Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Fracții algebrice. Operații cu fracții algebrice

Fracții algebrice. Operații cu fracții algebrice

Condiții de existență, amplificare, simplificare, adunare, scădere, înmulțire și împărțire de fracții algebrice.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Fracții algebrice

O fracție algebrică este un raport de două expresii algebrice, A/B, cu B ≠ 0. Ea are sens doar pentru valorile lui x pentru care numitorul este diferit de 0 (condiții de existență).

Exemplul 1. Pentru ce valori ale lui x are sens 5/(x² − 4)?
Rezolvare. Cerem x² − 4 ≠ 0. Cum x² − 4 = (x − 2)(x + 2), x ≠ 2 și x ≠ −2. Deci x ∈ ℝ ∖ {−2, 2}.

Amplificare și simplificare

A/B = (A·C)/(B·C)   (amplificare, C ≠ 0)
(A·C)/(B·C) = A/B   (simplificare)

Simplificăm doar factori comuni, nu termeni! De aceea descompunem întâi numărătorul și numitorul în factori.

Exemplul 2. Simplifică (x² − 9)/(x² + 6x + 9), x ≠ −3.
Metoda 1 (descompunând). x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² + 6x + 9 = (x + 3)². Simplificăm cu (x + 3): (x − 3)/(x + 3).
Metoda 2 (verificare numerică). Pentru x = 1: (1 − 9)/(1 + 6 + 9) = −8/16 = −1/2, iar (1 − 3)/(1 + 3) = −2/4 = −1/2 ✓.

Adunarea și scăderea

Dacă numitorii sunt egali, adunăm numărătorii. Dacă sunt diferiți, aducem fracțiile la un numitor comun (de obicei produsul sau cel mai mic multiplu comun al numitorilor).

A/C + B/C = (A + B)/C
A/B + C/D = (AD + BC)/(BD)
Exemplul 3. Calculează 2/(x − 1) + 3/(x + 1), x ≠ ±1.
Metoda 1 (numitor comun). Numitorul comun este (x − 1)(x + 1). 2(x + 1) + 3(x − 1) = 5x − 1. Rezultat: (5x − 1)/((x − 1)(x + 1)).
Metoda 2 (verificare numerică). Pentru x = 2: 2/1 + 3/3 = 3, iar (10 − 1)/(1·3) = 3 ✓.

