f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 5. Mulțimea valorilor este {2, 3, 4, 5}.
  41. 1 — Citim în tabel valoarea de sub x = 0: f(0) = 1.
  42. {8} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, f(x​) = 8. Mulțimea valorilor are un singur element: {8}.
  43. {(2, 3), (5, 8), (7, 4)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.
  44. {3} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4}, f(x​) = 3. Mulțimea valorilor are un singur element: {3}.
  45. {3, 4, 5} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 3, f(1) = 4, f(2) = 5. Mulțimea valorilor este {3, 4, 5}.
  46. 16 — f(3) = 4·3 + 4 = 16.
  47. 4 — Graficul conține câte o pereche pentru fiecare element al domeniului, deci 4 perechi.
  48. {2, 5, 8} — Calculăm f pentru fiecare element: f(0) = 2, f(1) = 5, f(2) = 8. Mulțimea valorilor este {2, 5, 8}.
  49. {9} — Funcția este constantă: pentru orice x ∈ {1, 2, 3, 4}, f(x​) = 9. Mulțimea valorilor are un singur element: {9}.
  50. {(5, 8), (6, 3), (7, 4)} — O funcție asociază fiecărui element din A exact un element. Prima variantă conține câte o pereche pentru fiecare element, iar celelalte au un element cu două valori sau fără valoare.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. În diagrama alăturată, cu A = {6, 7, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {2, 3, 7}. Care este f(7)?AB678237
  2. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → ℝ, f(x​) = 4x + 3. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(6).
  3. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = 4x − 1?
  4. Fie f: {1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 1. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(4).
  5. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² + 2. Care este mulțimea valorilor lui f?
  6. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 2x + 1. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(5).
  7. În diagrama alăturată, cu A = {2, 3, 6}, este reprezentată o funcție f: A → {2, 5, 8, 9}. Care este f(3)?AB2362589
  8. Fie f: {1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = 2x + 2. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(3).
  9. În diagrama alăturată, cu A = {4, 5, 7}, este reprezentată o funcție f: A → {1, 4, 6, 7}. Care este f(5)?AB4571467
  10. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + b verifică f(4) = 16. Cât este b?
  11. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 3?
  12. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → ℝ, f(x​) = 3x + 2. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(6).
  13. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x + b verifică f(2) = 11. Cât este b?
  14. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² − 2. Care este mulțimea valorilor lui f?
  15. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = 3x + 2?
  16. În diagrama alăturată, cu A = {2, 7, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {2, 3, 5}. Care este f(7)?AB278235
  17. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = x + 1?
  18. În diagrama alăturată, cu A = {3, 6, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {1, 2, 3, 7}. Care este f(6)?AB3681237
  19. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 4x + 3. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(5).
  20. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 2x. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = 4?
  21. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² + 4. Care este mulțimea valorilor lui f?
  22. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = 3x − 2?
  23. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 4x + 1. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = −3?
  24. În diagrama alăturată, cu A = {1, 3, 6}, este reprezentată o funcție f: A → {2, 3, 4, 6}. Care este f(3)?AB1362346
  25. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3, 4} → ℝ, f(x​) = 3x + 4?
  26. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2, 3} → ℝ, f(x​) = x − 3?
  27. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, f(x​) = 4x + 2. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(5).
  28. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x − 3. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = −6?
  29. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² − 4. Care este mulțimea valorilor lui f?
  30. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 4x − 1. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = −9?
  31. În diagrama alăturată, cu A = {6, 7, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {3, 4, 6, 7}. Care este f(7)?AB6783467
  32. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x + b verifică f(3) = 17. Cât este b?
  33. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x + 4?
  34. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² + 3. Care este mulțimea valorilor lui f?
  35. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x − 2. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = 4?
  36. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → ℝ, f(x​) = 4x − 1. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(6).
  37. Fie f: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → ℝ, f(x​) = 2x − 1. Calculează suma valorilor funcției f(1) + f(2) + … + f(6).
  38. În diagrama alăturată, cu A = {5, 7, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {2, 3, 4, 7}. Care este f(7)?AB5782347
  39. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 2x + 5. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = 9?
  40. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x + b verifică f(5) = 28. Cât este b?
  41. În diagrama alăturată, cu A = {4, 5, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {1, 2, 3, 6}. Care este f(5)?AB4581236
  42. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x + b verifică f(4) = 21. Cât este b?
  43. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 2x + b verifică f(4) = 10. Cât este b?
  44. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x​) = 2x + b verifică f(2) = 6. Cât este b?
  45. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² − 1. Care este mulțimea valorilor lui f?
