Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Ecuația de forma ax² + bx + c = 0, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

Ecuația de forma ax² + bx + c = 0, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

Rezolvarea ecuațiilor de gradul II prin descompunere în factori și prin completarea pătratului, numărul soluțiilor reale, probleme.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ecuația de gradul al doilea

O ecuație de forma ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) se numește ecuație de gradul al doilea. A o rezolva în ℝ înseamnă a găsi toate numerele reale care o verifică, numite soluții sau rădăcini. O astfel de ecuație are cel mult două soluții reale.

Ecuații incomplete

x² = k: k > 0 ⇒ x = ±√k; k = 0 ⇒ x = 0; k < 0 ⇒ nu are soluții reale
x(x − a) = 0 ⇒ x = 0 sau x = a
un produs este 0 când cel puțin un factor este 0
Exemplul 1. Rezolvă x² − 25 = 0 și x² − 7x = 0.
Metoda 1 (prin descompunere). x² − 25 = (x − 5)(x + 5) = 0 ⇒ x = ±5. x² − 7x = x(x − 7) = 0 ⇒ x = 0 sau x = 7.
Metoda 2 (prin extragerea rădăcinii). x² = 25 ⇒ x = ±5. A doua ecuație se rezolvă numai prin factor comun.

Metoda 1: descompunerea în factori

Descompunem trinomul în factori și folosim regula „produsul este 0”.

Exemplul 2. Rezolvă x² − x − 6 = 0.
Metoda 1 (prin descompunere). Căutăm două numere cu suma −1 și produsul −6: −3 și 2. Atunci (x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 sau x = −2.
Metoda 2 (prin grafic). Parabola y = x² − x − 6 taie axa Ox în punctele de abscisă −2 și 3, care sunt soluțiile ecuației.
−23yxO

Soluțiile ecuației x² − x − 6 = 0 sunt abscisele punctelor în care parabola y = x² − x − 6 taie axa Ox

Exemplul 3. Rezolvă 2x² − 5x − 3 = 0.
Rezolvare (prin grupare). Despărțim −5x = −6x + x (produsul 2·(−3) = −6): 2x² − 6x + x − 3 = 2x(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(2x + 1). Soluții: x = 3 și x = −1/2.

Metoda 2: completarea pătratului

Transformăm ecuația în forma (x + h)² = k, folosind formula (x + h)² = x² + 2hx + h². Metoda funcționează și când soluțiile nu sunt întregi.

Exemplul 4. Rezolvă x² + 6x − 1 = 0.
Metoda 1 (completând pătratul). x² + 6x + 9 = 1 + 9 ⇒ (x + 3)² = 10 ⇒ x + 3 = ±√10 ⇒ x = −3 ± √10.
Metoda 2 (verificare). Pentru x = −3 + √10: (−3 + √10)² + 6(−3 + √10) − 1 = 9 − 6√10 + 10 − 18 + 6√10 − 1 = 0 ✓.
Exemplul 5. Rezolvă x² + 4x + 7 = 0.
Rezolvare. x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3 > 0 pentru orice x real. Ecuația nu are soluții reale.