Înmulțirea și împărțirea

(A/B)·(C/D) = (A·C)/(B·D)
(A/B) : (C/D) = (A/B)·(D/C)
Exemplul 4. Calculează (x² − 1)/x · x²/(x + 1), x ∉ {0, −1}.
Metoda 1 (descompunând). x² − 1 = (x − 1)(x + 1). (x − 1)(x + 1)/x · x²/(x + 1) = (x − 1)·x = x² − x.
Metoda 2 (simplificând pe etape). Simplificăm (x + 1) și un x: rămâne (x − 1)·x.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Simplifică fracția (x² − 64)/(x − 8), x ≠ 8.
  2. Simplifică fracția (x² − 25)/(x − 5), x ≠ 5.
  3. Amplifică fracția x/(x + 2) cu 4.
  4. Calculează (x + 5)/(x + 5) + (x + 6)/(x + 5), x ≠ −5.
  5. Simplifică fracția (3x + 12)/3.
  6. Simplifică fracția (x² − 36)/(x − 6), x ≠ 6.
  7. Calculează valoarea fracției (x + 3)/(x − 2) pentru x = 4.
  8. Simplifică fracția (x² − 49)/(x − 7), x ≠ 7.
  9. Calculează (x + 1)/(x + 2) + (x + 5)/(x + 2), x ≠ −2.
  10. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 9/(x + 2)?
  11. Simplifică fracția (6x + 42)/6.
  12. Amplifică fracția x/(x + 3) cu 3.
  13. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 3/(x − 2)?
  14. Calculează (x + 7)/(x + 2) + (x + 5)/(x + 2), x ≠ −2.
  15. Amplifică fracția x/(x + 2) cu 2.
  16. Amplifică fracția x/(x + 4) cu 2.
  17. Calculează valoarea fracției (x − 3)/(x + 6) pentru x = −2.
  18. Amplifică fracția x/(x + 4) cu 5.
  19. Calculează (x + 6)/(x + 4) + (x + 1)/(x + 4), x ≠ −4.
  20. Calculează (x + 2)/(x + 4) + (x + 7)/(x + 4), x ≠ −4.
  21. Simplifică fracția (x² − 16)/(x − 4), x ≠ 4.
  22. Simplifică fracția (5x + 5)/5.
  23. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 6/(x + 9)?
  24. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 5/(x − 6)?
  25. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x − 4)?
  26. Calculează valoarea fracției (x + 5)/(x − 2) pentru x = 3.
  27. Simplifică fracția (5x + 15)/5.
  28. Simplifică fracția (x² − 4)/(x − 2), x ≠ 2.
  29. Simplifică fracția (2x + 2)/2.
  30. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x − 3)?
  31. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x − 6)?
  32. Calculează (x + 2)/(x + 3) + (x + 1)/(x + 3), x ≠ −3.
  33. Calculează valoarea fracției (x − 4)/(x + 6) pentru x = 3.
  34. Simplifică fracția (6x + 54)/6.
  35. Calculează (x + 4)/(x + 3) + (x + 4)/(x + 3), x ≠ −3.
  36. Simplifică fracția (x² − 9)/(x − 3), x ≠ 3.
  37. Amplifică fracția x/(x + 5) cu 5.
  38. Amplifică fracția x/(x + 4) cu 3.
  39. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x − 5)?
  40. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 5/(x + 7)?
  41. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 4/(x + 4)?
  42. Calculează (x + 6)/(x + 3) + (x + 7)/(x + 3), x ≠ −3.
  43. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 7/(x − 5)?
  44. Calculează valoarea fracției (x − 6)/(x + 1) pentru x = 4.
  45. Amplifică fracția x/(x + 4) cu 4.
  46. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 2/(x − 7)?
  47. Calculează (x + 2)/(x + 3) + (x + 5)/(x + 3), x ≠ −3.
  48. Amplifică fracția x/(x + 1) cu 3.
  49. Calculează (x + 1)/(x + 5) + (x + 7)/(x + 5), x ≠ −5.
  50. Calculează (x + 7)/(x + 5) + (x + 2)/(x + 5), x ≠ −5.
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. x + 8 — x² − 64 = (x − 8)(x + 8). Simplificăm cu (x − 8): rezultă x + 8.
  2. x + 5 — x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Simplificăm cu (x − 5): rezultă x + 5.
  3. 4x/(4x + 8) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 4: 4·x/(4·(x + 2)) = 4x/(4x + 8).
  4. (2x + 11)/(x + 5) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 5) + (x + 6) = 2x + 11. Rezultat: (2x + 11)/(x + 5).
  5. x + 4 — Scoatem factorul comun 3: 3(x + 4)/3 = x + 4.
  6. x + 6 — x² − 36 = (x − 6)(x + 6). Simplificăm cu (x − 6): rezultă x + 6.
  7. 7/2 — Pentru x = 4: (4 + 3)/(4 − 2) = 7/(2) = 7/2.