  46. În diagrama alăturată, cu A = {3, 7, 8}, este reprezentată o funcție f: A → {1, 3, 6, 8}. Care este f(7)?AB3781368
  47. Care este graficul funcției f: {0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x + 1?
  48. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 2x + 4. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = 8?
  49. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 3x + 1. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = −5?
  50. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = 4x − 2. Pentru ce valoare a lui x se obține f(x​) = −10?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 2 — Din elementul 7 pornește o singură săgeată, care ajunge la 2. Deci f(7) = 2.
  2. 102 — Suma = 4(1 + 2 + … + 6) + 18 = 4·21 + 18 = 102.
  3. {(0, −1), (1, 3), (2, 7), (3, 11)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, −1), (1, 3), (2, 7), (3, 11).
  4. 34 — Suma = 3(1 + 2 + … + 4) + 4 = 3·10 + 4 = 34.
  5. {2, 3, 6} — f(−2) = f(2) = 6, f(−1) = f(1) = 3, f(0) = 2. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {2, 3, 6}.
  6. 35 — Suma = 2(1 + 2 + … + 5) + 5 = 2·15 + 5 = 35.
  7. 2 — Din elementul 3 pornește o singură săgeată, care ajunge la 2. Deci f(3) = 2.
  8. 18 — Suma = 2(1 + 2 + … + 3) + 6 = 2·6 + 6 = 18.
  9. 6 — Din elementul 5 pornește o singură săgeată, care ajunge la 6. Deci f(5) = 6.
  10. 4 — f(4) = 3·4 + b = 16 ⇒ b = 16 − 12 = 4.
  11. {(0, 3), (1, 6), (2, 9), (3, 12), (4, 15)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, 3), (1, 6), (2, 9), (3, 12), (4, 15).
  12. 75 — Suma = 3(1 + 2 + … + 6) + 12 = 3·21 + 12 = 75.
  13. 1 — f(2) = 5·2 + b = 11 ⇒ b = 11 − 10 = 1.
  14. {−2, −1, 2} — f(−2) = f(2) = 2, f(−1) = f(1) = -1, f(0) = -2. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {−2, −1, 2}.
  15. {(0, 2), (1, 5), (2, 8), (3, 11)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, 2), (1, 5), (2, 8), (3, 11).
  16. 2 — Din elementul 7 pornește o singură săgeată, care ajunge la 2. Deci f(7) = 2.
  17. {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5).
  18. 2 — Din elementul 6 pornește o singură săgeată, care ajunge la 2. Deci f(6) = 2.
  19. 75 — Suma = 4(1 + 2 + … + 5) + 15 = 4·15 + 15 = 75.
  20. 2 — 2x = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2, valoare care aparține domeniului.
  21. {4, 5, 8} — f(−2) = f(2) = 8, f(−1) = f(1) = 5, f(0) = 4. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {4, 5, 8}.
  22. {(0, −2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, −2), (1, 1), (2, 4), (3, 7).
  23. −1 — 4x + 1 = −3 ⇒ 4x = −4 ⇒ x = −1, valoare care aparține domeniului.
  24. 4 — Din elementul 3 pornește o singură săgeată, care ajunge la 4. Deci f(3) = 4.
  25. {(0, 4), (1, 7), (2, 10), (3, 13), (4, 16)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, 4), (1, 7), (2, 10), (3, 13), (4, 16).
  26. {(0, −3), (1, −2), (2, −1), (3, 0)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, −3), (1, −2), (2, −1), (3, 0).
  27. 70 — Suma = 4(1 + 2 + … + 5) + 10 = 4·15 + 10 = 70.
  28. −1 — 3x − 3 = −6 ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1, valoare care aparține domeniului.
  29. {−4, −3, 0} — f(−2) = f(2) = 0, f(−1) = f(1) = -3, f(0) = -4. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {−4, −3, 0}.
  30. −2 — 4x − 1 = −9 ⇒ 4x = −8 ⇒ x = −2, valoare care aparține domeniului.
  31. 6 — Din elementul 7 pornește o singură săgeată, care ajunge la 6. Deci f(7) = 6.
  32. 2 — f(3) = 5·3 + b = 17 ⇒ b = 17 − 15 = 2.
  33. {(0, 4), (1, 7), (2, 10)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, 4), (1, 7), (2, 10).
  34. {3, 4, 7} — f(−2) = f(2) = 7, f(−1) = f(1) = 4, f(0) = 3. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {3, 4, 7}.
  35. 2 — 3x − 2 = 4 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2, valoare care aparține domeniului.
  36. 78 — Suma = 4(1 + 2 + … + 6) − 6 = 4·21 − 6 = 78.
  37. 36 — Suma = 2(1 + 2 + … + 6) − 6 = 2·21 − 6 = 36.