Probleme care duc la ecuații de gradul II

Exemplul 6. Produsul a două numere naturale consecutive este 72. Află numerele.
Rezolvare. Numerele x și x + 1: x(x + 1) = 72 ⇒ x² + x − 72 = 0 ⇒ (x − 8)(x + 9) = 0. Cum x este natural, x = 8. Numerele sunt 8 și 9.
Exemplul 7. Un dreptunghi are lungimea cu 3 cm mai mare decât lățimea și aria 54 cm². Află laturile.
Rezolvare. x(x + 3) = 54 ⇒ x² + 3x − 54 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 9) = 0. Cum x > 0, lățimea este 6 cm și lungimea 9 cm.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 25?
  2. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 4) = 0?
  3. Este 4 soluție a ecuației x² = 9?
  4. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 144?
  5. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 3)² = 0?
  6. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 196?
  7. Care este mulțimea soluțiilor ecuației 6x² = 24?
  8. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = −9?
  9. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 1) = 0?
  10. Care este mulțimea soluțiilor ecuației 5x² = 125?
  11. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 8)² = 0?
  12. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = −5?
  13. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x + 3)(x − 9) = 0?
  14. Este 0 soluție a ecuației x² = 81?
  15. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 16?
  16. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 10) = 0?
  17. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 36?
  18. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 100?
  19. Este 0 soluție a ecuației x² = 9?
  20. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 3)(x − 7) = 0?
  21. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 225?
  22. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 6)(x − 3) = 0?
  23. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 6) = 0?
  24. Este 10 soluție a ecuației x² = 81?
  25. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 64?
  26. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 6)² = 0?
  27. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 10)² = 0?
  28. Este 64 soluție a ecuației x² = 64?
  29. Este 9 soluție a ecuației x² = 9?
  30. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 9)² = 0?
  31. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = −3?
  32. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 9?
  33. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 12) = 0?
  34. Este −5 soluție a ecuației x² = 25?
  35. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = 121?
  36. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 8) = 0?
  37. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 2)² = 0?
  38. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 4)² = 0?
  39. Care este mulțimea soluțiilor ecuației 2x² = 98?
  40. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x + 8)(x + 5) = 0?
  41. Care este mulțimea soluțiilor ecuației 6x² = 54?
  42. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 1)(x + 5) = 0?
  43. Care este mulțimea soluțiilor ecuației (x − 1)² = 0?
  44. Este −8 soluție a ecuației x² = 64?
  45. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = −2?
  46. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 11) = 0?
  47. Care este mulțimea soluțiilor ecuației 4x² = 16?
  48. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 3) = 0?
  49. Care este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x² = −7?
  50. Care este mulțimea soluțiilor ecuației x(x − 9) = 0?
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. {−5, 5} — x² = 25 ⇒ x = √25 sau x = −√25, adică x = 5 sau x = -5. Mulțimea soluțiilor: {−5, 5}.