  8. x + 7 — x² − 49 = (x − 7)(x + 7). Simplificăm cu (x − 7): rezultă x + 7.
  9. (2x + 6)/(x + 2) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 1) + (x + 5) = 2x + 6. Rezultat: (2x + 6)/(x + 2).
  10. x ≠ −2 — Numitorul nu poate fi 0: x + 2 ≠ 0, deci x ≠ −2.
  11. x + 7 — Scoatem factorul comun 6: 6(x + 7)/6 = x + 7.
  12. 3x/(3x + 9) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 3: 3·x/(3·(x + 3)) = 3x/(3x + 9).
  13. x ≠ 2 — Numitorul nu poate fi 0: x − 2 ≠ 0, deci x ≠ 2.
  14. (2x + 12)/(x + 2) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 7) + (x + 5) = 2x + 12. Rezultat: (2x + 12)/(x + 2).
  15. 2x/(2x + 4) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 2: 2·x/(2·(x + 2)) = 2x/(2x + 4).
  16. 2x/(2x + 8) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 2: 2·x/(2·(x + 4)) = 2x/(2x + 8).
  17. −5/4 — Pentru x = −2: (−2 − 3)/(−2 + 6) = −5/(4) = −5/4.
  18. 5x/(5x + 20) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 5: 5·x/(5·(x + 4)) = 5x/(5x + 20).
  19. (2x + 7)/(x + 4) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 6) + (x + 1) = 2x + 7. Rezultat: (2x + 7)/(x + 4).
  20. (2x + 9)/(x + 4) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 2) + (x + 7) = 2x + 9. Rezultat: (2x + 9)/(x + 4).
  21. x + 4 — x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Simplificăm cu (x − 4): rezultă x + 4.
  22. x + 1 — Scoatem factorul comun 5: 5(x + 1)/5 = x + 1.
  23. x ≠ −9 — Numitorul nu poate fi 0: x + 9 ≠ 0, deci x ≠ −9.
  24. x ≠ 6 — Numitorul nu poate fi 0: x − 6 ≠ 0, deci x ≠ 6.
  25. x ≠ 4 — Numitorul nu poate fi 0: x − 4 ≠ 0, deci x ≠ 4.
  26. 8 — Pentru x = 3: (3 + 5)/(3 − 2) = 8/(1) = 8.
  27. x + 3 — Scoatem factorul comun 5: 5(x + 3)/5 = x + 3.
  28. x + 2 — x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Simplificăm cu (x − 2): rezultă x + 2.
  29. x + 1 — Scoatem factorul comun 2: 2(x + 1)/2 = x + 1.
  30. x ≠ 3 — Numitorul nu poate fi 0: x − 3 ≠ 0, deci x ≠ 3.
  31. x ≠ 6 — Numitorul nu poate fi 0: x − 6 ≠ 0, deci x ≠ 6.
  32. (2x + 3)/(x + 3) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 2) + (x + 1) = 2x + 3. Rezultat: (2x + 3)/(x + 3).
  33. −1/9 — Pentru x = 3: (3 − 4)/(3 + 6) = −1/(9) = −1/9.
  34. x + 9 — Scoatem factorul comun 6: 6(x + 9)/6 = x + 9.
  35. (2x + 8)/(x + 3) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 4) + (x + 4) = 2x + 8. Rezultat: (2x + 8)/(x + 3).
  36. x + 3 — x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Simplificăm cu (x − 3): rezultă x + 3.
  37. 5x/(5x + 25) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 5: 5·x/(5·(x + 5)) = 5x/(5x + 25).
  38. 3x/(3x + 12) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 3: 3·x/(3·(x + 4)) = 3x/(3x + 12).
  39. x ≠ 5 — Numitorul nu poate fi 0: x − 5 ≠ 0, deci x ≠ 5.
  40. x ≠ −7 — Numitorul nu poate fi 0: x + 7 ≠ 0, deci x ≠ −7.
  41. x ≠ −4 — Numitorul nu poate fi 0: x + 4 ≠ 0, deci x ≠ −4.
  42. (2x + 13)/(x + 3) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 6) + (x + 7) = 2x + 13. Rezultat: (2x + 13)/(x + 3).
  43. x ≠ 5 — Numitorul nu poate fi 0: x − 5 ≠ 0, deci x ≠ 5.
  44. −2/5 — Pentru x = 4: (4 − 6)/(4 + 1) = −2/(5) = −2/5.
  45. 4x/(4x + 16) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 4: 4·x/(4·(x + 4)) = 4x/(4x + 16).
  46. x ≠ 7 — Numitorul nu poate fi 0: x − 7 ≠ 0, deci x ≠ 7.
  47. (2x + 7)/(x + 3) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 2) + (x + 5) = 2x + 7. Rezultat: (2x + 7)/(x + 3).
  48. 3x/(3x + 3) — Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu 3: 3·x/(3·(x + 1)) = 3x/(3x + 3).
  49. (2x + 8)/(x + 5) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 1) + (x + 7) = 2x + 8. Rezultat: (2x + 8)/(x + 5).
  50. (2x + 9)/(x + 5) — Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: (x + 7) + (x + 2) = 2x + 9. Rezultat: (2x + 9)/(x + 5).

