Acasă › Clasa a 7-a › Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute

Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute

Rezolvarea prin metoda substituției, a reducerii și grafic; sisteme fără soluție și cu infinit de multe soluții.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce este un sistem

Un sistem de două ecuații liniare cu necunoscutele x și y are forma ax + by = c, a′x + b′y = c′. O soluție este perechea (x, y) care verifică ambele ecuații.

Metoda substituției

Exprimăm o necunoscută din prima ecuație și o înlocuim în a doua.

Metoda reducerii

Înmulțim ecuațiile astfel încât coeficienții unei necunoscute să fie opuși, apoi adunăm ecuațiile.

Metoda grafică

Fiecare ecuație este o dreaptă. Soluția sistemului este punctul de intersecție.

Dreptele y = x + 1 și y = −x + 5 se taie în M(2, 3): sistemul are o singură soluție, (2, 3).

Drepte concurente: o soluție
Drepte paralele: nicio soluție (S = ∅)
Drepte identice: infinit de multe soluții

Drepte paralele: sistem fără soluție

Drepte care coincid: infinit de multe soluții

Exemplul 1. Rezolvă: x + y = 7, x − y = 1.

Metoda 1 (prin reducere). Adunăm: 2x = 8, x = 4. Apoi y = 7 − 4 = 3. S = {(4, 3)}.

Metoda 2 (prin substituție). Din a doua, x = y + 1. În prima: y + 1 + y = 7, y = 3, x = 4.

Metoda 3 (verificare). 4 + 3 = 7 și 4 − 3 = 1.

Exemplul 2. Rezolvă: 2x + 3y = 12, 3x − y = 7.

Metoda 1 (prin substituție). Din a doua, y = 3x − 7. În prima: 2x + 9x − 21 = 12, 11x = 33, x = 3, y = 2.

Metoda 2 (prin reducere). Înmulțim a doua cu 3: 9x − 3y = 21. Adunăm cu prima: 11x = 33, x = 3. Apoi y = 2.

Exemplul 3. Câte soluții are sistemul x + y = 3, 2x + 2y = 8?

Rezolvare. A doua devine x + y = 4, în contradicție cu x + y = 3. Nu are soluții: dreptele sunt paralele.

Exemplul 4. Câte soluții are sistemul x − y = 2, 3x − 3y = 6?

Rezolvare. A doua este de 3 ori prima. Dreptele coincid, deci sistemul are infinit de multe soluții.

Greșeli frecvente

Se află x, dar se uită y.
Se scade în loc să se adune, deci nu dispare necunoscuta.
La substituție, se uită parantezele când y are mai mulți termeni.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Perechea (2, −3) este soluție a sistemului 5x + 3y = −9, 3x − 3y = −15?
Perechea (−5, 8) este soluție a sistemului 2x + 2y = 6, 3x − 4y = 44?
Rezolvă sistemul: x + y = 3, x − y = 3.
Rezolvă sistemul: x + y = 4, x − y = −10.
Perechea (−6, −2) este soluție a sistemului 4x + 2y = −28, x − 4y = 2?
Rezolvă sistemul: x + y = 8, x − y = −10.
Rezolvă sistemul: x + y = −1, x − y = 3.
Dacă x = 9 și x + y = 16, cât este y?
Dacă x = 9 și x + y = 13, cât este y?
Perechea (−3, 0) este soluție a sistemului x + 5y = −15, 3x − y = 3?
Dacă x = 9 și x + y = 12, cât este y?
Rezolvă sistemul: x + y = 7, x − y = 7.
Dacă x = 2 și x + y = 7, cât este y?
Perechea (−3, 6) este soluție a sistemului 2x + 2y = 4, 5x − 3y = −38?
Perechea (6, 3) este soluție a sistemului 3x + 3y = 24, 2x − 5y = 2?
Perechea (1, 6) este soluție a sistemului x + 4y = 24, x − 4y = −24?
Perechea (7, 1) este soluție a sistemului 3x + 4y = 22, 5x − 2y = 28?
Rezolvă sistemul: x + y = −3, x − y = −5.
Dacă x = 8 și x + y = 10, cât este y?
Dacă x = 6 și x + y = 9, cât este y?
Perechea (3, 4) este soluție a sistemului 4x + 2y = 22, 4x − y = 13?
Perechea (−3, −5) este soluție a sistemului 2x + 2y = −18, 2x − 4y = 18?
Perechea (3, 8) este soluție a sistemului 2x + y = 12, 5x − y = 2?
Perechea (−4, 0) este soluție a sistemului 2x + 3y = −8, 2x − 5y = −8?
Perechea (−1, 1) este soluție a sistemului 2x + 5y = 1, 3x − 3y = −9?
Rezolvă sistemul: x + y = 4, x − y = 10.
Dacă x = 8 și x + y = 12, cât este y?
Perechea (1, 1) este soluție a sistemului 4x + 4y = 8, 2x − 3y = −1?
Dacă x = 4 și x + y = 13, cât este y?
Dacă x = 9 și x + y = 14, cât este y?
Dacă x = 8 și x + y = 17, cât este y?
Perechea (−5, −1) este soluție a sistemului 3x + 3y = −21, 4x − 3y = −14?
Perechea (−3, 7) este soluție a sistemului 5x + 3y = 1, x − 3y = −25?
Dacă x = 3 și x + y = 10, cât este y?
Rezolvă sistemul: x + y = −2, x − y = −2.
Rezolvă sistemul: x + y = 6, x − y = −10.
Rezolvă sistemul: x + y = −10, x − y = 2.
Dacă x = 3 și x + y = 8, cât este y?
Rezolvă sistemul: x + y = 9, x − y = 9.
Perechea (9, 2) este soluție a sistemului 4x + 4y = 44, 3x − 2y = −12?
Dacă x = 3 și x + y = 9, cât este y?
Perechea (5, −5) este soluție a sistemului 2x + y = 3, 3x − 3y = 27?
Rezolvă sistemul: x + y = −3, x − y = 9.
Dacă x = 7 și x + y = 10, cât este y?
Rezolvă sistemul: x + y = 8, x − y = 4.
Perechea (−4, 8) este soluție a sistemului 4x + y = −9, x − y = −11?
Rezolvă sistemul: x + y = −2, x − y = 4.
Dacă x = 2 și x + y = 5, cât este y?
Perechea (9, −3) este soluție a sistemului 2x + 3y = 7, 3x − 4y = 36?
Perechea (1, 6) este soluție a sistemului 2x + 4y = 24, x − 5y = −30?