  2. {0, 4} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 4 = 0, adică x = 4. Soluții: {0, 4}.
  3. Nu — (4)² = 16, iar membrul drept este 9. Egalitatea nu este adevărată.
  4. {−12, 12} — x² = 144 ⇒ x = √144 sau x = −√144, adică x = 12 sau x = -12. Mulțimea soluțiilor: {−12, 12}.
  5. {3} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 3 = 0, deci x = 3. Ecuația are o singură soluție.
  6. {−14, 14} — x² = 196 ⇒ x = √196 sau x = −√196, adică x = 14 sau x = -14. Mulțimea soluțiilor: {−14, 14}.
  7. {−2, 2} — Împărțim la 6: x² = 4, deci x = ±2.
  8. ∅ — Un pătrat de număr real nu poate fi negativ. Ecuația x² = −9 nu are soluții reale: mulțimea soluțiilor este ∅.
  9. {0, 1} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 1 = 0, adică x = 1. Soluții: {0, 1}.
  10. {−5, 5} — Împărțim la 5: x² = 25, deci x = ±5.
  11. {8} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 8 = 0, deci x = 8. Ecuația are o singură soluție.
  12. ∅ — Un pătrat de număr real nu poate fi negativ. Ecuația x² = −5 nu are soluții reale: mulțimea soluțiilor este ∅.
  13. {−3, 9} — Un produs este 0 când un factor este 0: x + 3 = 0 ⇒ x = −3, sau x − 9 = 0 ⇒ x = 9.
  14. Nu — (0)² = 0, iar membrul drept este 81. Egalitatea nu este adevărată.
  15. {−4, 4} — x² = 16 ⇒ x = √16 sau x = −√16, adică x = 4 sau x = -4. Mulțimea soluțiilor: {−4, 4}.
  16. {0, 10} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 10 = 0, adică x = 10. Soluții: {0, 10}.
  17. {−6, 6} — x² = 36 ⇒ x = √36 sau x = −√36, adică x = 6 sau x = -6. Mulțimea soluțiilor: {−6, 6}.
  18. {−10, 10} — x² = 100 ⇒ x = √100 sau x = −√100, adică x = 10 sau x = -10. Mulțimea soluțiilor: {−10, 10}.
  19. Nu — (0)² = 0, iar membrul drept este 9. Egalitatea nu este adevărată.
  20. {3, 7} — Un produs este 0 când un factor este 0: x − 3 = 0 ⇒ x = 3, sau x − 7 = 0 ⇒ x = 7.
  21. {−15, 15} — x² = 225 ⇒ x = √225 sau x = −√225, adică x = 15 sau x = -15. Mulțimea soluțiilor: {−15, 15}.
  22. {3, 6} — Un produs este 0 când un factor este 0: x − 6 = 0 ⇒ x = 6, sau x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
  23. {0, 6} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 6 = 0, adică x = 6. Soluții: {0, 6}.
  24. Nu — (10)² = 100, iar membrul drept este 81. Egalitatea nu este adevărată.
  25. {−8, 8} — x² = 64 ⇒ x = √64 sau x = −√64, adică x = 8 sau x = -8. Mulțimea soluțiilor: {−8, 8}.
  26. {6} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 6 = 0, deci x = 6. Ecuația are o singură soluție.
  27. {10} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 10 = 0, deci x = 10. Ecuația are o singură soluție.
  28. Nu — (64)² = 4096, iar membrul drept este 64. Egalitatea nu este adevărată.
  29. Nu — (9)² = 81, iar membrul drept este 9. Egalitatea nu este adevărată.
  30. {9} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 9 = 0, deci x = 9. Ecuația are o singură soluție.
  31. ∅ — Un pătrat de număr real nu poate fi negativ. Ecuația x² = −3 nu are soluții reale: mulțimea soluțiilor este ∅.
  32. {−3, 3} — x² = 9 ⇒ x = √9 sau x = −√9, adică x = 3 sau x = -3. Mulțimea soluțiilor: {−3, 3}.
  33. {0, 12} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 12 = 0, adică x = 12. Soluții: {0, 12}.
  34. Da — (−5)² = 25, iar membrul drept este 25. Egalitatea este adevărată.
  35. {−11, 11} — x² = 121 ⇒ x = √121 sau x = −√121, adică x = 11 sau x = -11. Mulțimea soluțiilor: {−11, 11}.
  36. {0, 8} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 8 = 0, adică x = 8. Soluții: {0, 8}.
  37. {2} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 2 = 0, deci x = 2. Ecuația are o singură soluție.