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Calculează (x² − 49)/(x + 8) : (x − 7)/(x + 8), x ∉ {−8, 7}.
  2. Simplifică (4x + 32)/(4x² − 256), x ≠ ±8.
  3. Calculează (x − 3)/(x − 2) · (x − 2)/(x + 2).
  4. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 4)?
  5. Simplifică fracția (30x² + 5x)/5x, x ≠ 0.
  6. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 16)?
  7. Simplifică (3x + 18)/(3x² − 108), x ≠ ±6.
  8. Simplifică (2x + 10)/(2x² − 50), x ≠ ±5.
  9. Simplifică fracția (x² − 16)/(x² + 8x + 16), x ≠ −4.
  10. Simplifică fracția (x² − 9)/(x² + 6x + 9), x ≠ −3.
  11. Calculează 6/(x + 1) + 1/(x + 6), x ∉ {−1, −6}.
  12. Calculează 1/(x − 7) − 1/(x + 7), x ≠ ±7.
  13. Simplifică fracția (15x² + 25x)/5x, x ≠ 0.
  14. Simplifică fracția (12x² + 6x)/3x, x ≠ 0.
  15. Simplifică (3x + 15)/(3x² − 75), x ≠ ±5.
  16. Simplifică (5x + 10)/(5x² − 20), x ≠ ±2.
  17. Simplifică fracția (8x² + 12x)/4x, x ≠ 0.
  18. Calculează 2/(x + 1) + 3/(x + 4), x ∉ {−1, −4}.
  19. Calculează 2/(x + 1) + 6/(x + 5), x ∉ {−1, −5}.
  20. Simplifică fracția (x² − 49)/(x² + 14x + 49), x ≠ −7.
  21. Calculează (x − 5)/(x − 6) · (x − 6)/(x + 4).
  22. Calculează 1/(x − 6) − 1/(x + 6), x ≠ ±6.
  23. Simplifică fracția (15x² + 3x)/3x, x ≠ 0.
  24. Calculează 1/(x − 2) − 1/(x + 2), x ≠ ±2.
  25. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 81)?
  26. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 49)?
  27. Calculează (x² − 64)/(x + 3) : (x − 8)/(x + 3), x ∉ {−3, 8}.
  28. Simplifică (4x + 36)/(4x² − 324), x ≠ ±9.
  29. Calculează 1/(x − 4) − 1/(x + 4), x ≠ ±4.
  30. Simplifică fracția (20x² + 10x)/5x, x ≠ 0.
  31. Calculează 3/(x + 4) + 4/(x + 3), x ∉ {−4, −3}.
  32. Simplifică fracția (x² − 4)/(x² + 4x + 4), x ≠ −2.
  33. Simplifică fracția (8x² + 18x)/2x, x ≠ 0.
  34. Simplifică fracția (15x² + 5x)/5x, x ≠ 0.
  35. Calculează 6/(x + 1) + 5/(x + 3), x ∉ {−1, −3}.
  36. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 36)?
  37. Calculează 5/(x + 4) + 5/(x + 3), x ∉ {−4, −3}.
  38. Calculează (x² − 25)/(x + 3) : (x − 5)/(x + 3), x ∉ {−3, 5}.
  39. Calculează (x + 3)/(x − 5) · (x − 5)/(x + 1).
  40. Simplifică (4x + 24)/(4x² − 144), x ≠ ±6.
  41. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 9)?
  42. Calculează 1/(x − 3) − 1/(x + 3), x ≠ ±3.
  43. Calculează (x + 2)/(x − 6) · (x − 6)/(x − 5).
  44. Simplifică fracția (12x² + 21x)/3x, x ≠ 0.
  45. Calculează 6/(x + 1) + 6/(x + 3), x ∉ {−1, −3}.
  46. Simplifică fracția (12x² + 8x)/2x, x ≠ 0.
  47. Simplifică (2x + 14)/(2x² − 98), x ≠ ±7.
  48. Simplifică (5x + 20)/(5x² − 80), x ≠ ±4.
  49. Pentru ce valori ale lui x are sens fracția 1/(x² − 64)?
  50. Simplifică (2x + 6)/(2x² − 18), x ≠ ±3.
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. x + 7 — Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa: (x² − 49)/(x + 8) · (x + 8)/(x − 7) = (x − 7)(x + 7)/(x − 7) = x + 7.