Arată răspunsurile: nivel ușor

Nu — Înlocuim x = 2, y = −3: prima ecuație dă 1 (trebuie −9), a doua dă 15 (trebuie −15). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = −5, y = 8: prima ecuație dă 6 (trebuie 6), a doua dă −47 (trebuie 44). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
(3, 0) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 6, deci x = 3. Din x + y = 3 rezultă y = 3 − 3 = 0.
Prin substituție: x = 3 − y; în a doua ecuație, (3 − y) − y = 3, deci y = 0.
(−3, 7) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = −6, deci x = −3. Din x + y = 4 rezultă y = 4 − (−3) = 7.
Prin substituție: x = 4 − y; în a doua ecuație, (4 − y) − y = −10, deci y = 7.
Da — Înlocuim x = −6, y = −2: prima ecuație dă −28 (trebuie −28), a doua dă 2 (trebuie 2). Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.
(−1, 9) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = −2, deci x = −1. Din x + y = 8 rezultă y = 8 − (−1) = 9.
Prin substituție: x = 8 − y; în a doua ecuație, (8 − y) − y = −10, deci y = 9.
(1, −2) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 2, deci x = 1. Din x + y = −1 rezultă y = −1 − 1 = −2.
Prin substituție: x = −1 − y; în a doua ecuație, (−1 − y) − y = 3, deci y = −2.
7 — y = 16 − 9 = 7.
4 — y = 13 − 9 = 4.
Nu — Înlocuim x = −3, y = 0: prima ecuație dă −3 (trebuie −15), a doua dă −9 (trebuie 3). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
3 — y = 12 − 9 = 3.
(7, 0) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 14, deci x = 7. Din x + y = 7 rezultă y = 7 − 7 = 0.
Prin substituție: x = 7 − y; în a doua ecuație, (7 − y) − y = 7, deci y = 0.
5 — y = 7 − 2 = 5.
Nu — Înlocuim x = −3, y = 6: prima ecuație dă 6 (trebuie 4), a doua dă −33 (trebuie −38). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = 6, y = 3: prima ecuație dă 27 (trebuie 24), a doua dă −3 (trebuie 2). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = 1, y = 6: prima ecuație dă 25 (trebuie 24), a doua dă −23 (trebuie −24). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = 7, y = 1: prima ecuație dă 25 (trebuie 22), a doua dă 33 (trebuie 28). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
(−4, 1) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = −8, deci x = −4. Din x + y = −3 rezultă y = −3 − (−4) = 1.
Prin substituție: x = −3 − y; în a doua ecuație, (−3 − y) − y = −5, deci y = 1.
2 — y = 10 − 8 = 2.
3 — y = 9 − 6 = 3.
Nu — Înlocuim x = 3, y = 4: prima ecuație dă 20 (trebuie 22), a doua dă 8 (trebuie 13). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = −3, y = −5: prima ecuație dă −16 (trebuie −18), a doua dă 14 (trebuie 18). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = 3, y = 8: prima ecuație dă 14 (trebuie 12), a doua dă 7 (trebuie 2). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Da — Înlocuim x = −4, y = 0: prima ecuație dă −8 (trebuie −8), a doua dă −8 (trebuie −8). Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.
Nu — Înlocuim x = −1, y = 1: prima ecuație dă 3 (trebuie 1), a doua dă −6 (trebuie −9). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
(7, −3) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 14, deci x = 7. Din x + y = 4 rezultă y = 4 − 7 = −3.
Prin substituție: x = 4 − y; în a doua ecuație, (4 − y) − y = 10, deci y = −3.
4 — y = 12 − 8 = 4.
Da — Înlocuim x = 1, y = 1: prima ecuație dă 8 (trebuie 8), a doua dă −1 (trebuie −1). Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.
9 — y = 13 − 4 = 9.
5 — y = 14 − 9 = 5.
9 — y = 17 − 8 = 9.
Nu — Înlocuim x = −5, y = −1: prima ecuație dă −18 (trebuie −21), a doua dă −17 (trebuie −14). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = −3, y = 7: prima ecuație dă 6 (trebuie 1), a doua dă −24 (trebuie −25). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
7 — y = 10 − 3 = 7.
(−2, 0) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = −4, deci x = −2. Din x + y = −2 rezultă y = −2 − (−2) = 0.
Prin substituție: x = −2 − y; în a doua ecuație, (−2 − y) − y = −2, deci y = 0.
(−2, 8) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = −4, deci x = −2. Din x + y = 6 rezultă y = 6 − (−2) = 8.
Prin substituție: x = 6 − y; în a doua ecuație, (6 − y) − y = −10, deci y = 8.
(−4, −6) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = −8, deci x = −4. Din x + y = −10 rezultă y = −10 − (−4) = −6.