  38. {4} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 4 = 0, deci x = 4. Ecuația are o singură soluție.
  39. {−7, 7} — Împărțim la 2: x² = 49, deci x = ±7.
  40. {−8, −5} — Un produs este 0 când un factor este 0: x + 8 = 0 ⇒ x = −8, sau x + 5 = 0 ⇒ x = −5.
  41. {−3, 3} — Împărțim la 6: x² = 9, deci x = ±3.
  42. {−5, 1} — Un produs este 0 când un factor este 0: x − 1 = 0 ⇒ x = 1, sau x + 5 = 0 ⇒ x = −5.
  43. {1} — Un pătrat este 0 doar când baza este 0: x − 1 = 0, deci x = 1. Ecuația are o singură soluție.
  44. Da — (−8)² = 64, iar membrul drept este 64. Egalitatea este adevărată.
  45. ∅ — Un pătrat de număr real nu poate fi negativ. Ecuația x² = −2 nu are soluții reale: mulțimea soluțiilor este ∅.
  46. {0, 11} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 11 = 0, adică x = 11. Soluții: {0, 11}.
  47. {−2, 2} — Împărțim la 4: x² = 4, deci x = ±2.
  48. {0, 3} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 3 = 0, adică x = 3. Soluții: {0, 3}.
  49. ∅ — Un pătrat de număr real nu poate fi negativ. Ecuația x² = −7 nu are soluții reale: mulțimea soluțiilor este ∅.
  50. {0, 9} — Produsul este 0 când x = 0 sau x − 9 = 0, adică x = 9. Soluții: {0, 9}.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Este −5 soluție a ecuației x² + 10x + 24 = 0?
  2. Rezolvă în ℝ ecuația 4x² = 4.
  3. Rezolvă în ℝ ecuația 4x² − 20x + 24 = 0.
  4. Rezolvă în ℝ ecuația 16x² = 9.
  5. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 3)² = 25.
  6. Rezolvă în ℝ ecuația 16x² = 64.
  7. Este 6 soluție a ecuației x² − 36 = 0?
  8. Rezolvă în ℝ ecuația 2x² − 10x + 8 = 0.
  9. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 144 = 0.
  10. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 10x + 24 = 0.
  11. Rezolvă în ℝ ecuația 9x² = 81.
  12. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 9x + 20 = 0.
  13. Este −2 soluție a ecuației x² − x − 6 = 0?
  14. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 7)² = 49.
  15. Rezolvă în ℝ ecuația 2x² − 16x + 30 = 0.
  16. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 4x − 5 = 0.
  17. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 7x + 12 = 0.
  18. Rezolvă în ℝ ecuația 4x² − 20x + 16 = 0.
  19. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 3x = 0.
  20. Rezolvă în ℝ ecuația 9x² = 16.
  21. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 5x + 6 = 0.
  22. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 100 = 0.
  23. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 2x − 3 = 0.
  24. Rezolvă în ℝ ecuația 4x² = 64.
  25. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 8x = 0.
  26. Rezolvă în ℝ ecuația 2x² − 18x + 36 = 0.
  27. Rezolvă în ℝ ecuația 25x² = 25.
  28. Rezolvă în ℝ ecuația x² + x − 72 = 0.
  29. Este −1 soluție a ecuației x² − 3x − 10 = 0?
  30. Rezolvă în ℝ ecuația 4x² − 36x + 72 = 0.
  31. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 2x − 48 = 0.
  32. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 5)² = 9.
  33. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 25 = 0.
  34. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 16 = 0.
  35. Este −3 soluție a ecuației x² + 7x + 12 = 0?
  36. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 5x = 0.
  37. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 9x + 14 = 0.
  38. Rezolvă în ℝ ecuația 4x² − 32x + 60 = 0.
  39. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 7)² = 16.
  40. Rezolvă în ℝ ecuația x² + x − 20 = 0.
  41. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 2x = 0.
  42. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 3)² = 4.
  43. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 36 = 0.
  44. Rezolvă în ℝ ecuația 3x² − 24x + 45 = 0.