  2. 1/(x − 8) — Numărător: 4(x + 8). Numitor: 4(x² − 64) = 4(x − 8)(x + 8). Simplificăm cu 4(x + 8): 1/(x − 8).
  3. (x − 3)/(x + 2) — Simplificăm factorul comun (x − 2): rămâne (x − 3)/(x + 2).
  4. x ∈ ℝ ∖ {−2, 2} — Numitorul se anulează când x² = 4, adică x = 2 sau x = −2. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−2, 2}.
  5. 6x + 1 — Scoatem factorul comun 5x: 5x(6x + 1)/5x = 6x + 1.
  6. x ∈ ℝ ∖ {−4, 4} — Numitorul se anulează când x² = 16, adică x = 4 sau x = −4. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−4, 4}.
  7. 1/(x − 6) — Numărător: 3(x + 6). Numitor: 3(x² − 36) = 3(x − 6)(x + 6). Simplificăm cu 3(x + 6): 1/(x − 6).
  8. 1/(x − 5) — Numărător: 2(x + 5). Numitor: 2(x² − 25) = 2(x − 5)(x + 5). Simplificăm cu 2(x + 5): 1/(x − 5).
  9. (x − 4)/(x + 4) — Numărător: x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Numitor: x² + 8x + 16 = (x + 4)². Simplificăm cu (x + 4): (x − 4)/(x + 4).
  10. (x − 3)/(x + 3) — Numărător: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Numitor: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Simplificăm cu (x + 3): (x − 3)/(x + 3).
  11. (7x + 37)/((x + 1)(x + 6)) — Numitor comun: (x + 1)(x + 6). Amplificăm: 6(x + 6) + 1(x + 1) = 7x + 37. Rezultat: (7x + 37)/((x + 1)(x + 6)).
  12. 14/((x − 7)(x + 7)) — Numitor comun (x − 7)(x + 7): [(x + 7) − (x − 7)]/((x − 7)(x + 7)) = 14/((x − 7)(x + 7)).
  13. 3x + 5 — Scoatem factorul comun 5x: 5x(3x + 5)/5x = 3x + 5.
  14. 4x + 2 — Scoatem factorul comun 3x: 3x(4x + 2)/3x = 4x + 2.
  15. 1/(x − 5) — Numărător: 3(x + 5). Numitor: 3(x² − 25) = 3(x − 5)(x + 5). Simplificăm cu 3(x + 5): 1/(x − 5).
  16. 1/(x − 2) — Numărător: 5(x + 2). Numitor: 5(x² − 4) = 5(x − 2)(x + 2). Simplificăm cu 5(x + 2): 1/(x − 2).
  17. 2x + 3 — Scoatem factorul comun 4x: 4x(2x + 3)/4x = 2x + 3.
  18. (5x + 11)/((x + 1)(x + 4)) — Numitor comun: (x + 1)(x + 4). Amplificăm: 2(x + 4) + 3(x + 1) = 5x + 11. Rezultat: (5x + 11)/((x + 1)(x + 4)).
  19. (8x + 16)/((x + 1)(x + 5)) — Numitor comun: (x + 1)(x + 5). Amplificăm: 2(x + 5) + 6(x + 1) = 8x + 16. Rezultat: (8x + 16)/((x + 1)(x + 5)).
  20. (x − 7)/(x + 7) — Numărător: x² − 49 = (x − 7)(x + 7). Numitor: x² + 14x + 49 = (x + 7)². Simplificăm cu (x + 7): (x − 7)/(x + 7).
  21. (x − 5)/(x + 4) — Simplificăm factorul comun (x − 6): rămâne (x − 5)/(x + 4).
  22. 12/((x − 6)(x + 6)) — Numitor comun (x − 6)(x + 6): [(x + 6) − (x − 6)]/((x − 6)(x + 6)) = 12/((x − 6)(x + 6)).
  23. 5x + 1 — Scoatem factorul comun 3x: 3x(5x + 1)/3x = 5x + 1.
  24. 4/((x − 2)(x + 2)) — Numitor comun (x − 2)(x + 2): [(x + 2) − (x − 2)]/((x − 2)(x + 2)) = 4/((x − 2)(x + 2)).
  25. x ∈ ℝ ∖ {−9, 9} — Numitorul se anulează când x² = 81, adică x = 9 sau x = −9. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−9, 9}.