Prin substituție: x = −10 − y; în a doua ecuație, (−10 − y) − y = 2, deci y = −6.
5 — y = 8 − 3 = 5.
(9, 0) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 18, deci x = 9. Din x + y = 9 rezultă y = 9 − 9 = 0.
Prin substituție: x = 9 − y; în a doua ecuație, (9 − y) − y = 9, deci y = 0.
Nu — Înlocuim x = 9, y = 2: prima ecuație dă 44 (trebuie 44), a doua dă 23 (trebuie −12). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
6 — y = 9 − 3 = 6.
Nu — Înlocuim x = 5, y = −5: prima ecuație dă 5 (trebuie 3), a doua dă 30 (trebuie 27). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
(3, −6) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 6, deci x = 3. Din x + y = −3 rezultă y = −3 − 3 = −6.
Prin substituție: x = −3 − y; în a doua ecuație, (−3 − y) − y = 9, deci y = −6.
3 — y = 10 − 7 = 3.
(6, 2) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 12, deci x = 6. Din x + y = 8 rezultă y = 8 − 6 = 2.
Prin substituție: x = 8 − y; în a doua ecuație, (8 − y) − y = 4, deci y = 2.
Nu — Înlocuim x = −4, y = 8: prima ecuație dă −8 (trebuie −9), a doua dă −12 (trebuie −11). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
(1, −3) — Prin reducere: adunăm ecuațiile, 2x = 2, deci x = 1. Din x + y = −2 rezultă y = −2 − 1 = −3.
Prin substituție: x = −2 − y; în a doua ecuație, (−2 − y) − y = 4, deci y = −3.
3 — y = 5 − 2 = 3.
Nu — Înlocuim x = 9, y = −3: prima ecuație dă 9 (trebuie 7), a doua dă 39 (trebuie 36). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.
Nu — Înlocuim x = 1, y = 6: prima ecuație dă 26 (trebuie 24), a doua dă −29 (trebuie −30). Cel puțin una nu se verifică, deci nu este soluție.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Rezolvă sistemul: 3x + 4y = 25, 2x + 3y = 18.
Rezolvă sistemul: 3x + 4y = 26, 3x − 3y = −30.
Rezolvă sistemul: x + 3y = 21, x − 3y = −9.
Rezolvă sistemul: 4x + 2y = 12, 4x + y = 18.
Rezolvă sistemul: x + 4y = 17, x − 2y = −13.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 3x, x + y = −24.
Rezolvă sistemul: 2x + 3y = −18, 5x − 2y = −7.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 2x, x + y = 18.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 2x, x + y = 3.
Rezolvă sistemul: x + y = −9, 4x − y = −16.
Rezolvă sistemul: 4x + y = 8, x − y = −8.
Rezolvă sistemul: 4x + 5y = 14, 2x + 4y = 16.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 4x, x + y = 40.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 4x, x + y = 20.
Rezolvă sistemul: 3x + y = 11, 4x + 4y = 4.
Rezolvă sistemul: 5x + 3y = 61, 2x + 3y = 37.
Rezolvă sistemul: 3x + 2y = 5, 3x + 3y = 12.
Dacă x + y = -3 și x − y = -5, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 3x + 5y = 15, 3x − y = −3.
Dacă x + y = 11 și x − y = 5, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 4x + 2y = 42, 4x + 4y = 60.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 5x, x + y = −24.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 2x, x + y = 15.
Rezolvă sistemul: 2x + 3y = 32, 5x − 3y = 17.
Dacă x + y = -1 și x − y = 7, cât este x·y?
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 3x, x + y = 36.
Dacă x + y = 3 și x − y = -5, cât este x·y?
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 4x, x + y = 10.
Dacă x + y = -7 și x − y = 3, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 2x + 5y = −2, 5x − 3y = 57.
Rezolvă sistemul: 3x + 5y = 52, 3x − 3y = −12.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 3x, x + y = 16.
Dacă x + y = 13 și x − y = -3, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 4x + 5y = 8, 5x − 3y = 10.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 2x, x + y = 12.
Dacă x + y = 4 și x − y = 12, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 4x + y = 23, 3x + 3y = 6.
Rezolvă sistemul: 3x + y = 13, 5x + y = 17.
Rezolvă sistemul: x + 3y = −11, 5x + y = −13.
Rezolvă sistemul: 3x + 2y = −19, 2x − 5y = 19.
Rezolvă sistemul prin substituție: y = 4x, x + y = −30.
Dacă x + y = 1 și x − y = -5, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 3x + 5y = −23, 3x + y = −19.
Rezolvă sistemul: 3x + 5y = −13, x + 5y = −1.
Rezolvă sistemul: x + 4y = 9, x − 3y = −12.
Rezolvă sistemul: 3x + 2y = −28, 3x − 2y = −8.
Rezolvă sistemul: 2x + 4y = 2, 5x + y = 5.
Dacă x + y = 4 și x − y = 14, cât este x·y?
Rezolvă sistemul: 5x + 4y = −30, 3x − 3y = 9.
Rezolvă sistemul: 5x + y = 33, 5x + 3y = 29.