  38. 2 — Din elementul 7 pornește o singură săgeată, care ajunge la 2. Deci f(7) = 2.
  39. 2 — 2x + 5 = 9 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2, valoare care aparține domeniului.
  40. 3 — f(5) = 5·5 + b = 28 ⇒ b = 28 − 25 = 3.
  41. 1 — Din elementul 5 pornește o singură săgeată, care ajunge la 1. Deci f(5) = 1.
  42. 1 — f(4) = 5·4 + b = 21 ⇒ b = 21 − 20 = 1.
  43. 2 — f(4) = 2·4 + b = 10 ⇒ b = 10 − 8 = 2.
  44. 2 — f(2) = 2·2 + b = 6 ⇒ b = 6 − 4 = 2.
  45. {−1, 0, 3} — f(−2) = f(2) = 3, f(−1) = f(1) = 0, f(0) = -1. Mulțimea valorilor (fără repetări) este {−1, 0, 3}.
  46. 6 — Din elementul 7 pornește o singură săgeată, care ajunge la 6. Deci f(7) = 6.
  47. {(0, 1), (1, 4), (2, 7)} — Graficul este mulțimea perechilor (x, f(x​)): (0, 1), (1, 4), (2, 7).
  48. 2 — 2x + 4 = 8 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2, valoare care aparține domeniului.
  49. −2 — 3x + 1 = −5 ⇒ 3x = −6 ⇒ x = −2, valoare care aparține domeniului.
  50. −2 — 4x − 2 = −10 ⇒ 4x = −8 ⇒ x = −2, valoare care aparține domeniului.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 1. Calculează f(f(2)).
  2. Câte funcții f: {1, 2} → {1, 2, …, 4} au f(1) ≠ f(2)?
  3. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → ℝ, f(x​) = x(x − 7). Care este cea mai mică valoare a funcției?
  4. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 9. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  5. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 5. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  6. Câte funcții f: A → B există dacă A are 2 elemente și B are 3 elemente?
  7. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 3. Calculează f(f(3)).
  8. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 8. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  9. Fie f: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} → ℝ, f(x​) = x(x − 6). Care este cea mai mică valoare a funcției?
  10. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 4. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  11. Câte funcții f: A → B există dacă A are 3 elemente și B are 2 elemente?
  12. Fie f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ, f(x​) = x² − 4x. Câte perechi de elemente (x, y) din domeniu, cu x ≠ y, au f(x​) = f(y)?
  13. Câte funcții f: {1, 2} → {1, 2, …, 5} au f(1) ≠ f(2)?
  14. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 3. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  15. Câte funcții f: A → B există dacă A are 3 elemente și B are 4 elemente?
  16. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 2. Calculează f(f(1)).
  17. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 9. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  18. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 6. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  19. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 4. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  20. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 8. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  21. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 1. Calculează f(f(3)).
  22. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 6. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  23. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 7. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  24. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 1. Calculează f(f(1)).
  25. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 4. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  26. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 7. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  27. Câte funcții f: A → B există dacă A are 4 elemente și B are 3 elemente?
  28. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 2. Calculează f(f(3)).
  29. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 9. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  30. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 3. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  31. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 3. Calculează f(f(2)).
  32. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 3. Calculează f(f(2)).
  33. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 3. Calculează f(f(3)).
  34. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x + 3. Calculează f(f(3)).
  35. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x + 3. Calculează f(f(2)).
  36. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 3. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  37. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x + 2. Calculează f(f(1)).
  38. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 5. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  39. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x + 1. Calculează f(f(3)).
  40. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x + 2. Calculează f(f(2)).
  41. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 3. Calculează f(f(2)).
  42. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 5x − 7. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  43. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 1. Calculează f(f(3)).
  44. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 3. Calculează f(f(1)).
  45. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 5. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  46. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x + 2. Calculează f(f(2)).
  47. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 8. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
  48. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 3x − 1. Calculează f(f(2)).
  49. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x + 1. Calculează f(f(1)).
  50. Fie f: ℝ → ℝ, f(x​) = 4x − 6. Pentru ce valori ale lui x este f(x​) = x?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 22 — f(2) = 7. Apoi f(7) = 3·7 + 1 = 22.
  2. 12 — Pentru f(1) alegem una din 4 valori, iar pentru f(2) una din celelalte 3: 4·3 = 12.
  3. −12 — Calculăm f pentru fiecare element. Valoarea cea mai mică se atinge în mijlocul intervalului: f(0) = 0, f(1) = -6, f(2) = -10, f(3) = -12, f(4) = -12, f(5) = -10, f(6) = -6, f(7) = 0.
  4. 9/4 — 5x − 9 = x ⇒ 4x = 9 ⇒ x = 9/4.