  26. x ∈ ℝ ∖ {−7, 7} — Numitorul se anulează când x² = 49, adică x = 7 sau x = −7. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−7, 7}.
  27. x + 8 — Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa: (x² − 64)/(x + 3) · (x + 3)/(x − 8) = (x − 8)(x + 8)/(x − 8) = x + 8.
  28. 1/(x − 9) — Numărător: 4(x + 9). Numitor: 4(x² − 81) = 4(x − 9)(x + 9). Simplificăm cu 4(x + 9): 1/(x − 9).
  29. 8/((x − 4)(x + 4)) — Numitor comun (x − 4)(x + 4): [(x + 4) − (x − 4)]/((x − 4)(x + 4)) = 8/((x − 4)(x + 4)).
  30. 4x + 2 — Scoatem factorul comun 5x: 5x(4x + 2)/5x = 4x + 2.
  31. (7x + 25)/((x + 4)(x + 3)) — Numitor comun: (x + 4)(x + 3). Amplificăm: 3(x + 3) + 4(x + 4) = 7x + 25. Rezultat: (7x + 25)/((x + 4)(x + 3)).
  32. (x − 2)/(x + 2) — Numărător: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Numitor: x² + 4x + 4 = (x + 2)². Simplificăm cu (x + 2): (x − 2)/(x + 2).
  33. 4x + 9 — Scoatem factorul comun 2x: 2x(4x + 9)/2x = 4x + 9.
  34. 3x + 1 — Scoatem factorul comun 5x: 5x(3x + 1)/5x = 3x + 1.
  35. (11x + 23)/((x + 1)(x + 3)) — Numitor comun: (x + 1)(x + 3). Amplificăm: 6(x + 3) + 5(x + 1) = 11x + 23. Rezultat: (11x + 23)/((x + 1)(x + 3)).
  36. x ∈ ℝ ∖ {−6, 6} — Numitorul se anulează când x² = 36, adică x = 6 sau x = −6. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−6, 6}.
  37. (10x + 35)/((x + 4)(x + 3)) — Numitor comun: (x + 4)(x + 3). Amplificăm: 5(x + 3) + 5(x + 4) = 10x + 35. Rezultat: (10x + 35)/((x + 4)(x + 3)).
  38. x + 5 — Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa: (x² − 25)/(x + 3) · (x + 3)/(x − 5) = (x − 5)(x + 5)/(x − 5) = x + 5.
  39. (x + 3)/(x + 1) — Simplificăm factorul comun (x − 5): rămâne (x + 3)/(x + 1).
  40. 1/(x − 6) — Numărător: 4(x + 6). Numitor: 4(x² − 36) = 4(x − 6)(x + 6). Simplificăm cu 4(x + 6): 1/(x − 6).
  41. x ∈ ℝ ∖ {−3, 3} — Numitorul se anulează când x² = 9, adică x = 3 sau x = −3. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−3, 3}.
  42. 6/((x − 3)(x + 3)) — Numitor comun (x − 3)(x + 3): [(x + 3) − (x − 3)]/((x − 3)(x + 3)) = 6/((x − 3)(x + 3)).
  43. (x + 2)/(x − 5) — Simplificăm factorul comun (x − 6): rămâne (x + 2)/(x − 5).
  44. 4x + 7 — Scoatem factorul comun 3x: 3x(4x + 7)/3x = 4x + 7.
  45. (12x + 24)/((x + 1)(x + 3)) — Numitor comun: (x + 1)(x + 3). Amplificăm: 6(x + 3) + 6(x + 1) = 12x + 24. Rezultat: (12x + 24)/((x + 1)(x + 3)).
  46. 6x + 4 — Scoatem factorul comun 2x: 2x(6x + 4)/2x = 6x + 4.
  47. 1/(x − 7) — Numărător: 2(x + 7). Numitor: 2(x² − 49) = 2(x − 7)(x + 7). Simplificăm cu 2(x + 7): 1/(x − 7).
  48. 1/(x − 4) — Numărător: 5(x + 4). Numitor: 5(x² − 16) = 5(x − 4)(x + 4). Simplificăm cu 5(x + 4): 1/(x − 4).
  49. x ∈ ℝ ∖ {−8, 8} — Numitorul se anulează când x² = 64, adică x = 8 sau x = −8. Fracția are sens pentru x ∈ ℝ ∖ {−8, 8}.
  50. 1/(x − 3) — Numărător: 2(x + 3). Numitor: 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3). Simplificăm cu 2(x + 3): 1/(x − 3).