  45. Este −6 soluție a ecuației x² + 11x + 28 = 0?
  46. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 3)² = 64.
  47. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 7x = 0.
  48. Rezolvă în ℝ ecuația x² − 7x + 6 = 0.
  49. Rezolvă în ℝ ecuația 3x² − 15x + 18 = 0.
  50. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 1)² = 25.
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. Nu — Înlocuim x = −5: (−5)² + 10·(−5) + 24 = −1. Rezultatul nu este 0.
  2. {−1, 1} — x² = 4/4 = (2/2)², deci x = ±1.
  3. {2, 3} — Împărțim ecuația la 4: x² − 5x + 6 = 0, adică (x − 3)(x − 2) = 0. Soluțiile: {2, 3}.
  4. {−3/4, 3/4} — x² = 9/16 = (3/4)², deci x = ±3/4.
  5. {−2, 8} — x − 3 = ±5. Deci x = 3 + 5 = 8 sau x = 3 − 5 = −2.
  6. {−2, 2} — x² = 64/16 = (8/4)², deci x = ±2.
  7. Da — Înlocuim x = 6: (6)² + 0·6 − 36 = 0. Rezultatul este 0.
  8. {1, 4} — Împărțim ecuația la 2: x² − 5x + 4 = 0, adică (x − 4)(x − 1) = 0. Soluțiile: {1, 4}.
  9. {−12, 12} — x² − 144 = (x − 12)(x + 12) = 0, deci x = 12 sau x = −12.
  10. {−6, −4} — x² + 10x + 24 = (x + 6)(x + 4) = 0, deci x = −6 sau x = −4.
  11. {−3, 3} — x² = 81/9 = (9/3)², deci x = ±3.
  12. {−5, −4} — x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) = 0, deci x = −4 sau x = −5.
  13. Da — Înlocuim x = −2: (−2)² − 1·(−2) − 6 = 0. Rezultatul este 0.
  14. {0, 14} — x − 7 = ±7. Deci x = 7 + 7 = 14 sau x = 7 − 7 = 0.
  15. {3, 5} — Împărțim ecuația la 2: x² − 8x + 15 = 0, adică (x − 3)(x − 5) = 0. Soluțiile: {3, 5}.
  16. {−5, 1} — Descompunem: x² + 4x − 5 = (x + 5)(x − 1) (căutăm două numere cu suma 4 și produsul −5: 5 și −1). Rădăcinile: −5 și 1.
  17. {−4, −3} — x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) = 0, deci x = −3 sau x = −4.
  18. {1, 4} — Împărțim ecuația la 4: x² − 5x + 4 = 0, adică (x − 4)(x − 1) = 0. Soluțiile: {1, 4}.
  19. {0, 3} — Scoatem factorul comun x: x(x − 3) = 0. Deci x = 0 sau x = 3. (Atenție: nu se împarte la x, pentru că se pierde soluția 0.)
  20. {−4/3, 4/3} — x² = 16/9 = (4/3)², deci x = ±4/3.
  21. {−3, −2} — x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0, deci x = −2 sau x = −3.
  22. {−10, 10} — x² − 100 = (x − 10)(x + 10) = 0, deci x = 10 sau x = −10.
  23. {−3, 1} — Descompunem: x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) (căutăm două numere cu suma 2 și produsul −3: 3 și −1). Rădăcinile: −3 și 1.
  24. {−4, 4} — x² = 64/4 = (8/2)², deci x = ±4.
  25. {0, 8} — Scoatem factorul comun x: x(x − 8) = 0. Deci x = 0 sau x = 8. (Atenție: nu se împarte la x, pentru că se pierde soluția 0.)
  26. {3, 6} — Împărțim ecuația la 2: x² − 9x + 18 = 0, adică (x − 3)(x − 6) = 0. Soluțiile: {3, 6}.
  27. {−1, 1} — x² = 25/25 = (5/5)², deci x = ±1.
  28. {−9, 8} — Descompunem: x² + x − 72 = (x + 9)(x − 8) (căutăm două numere cu suma 1 și produsul −72: 9 și −8). Rădăcinile: −9 și 8.
  29. Nu — Înlocuim x = −1: (−1)² − 3·(−1) − 10 = −6. Rezultatul nu este 0.
  30. {3, 6} — Împărțim ecuația la 4: x² − 9x + 18 = 0, adică (x − 3)(x − 6) = 0. Soluțiile: {3, 6}.
  31. {−8, 6} — Descompunem: x² + 2x − 48 = (x + 8)(x − 6) (căutăm două numere cu suma 2 și produsul −48: 8 și −6). Rădăcinile: −8 și 6.
  32. {2, 8} — x − 5 = ±3. Deci x = 5 + 3 = 8 sau x = 5 − 3 = 2.
  33. {−5, 5} — Descompunem: x² − 25 = (x − 5)(x + 5) (căutăm două numere cu suma 0 și produsul −25: −5 și 5). Rădăcinile: 5 și −5.
  34. {−4, 4} — x² − 16 = (x − 4)(x + 4) = 0, deci x = 4 sau x = −4.
  35. Da — Înlocuim x = −3: (−3)² + 7·(−3) + 12 = 0. Rezultatul este 0.
  36. {0, 5} — Scoatem factorul comun x: x(x − 5) = 0. Deci x = 0 sau x = 5. (Atenție: nu se împarte la x, pentru că se pierde soluția 0.)
  37. {−7, −2} — x² + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) = 0, deci x = −7 sau x = −2.