  5. 5/2 — 3x − 5 = x ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 5/2.
  6. 9 — Fiecare dintre cele 2 elemente ale lui A poate avea imagine oricare dintre cele 3 elemente ale lui B, deci sunt 3^2 = 9 funcții.
  7. 15 — f(3) = 6. Apoi f(6) = 3·6 − 3 = 15.
  8. 4 — 3x − 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4.
  9. −9 — Calculăm f pentru fiecare element. Valoarea cea mai mică se atinge în mijlocul intervalului: f(0) = 0, f(1) = -5, f(2) = -8, f(3) = -9, f(4) = -8, f(5) = -5, f(6) = 0.
  10. 1 — 5x − 4 = x ⇒ 4x = 4 ⇒ x = 1.
  11. 8 — Fiecare dintre cele 3 elemente ale lui A poate avea imagine oricare dintre cele 2 elemente ale lui B, deci sunt 2^3 = 8 funcții.
  12. 0 — Calculăm valorile și numărăm perechile cu aceeași valoare: f(-2) = 12, f(-1) = 5, f(0) = 0, f(1) = -3, f(2) = -4.
  13. 20 — Pentru f(1) alegem una din 5 valori, iar pentru f(2) una din celelalte 4: 5·4 = 20.
  14. 3/2 — 3x − 3 = x ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2.
  15. 64 — Fiecare dintre cele 3 elemente ale lui A poate avea imagine oricare dintre cele 4 elemente ale lui B, deci sunt 4^3 = 64 funcții.
  16. 17 — f(1) = 5. Apoi f(5) = 3·5 + 2 = 17.
  17. 3 — 4x − 9 = x ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3.
  18. 3/2 — 5x − 6 = x ⇒ 4x = 6 ⇒ x = 3/2.
  19. 4/3 — 4x − 4 = x ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 4/3.
  20. 2 — 5x − 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2.
  21. 43 — f(3) = 11. Apoi f(11) = 4·11 − 1 = 43.
  22. 3 — 3x − 6 = x ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3.
  23. 7/2 — 3x − 7 = x ⇒ 2x = 7 ⇒ x = 7/2.
  24. 11 — f(1) = 3. Apoi f(3) = 4·3 − 1 = 11.
  25. 2 — 3x − 4 = x ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2.
  26. 7/3 — 4x − 7 = x ⇒ 3x = 7 ⇒ x = 7/3.
  27. 81 — Fiecare dintre cele 4 elemente ale lui A poate avea imagine oricare dintre cele 3 elemente ale lui B, deci sunt 3^4 = 81 funcții.
  28. 19 — f(3) = 7. Apoi f(7) = 3·7 − 2 = 19.
  29. 9/2 — 3x − 9 = x ⇒ 2x = 9 ⇒ x = 9/2.
  30. 3/4 — 5x − 3 = x ⇒ 4x = 3 ⇒ x = 3/4.
  31. 17 — f(2) = 5. Apoi f(5) = 4·5 − 3 = 17.
  32. 30 — f(2) = 9. Apoi f(9) = 3·9 + 3 = 30.
  33. 39 — f(3) = 12. Apoi f(12) = 3·12 + 3 = 39.
  34. 63 — f(3) = 15. Apoi f(15) = 4·15 + 3 = 63.
  35. 47 — f(2) = 11. Apoi f(11) = 4·11 + 3 = 47.
  36. 1 — 4x − 3 = x ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
  37. 26 — f(1) = 6. Apoi f(6) = 4·6 + 2 = 26.
  38. 5/4 — 5x − 5 = x ⇒ 4x = 5 ⇒ x = 5/4.
  39. 53 — f(3) = 13. Apoi f(13) = 4·13 + 1 = 53.
  40. 42 — f(2) = 10. Apoi f(10) = 4·10 + 2 = 42.
  41. 6 — f(2) = 3. Apoi f(3) = 3·3 − 3 = 6.
  42. 7/4 — 5x − 7 = x ⇒ 4x = 7 ⇒ x = 7/4.
  43. 31 — f(3) = 10. Apoi f(10) = 3·10 + 1 = 31.
  44. 21 — f(1) = 6. Apoi f(6) = 3·6 + 3 = 21.
  45. 5/3 — 4x − 5 = x ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 5/3.
  46. 26 — f(2) = 8. Apoi f(8) = 3·8 + 2 = 26.
  47. 8/3 — 4x − 8 = x ⇒ 3x = 8 ⇒ x = 8/3.
  48. 14 — f(2) = 5. Apoi f(5) = 3·5 − 1 = 14.
  49. 21 — f(1) = 5. Apoi f(5) = 4·5 + 1 = 21.
  50. 2 — 4x − 6 = x ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a