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Calculează (1/(x − 7) + 1/(x + 7)) · (x² − 49), x ≠ ±7.
  2. Calculează x/(x + 2) + 2/(x + 2) − 1, x ≠ −2.
  3. Fie E = (3x² − 12)/(3x + 6). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 5.
  4. Calculează x/(x + 3) + 3/(x + 3) − 1, x ≠ −3.
  5. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 6) + 1/(x + 4)?
  6. Fie E = (5x² − 20)/(5x + 10). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 5.
  7. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 3) + 1/(x + 6)?
  8. Calculează (1/(x − 2) + 1/(x + 2)) · (x² − 4), x ≠ ±2.
  9. Calculează 1/x + 2/(x + 3), x ∉ {0, −3}.
  10. Fie E = (5x² − 80)/(5x + 20). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 9.
  11. Fie E = (2x² − 18)/(2x + 6). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 7.
  12. Calculează 2/x + 3/(x + 5), x ∉ {0, −5}.
  13. Calculează x/(x + 6) + 6/(x + 6) − 1, x ≠ −6.
  14. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 3) + 1/(x + 4)?
  15. Calculează (x² − 25)/(x² − 10x + 25) · (x − 5)/(x + 5), x ≠ ±5.
  16. Fie E = (5x² − 125)/(5x + 25). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 11.
  17. Calculează 3/x + 5/(x + 1), x ∉ {0, −1}.
  18. Calculează x/(x + 4) + 4/(x + 4) − 1, x ≠ −4.
  19. Pentru ce valori ale lui x este egală cu 0 fracția (x² − 25)/(x + 3)?
  20. Calculează (x + 5)/(x − 5) − (x − 5)/(x + 5), x ≠ ±5.
  21. Calculează x/(x − 6) · (x² − 36)/x², x ∉ {0, 6}.
  22. Calculează (1/(x − 8) + 1/(x + 8)) · (x² − 64), x ≠ ±8.
  23. Calculează valoarea fracției (x² − 1)/(x − 1) pentru x = 5.
  24. Simplifică fracția (x² + 12x + 36)/(x² − 36), x ≠ ±6.
  25. Calculează 5/x + 1/(x + 4), x ∉ {0, −4}.
  26. Calculează (x + 3)/(x − 3) − (x − 3)/(x + 3), x ≠ ±3.
  27. Simplifică fracția (x² + 8x + 16)/(x² − 16), x ≠ ±4.
  28. Calculează (x² − 9)/(x² − 6x + 9) · (x − 3)/(x + 3), x ≠ ±3.
  29. Calculează (1/(x − 3) + 1/(x + 3)) · (x² − 9), x ≠ ±3.
  30. Calculează 5/x + 2/(x + 3), x ∉ {0, −3}.
  31. Calculează x/(x − 5) · (x² − 25)/x², x ∉ {0, 5}.
  32. Calculează (x² − 36)/(x² − 12x + 36) · (x − 6)/(x + 6), x ≠ ±6.
  33. Fie E = (3x² − 3)/(3x + 3). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 3.
  34. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 4) + 1/(x + 7)?
  35. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 6) + 1/(x + 5)?
  36. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 3) + 1/(x + 7)?
  37. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 4) + 1/(x + 2)?
  38. Calculează x/(x + 5) + 5/(x + 5) − 1, x ≠ −5.
  39. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia 1/(x − 5) + 1/(x + 4)?
  40. Fie E = (6x² − 6)/(6x + 6). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 3.
  41. Calculează (x² − 49)/(x² − 14x + 49) · (x − 7)/(x + 7), x ≠ ±7.
  42. Calculează (x + 4)/(x − 4) − (x − 4)/(x + 4), x ≠ ±4.
  43. Calculează 5/x + 2/(x + 1), x ∉ {0, −1}.
  44. Calculează x/(x − 7) · (x² − 49)/x², x ∉ {0, 7}.
  45. Fie E = (6x² − 150)/(6x + 30). Simplifică E și calculează valoarea lui E pentru x = 11.
  46. Calculează valoarea fracției (x² − 25)/(x − 5) pentru x = 4.
  47. Calculează 3/x + 2/(x + 2), x ∉ {0, −2}.
  48. Calculează valoarea fracției (x² − 1)/(x − 1) pentru x = 6.
  49. Simplifică fracția (x² + 10x + 25)/(x² − 25), x ≠ ±5.
  50. Simplifică fracția (x² + 6x + 9)/(x² − 9), x ≠ ±3.
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 2x — Suma din paranteză: (x + 7 + x − 7)/((x − 7)(x + 7)) = 2x/(x² − 49). Apoi 2x/(x² − 49) · (x² − 49) = 2x.
  2. 0 — Cele trei termeni au același numitor: (x + 2)/(x + 2) − 1 = 1 − 1 = 0.
  3. 3 — E = 3(x − 2)(x + 2)/(3(x + 2)) = x − 2. Pentru x = 5: 5 − 2 = 3.
  4. 0 — Cele trei termeni au același numitor: (x + 3)/(x + 3) − 1 = 1 − 1 = 0.
  5. x ∈ ℝ ∖ {6, −4} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 6; x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ −4. Deci x ∈ ℝ ∖ {6, −4}.
  6. 3 — E = 5(x − 2)(x + 2)/(5(x + 2)) = x − 2. Pentru x = 5: 5 − 2 = 3.
  7. x ∈ ℝ ∖ {3, −6} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3; x + 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ −6. Deci x ∈ ℝ ∖ {3, −6}.
  8. 2x — Suma din paranteză: (x + 2 + x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 2x/(x² − 4). Apoi 2x/(x² − 4) · (x² − 4) = 2x.
  9. (3x + 3)/(x(x + 3)) — Numitor comun x(x + 3): 1(x + 3) + 2x = 3x + 3. Rezultat: (3x + 3)/(x(x + 3)).
  10. 5 — E = 5(x − 4)(x + 4)/(5(x + 4)) = x − 4. Pentru x = 9: 9 − 4 = 5.