  38. {3, 5} — Împărțim ecuația la 4: x² − 8x + 15 = 0, adică (x − 5)(x − 3) = 0. Soluțiile: {3, 5}.
  39. {3, 11} — x − 7 = ±4. Deci x = 7 + 4 = 11 sau x = 7 − 4 = 3.
  40. {−5, 4} — Descompunem: x² + x − 20 = (x + 5)(x − 4) (căutăm două numere cu suma 1 și produsul −20: 5 și −4). Rădăcinile: −5 și 4.
  41. {0, 2} — Scoatem factorul comun x: x(x − 2) = 0. Deci x = 0 sau x = 2. (Atenție: nu se împarte la x, pentru că se pierde soluția 0.)
  42. {−5, −1} — x + 3 = ±2. Deci x = −3 + 2 = −1 sau x = −3 − 2 = −5.
  43. {−6, 6} — x² − 36 = (x − 6)(x + 6) = 0, deci x = 6 sau x = −6.
  44. {3, 5} — Împărțim ecuația la 3: x² − 8x + 15 = 0, adică (x − 3)(x − 5) = 0. Soluțiile: {3, 5}.
  45. Nu — Înlocuim x = −6: (−6)² + 11·(−6) + 28 = −2. Rezultatul nu este 0.
  46. {−5, 11} — x − 3 = ±8. Deci x = 3 + 8 = 11 sau x = 3 − 8 = −5.
  47. {0, 7} — Scoatem factorul comun x: x(x − 7) = 0. Deci x = 0 sau x = 7. (Atenție: nu se împarte la x, pentru că se pierde soluția 0.)
  48. {1, 6} — Descompunem: x² − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6) (căutăm două numere cu suma −7 și produsul 6: −1 și −6). Rădăcinile: 1 și 6.
  49. {2, 3} — Împărțim ecuația la 3: x² − 5x + 6 = 0, adică (x − 3)(x − 2) = 0. Soluțiile: {2, 3}.
  50. {−4, 6} — x − 1 = ±5. Deci x = 1 + 5 = 6 sau x = 1 − 5 = −4.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Rezolvă în ℝ ecuația 3x² − 9x + 6 = 0.
  2. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 4)(x + 1) = 10.
  3. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 2x + 5 = 0.
  4. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 4x − 5 = 0.
  5. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 8x + 19 = 0.
  6. Rezolvă în ℝ ecuația 2x² + 16x + 24 = 0.
  7. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 6x + 12 = 0.
  8. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 3)(x + 6) = 4.
  9. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 4)² = 7.
  10. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 6)² = 2.
  11. Produsul a două numere naturale consecutive este 6. Care sunt numerele?
  12. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 10x + 6 = 0.
  13. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 4x + 8 = 0.
  14. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 4)(x + 4) = 121.
  15. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 10x + 27 = 0.
  16. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 10x − 1 = 0.
  17. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 5)(x + 2) = 10.
  18. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 4x + 6 = 0.
  19. Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației x² + 8x + 12 = 0, calculează x₁ + x₂.
  20. Produsul a două numere naturale consecutive este 56. Care sunt numerele?
  21. Produsul a două numere naturale consecutive este 72. Care sunt numerele?
  22. Rezolvă în ℝ ecuația 2x² − 5x + 2 = 0.
  23. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 4x + 9 = 0.
  24. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 4)(x + 5) = 72.
  25. Rezolvă în ℝ ecuația x² + 12x + 39 = 0.
  26. Un dreptunghi are lungimea cu 3 cm mai mare decât lățimea și aria 54 cm². Care este lățimea dreptunghiului?
  27. Un dreptunghi are lungimea cu 6 cm mai mare decât lățimea și aria 16 cm². Care este lățimea dreptunghiului?
  28. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 4x − 1 = 0.
  29. Produsul a două numere naturale consecutive este 132. Care sunt numerele?
  30. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 5)(x + 3) = 120.
  31. Un dreptunghi are lungimea cu 6 cm mai mare decât lățimea și aria 91 cm². Care este lățimea dreptunghiului?