  11. 4 — E = 2(x − 3)(x + 3)/(2(x + 3)) = x − 3. Pentru x = 7: 7 − 3 = 4.
  12. (5x + 10)/(x(x + 5)) — Numitor comun x(x + 5): 2(x + 5) + 3x = 5x + 10. Rezultat: (5x + 10)/(x(x + 5)).
  13. 0 — Cele trei termeni au același numitor: (x + 6)/(x + 6) − 1 = 1 − 1 = 0.
  14. x ∈ ℝ ∖ {3, −4} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3; x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ −4. Deci x ∈ ℝ ∖ {3, −4}.
  15. 1 — x² − 25 = (x − 5)(x + 5); x² − 10x + 25 = (x − 5)². Produsul = (x − 5)(x + 5)/(x − 5)² · (x − 5)/(x + 5) = 1.
  16. 6 — E = 5(x − 5)(x + 5)/(5(x + 5)) = x − 5. Pentru x = 11: 11 − 5 = 6.
  17. (8x + 3)/(x(x + 1)) — Numitor comun x(x + 1): 3(x + 1) + 5x = 8x + 3. Rezultat: (8x + 3)/(x(x + 1)).
  18. 0 — Cele trei termeni au același numitor: (x + 4)/(x + 4) − 1 = 1 − 1 = 0.
  19. x ∈ {-5, 5} — O fracție este 0 când numărătorul este 0 și numitorul este nenul: x² = 25 ⇒ x = ±5; numitorul x + 3 ≠ 0 pentru x = ±5.
  20. 20x/((x − 5)(x + 5)) — Numitor comun (x − 5)(x + 5): [(x + 5)² − (x − 5)²]/((x − 5)(x + 5)) = 20x/((x − 5)(x + 5)).
  21. (x + 6)/x — x/(x − 6) · (x − 6)(x + 6)/x² = (x + 6)/x.
  22. 2x — Suma din paranteză: (x + 8 + x − 8)/((x − 8)(x + 8)) = 2x/(x² − 64). Apoi 2x/(x² − 64) · (x² − 64) = 2x.
  23. 6 — Simplificăm: (x² − 1)/(x − 1) = x + 1. Pentru x = 5: 5 + 1 = 6.
  24. (x + 6)/(x − 6) — x² + 12x + 36 = (x + 6)²; x² − 36 = (x − 6)(x + 6). Simplificăm cu (x + 6): (x + 6)/(x − 6).
  25. (6x + 20)/(x(x + 4)) — Numitor comun x(x + 4): 5(x + 4) + 1x = 6x + 20. Rezultat: (6x + 20)/(x(x + 4)).
  26. 12x/((x − 3)(x + 3)) — Numitor comun (x − 3)(x + 3): [(x + 3)² − (x − 3)²]/((x − 3)(x + 3)) = 12x/((x − 3)(x + 3)).
  27. (x + 4)/(x − 4) — x² + 8x + 16 = (x + 4)²; x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Simplificăm cu (x + 4): (x + 4)/(x − 4).
  28. 1 — x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² − 6x + 9 = (x − 3)². Produsul = (x − 3)(x + 3)/(x − 3)² · (x − 3)/(x + 3) = 1.
  29. 2x — Suma din paranteză: (x + 3 + x − 3)/((x − 3)(x + 3)) = 2x/(x² − 9). Apoi 2x/(x² − 9) · (x² − 9) = 2x.
  30. (7x + 15)/(x(x + 3)) — Numitor comun x(x + 3): 5(x + 3) + 2x = 7x + 15. Rezultat: (7x + 15)/(x(x + 3)).
  31. (x + 5)/x — x/(x − 5) · (x − 5)(x + 5)/x² = (x + 5)/x.
  32. 1 — x² − 36 = (x − 6)(x + 6); x² − 12x + 36 = (x − 6)². Produsul = (x − 6)(x + 6)/(x − 6)² · (x − 6)/(x + 6) = 1.
  33. 2 — E = 3(x − 1)(x + 1)/(3(x + 1)) = x − 1. Pentru x = 3: 3 − 1 = 2.
  34. x ∈ ℝ ∖ {4, −7} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4; x + 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ −7. Deci x ∈ ℝ ∖ {4, −7}.
  35. x ∈ ℝ ∖ {6, −5} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 6; x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ −5. Deci x ∈ ℝ ∖ {6, −5}.
  36. x ∈ ℝ ∖ {3, −7} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3; x + 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ −7. Deci x ∈ ℝ ∖ {3, −7}.
  37. x ∈ ℝ ∖ {4, −2} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4; x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2. Deci x ∈ ℝ ∖ {4, −2}.
  38. 0 — Cele trei termeni au același numitor: (x + 5)/(x + 5) − 1 = 1 − 1 = 0.
  39. x ∈ ℝ ∖ {5, −4} — Trebuie ca ambii numitori să fie nenuli: x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5; x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ −4. Deci x ∈ ℝ ∖ {5, −4}.
  40. 2 — E = 6(x − 1)(x + 1)/(6(x + 1)) = x − 1. Pentru x = 3: 3 − 1 = 2.
  41. 1 — x² − 49 = (x − 7)(x + 7); x² − 14x + 49 = (x − 7)². Produsul = (x − 7)(x + 7)/(x − 7)² · (x − 7)/(x + 7) = 1.
  42. 16x/((x − 4)(x + 4)) — Numitor comun (x − 4)(x + 4): [(x + 4)² − (x − 4)²]/((x − 4)(x + 4)) = 16x/((x − 4)(x + 4)).
  43. (7x + 5)/(x(x + 1)) — Numitor comun x(x + 1): 5(x + 1) + 2x = 7x + 5. Rezultat: (7x + 5)/(x(x + 1)).
  44. (x + 7)/x — x/(x − 7) · (x − 7)(x + 7)/x² = (x + 7)/x.
  45. 6 — E = 6(x − 5)(x + 5)/(6(x + 5)) = x − 5. Pentru x = 11: 11 − 5 = 6.
  46. 9 — Simplificăm: (x² − 25)/(x − 5) = x + 5. Pentru x = 4: 4 + 5 = 9.
  47. (5x + 6)/(x(x + 2)) — Numitor comun x(x + 2): 3(x + 2) + 2x = 5x + 6. Rezultat: (5x + 6)/(x(x + 2)).
  48. 7 — Simplificăm: (x² − 1)/(x − 1) = x + 1. Pentru x = 6: 6 + 1 = 7.
  49. (x + 5)/(x − 5) — x² + 10x + 25 = (x + 5)²; x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Simplificăm cu (x + 5): (x + 5)/(x − 5).
  50. (x + 3)/(x − 3) — x² + 6x + 9 = (x + 3)²; x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Simplificăm cu (x + 3): (x + 3)/(x − 3).

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a