  32. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 1)(x + 6) = 84.
  33. Produsul a două numere naturale consecutive este 110. Care sunt numerele?
  34. Rezolvă în ℝ ecuația 3x² + 7x − 20 = 0.
  35. Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației x² − x − 2 = 0, calculează x₁ + x₂.
  36. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 5)² = 24.
  37. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 5)(x + 6) = 56.
  38. Produsul a două numere naturale consecutive este 30. Care sunt numerele?
  39. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 3)(x + 3) = 100.
  40. Rezolvă în ℝ ecuația 2x² + 16x + 30 = 0.
  41. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 4)(x + 3) = 110.
  42. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 2)² = 11.
  43. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 10x − 2 = 0.
  44. Rezolvă în ℝ ecuația (x − 1)² = 18.
  45. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 1)(x + 4) = -2.
  46. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 2x − 4 = 0.
  47. Un dreptunghi are lungimea cu 6 cm mai mare decât lățimea și aria 112 cm². Care este lățimea dreptunghiului?
  48. Rezolvă în ℝ, prin completarea pătratului, ecuația x² + 4x + 3 = 0.
  49. Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației x² − 3x − 18 = 0, calculează x₁ + x₂.
  50. Rezolvă în ℝ ecuația (x + 1)² = 5.
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. {1, 2} — Ecuația se scrie (3x − 6)(x − 1) = 0. Din primul factor, x = 2; din al doilea, x = 1.
  2. {−6, 1} — Desfacem parantezele: x² + 5x + 4 = 10, adică x² + 5x − 6 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−6, 1}.
  3. ∅ — x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Un pătrat plus 4 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  4. {−5, 1} — Completăm pătratul: x² + 4x + 4 = 9 ⇒ (x + 2)² = 9, deci x + 2 = ±3 și x = −2 ± 3.
  5. ∅ — x² + 8x + 19 = (x + 4)² + 3. Un pătrat plus 3 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  6. {−6, −2} — Ecuația se scrie (2x + 4)(x + 6) = 0. Din primul factor, x = −2; din al doilea, x = −6.
  7. ∅ — x² + 6x + 12 = (x + 3)² + 3. Un pătrat plus 3 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  8. {−7, −2} — Desfacem parantezele: x² + 9x + 18 = 4, adică x² + 9x + 14 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−7, −2}.
  9. {−4 − √7, −4 + √7} — x + 4 = ±√7, deci x = −4 ± √7. Soluțiile: {−4 − √7, −4 + √7}.
  10. {−6 − √2, −6 + √2} — x + 6 = ±√2, deci x = −6 ± √2. Soluțiile: {−6 − √2, −6 + √2}.
  11. 2 și 3 — Notăm numerele x și x + 1: x(x + 1) = 6 ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0. Cum x este natural, x = 2, deci numerele sunt 2 și 3.
  12. {−5 − √19, −5 + √19} — Completăm pătratul: x² + 10x + 25 = 19 ⇒ (x + 5)² = 19, deci x = −5 ± √19.
  13. ∅ — x² + 4x + 8 = (x + 2)² + 4. Un pătrat plus 4 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  14. {−15, 7} — Desfacem parantezele: x² + 8x + 16 = 121, adică x² + 8x − 105 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−15, 7}.
  15. ∅ — x² + 10x + 27 = (x + 5)² + 2. Un pătrat plus 2 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  16. {−5 − √26, −5 + √26} — Completăm pătratul: x² + 10x + 25 = 26 ⇒ (x + 5)² = 26, deci x = −5 ± √26.
  17. {−7, 0} — Desfacem parantezele: x² + 7x + 10 = 10, adică x² + 7x = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−7, 0}.
  18. ∅ — x² + 4x + 6 = (x + 2)² + 2. Un pătrat plus 2 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  19. −8 — Soluțiile sunt −2 și −6, deci x₁ + x₂ = −2 + (−6) = −8.
  20. 7 și 8 — Notăm numerele x și x + 1: x(x + 1) = 56 ⇒ x² + x − 56 = 0 ⇒ (x − 7)(x + 8) = 0. Cum x este natural, x = 7, deci numerele sunt 7 și 8.
  21. 8 și 9 — Notăm numerele x și x + 1: x(x + 1) = 72 ⇒ x² + x − 72 = 0 ⇒ (x − 8)(x + 9) = 0. Cum x este natural, x = 8, deci numerele sunt 8 și 9.
  22. {1/2, 2} — Ecuația se scrie (2x − 1)(x − 2) = 0. Din primul factor, x = 1/2; din al doilea, x = 2.
  23. ∅ — x² + 4x + 9 = (x + 2)² + 5. Un pătrat plus 5 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  24. {−13, 4} — Desfacem parantezele: x² + 9x + 20 = 72, adică x² + 9x − 52 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−13, 4}.
  25. ∅ — x² + 12x + 39 = (x + 6)² + 3. Un pătrat plus 3 (pozitiv) este mai mare decât 0, deci nu poate fi egal cu 0. Ecuația nu are soluții reale.
  26. 6 cm — Lățimea x, lungimea x + 3: x(x + 3) = 54 ⇒ x² + 3x − 54 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 9) = 0. Cum x > 0, x = 6 cm.
  27. 2 cm — Lățimea x, lungimea x + 6: x(x + 6) = 16 ⇒ x² + 6x − 16 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 8) = 0. Cum x > 0, x = 2 cm.
  28. {−2 − √5, −2 + √5} — Completăm pătratul: x² + 4x + 4 = 5 ⇒ (x + 2)² = 5, deci x = −2 ± √5.
  29. 11 și 12 — Notăm numerele x și x + 1: x(x + 1) = 132 ⇒ x² + x − 132 = 0 ⇒ (x − 11)(x + 12) = 0. Cum x este natural, x = 11, deci numerele sunt 11 și 12.
  30. {−15, 7} — Desfacem parantezele: x² + 8x + 15 = 120, adică x² + 8x − 105 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−15, 7}.
  31. 7 cm — Lățimea x, lungimea x + 6: x(x + 6) = 91 ⇒ x² + 6x − 91 = 0 ⇒ (x − 7)(x + 13) = 0. Cum x > 0, x = 7 cm.
  32. {−13, 6} — Desfacem parantezele: x² + 7x + 6 = 84, adică x² + 7x − 78 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−13, 6}.
  33. 10 și 11 — Notăm numerele x și x + 1: x(x + 1) = 110 ⇒ x² + x − 110 = 0 ⇒ (x − 10)(x + 11) = 0. Cum x este natural, x = 10, deci numerele sunt 10 și 11.
  34. {−4, 5/3} — Ecuația se scrie (3x − 5)(x + 4) = 0. Din primul factor, x = 5/3; din al doilea, x = −4.
  35. 1 — Soluțiile sunt −1 și 2, deci x₁ + x₂ = −1 + 2 = 1.
  36. {5 − 2√6, 5 + 2√6} — x − 5 = ±√24 = ±2√6, deci x = 5 ± 2√6. Soluțiile: {5 − 2√6, 5 + 2√6}.
  37. {−13, 2} — Desfacem parantezele: x² + 11x + 30 = 56, adică x² + 11x − 26 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−13, 2}.
  38. 5 și 6 — Notăm numerele x și x + 1: x(x + 1) = 30 ⇒ x² + x − 30 = 0 ⇒ (x − 5)(x + 6) = 0. Cum x este natural, x = 5, deci numerele sunt 5 și 6.
  39. {−13, 7} — Desfacem parantezele: x² + 6x + 9 = 100, adică x² + 6x − 91 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−13, 7}.
  40. {−5, −3} — Ecuația se scrie (2x + 6)(x + 5) = 0. Din primul factor, x = −3; din al doilea, x = −5.
  41. {−14, 7} — Desfacem parantezele: x² + 7x + 12 = 110, adică x² + 7x − 98 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−14, 7}.
  42. {2 − √11, 2 + √11} — x − 2 = ±√11, deci x = 2 ± √11. Soluțiile: {2 − √11, 2 + √11}.
  43. {−5 − 3√3, −5 + 3√3} — Completăm pătratul: x² + 10x + 25 = 27 ⇒ (x + 5)² = 27, deci x = −5 ± √27 = −5 ± 3√3.
  44. {1 − 3√2, 1 + 3√2} — x − 1 = ±√18 = ±3√2, deci x = 1 ± 3√2. Soluțiile: {1 − 3√2, 1 + 3√2}.
  45. {−3, −2} — Desfacem parantezele: x² + 5x + 4 = -2, adică x² + 5x + 6 = 0. Descompunând trinomul se obțin soluțiile {−3, −2}.
  46. {−1 − √5, −1 + √5} — Completăm pătratul: x² + 2x + 1 = 5 ⇒ (x + 1)² = 5, deci x = −1 ± √5.
  47. 8 cm — Lățimea x, lungimea x + 6: x(x + 6) = 112 ⇒ x² + 6x − 112 = 0 ⇒ (x − 8)(x + 14) = 0. Cum x > 0, x = 8 cm.
  48. {−3, −1} — Completăm pătratul: x² + 4x + 4 = 1 ⇒ (x + 2)² = 1, deci x + 2 = ±1 și x = −2 ± 1.
  49. 3 — Soluțiile sunt 6 și −3, deci x₁ + x₂ = 6 + (−3) = 3.
  50. {−1 − √5, −1 + √5} — x + 1 = ±√5, deci x = −1 ± √5. Soluțiile: {−1 − √5, −1 + √5}.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a