Arată răspunsurile: nivel mediu

(3, 4) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 4, apoi scădem: (9 − 8)x = 75 − 72, adică 1x = 3, deci x = 3. Din prima ecuație: y = (25 − 9)/4 = 4.
(−2, 8) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 4, apoi scădem: (−9 − 12)x = −78 − (−120), adică −21x = 42, deci x = −2. Din prima ecuație: y = (26 − (−6))/4 = 8.
(6, 5) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 3, apoi scădem: (−3 − 3)x = −63 − (−27), adică −6x = −36, deci x = 6. Din prima ecuație: y = (21 − 6)/3 = 5.
(6, −6) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 2, apoi scădem: (4 − 8)x = 12 − 36, adică −4x = −24, deci x = 6. Din prima ecuație: y = (12 − 24)/2 = −6.
(−3, 5) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−2) și a doua cu 4, apoi scădem: (−2 − 4)x = −34 − (−52), adică −6x = 18, deci x = −3. Din prima ecuație: y = (17 − (−3))/4 = 5.
(−6, −18) — Înlocuim y = 3x în a doua ecuație: x + 3x = −24, deci 4x = −24 și x = −6. Atunci y = 3·(−6) = −18.
(−3, −4) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−2) și a doua cu 3, apoi scădem: (−4 − 15)x = 36 − (−21), adică −19x = 57, deci x = −3. Din prima ecuație: y = (−18 − (−6))/3 = −4.
(6, 12) — Înlocuim y = 2x în a doua ecuație: x + 2x = 18, deci 3x = 18 și x = 6. Atunci y = 2·6 = 12.
(1, 2) — Înlocuim y = 2x în a doua ecuație: x + 2x = 3, deci 3x = 3 și x = 1. Atunci y = 2·1 = 2.
(−5, −4) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−1) și a doua cu 1, apoi scădem: (−1 − 4)x = 9 − (−16), adică −5x = 25, deci x = −5. Din prima ecuație: y = (−9 − (−5))/1 = −4.
(0, 8) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−1) și a doua cu 1, apoi scădem: (−4 − 1)x = −8 − (−8), adică −5x = 0, deci x = 0. Din prima ecuație: y = (8 − 0)/1 = 8.
(−4, 6) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 5, apoi scădem: (16 − 10)x = 56 − 80, adică 6x = −24, deci x = −4. Din prima ecuație: y = (14 − (−16))/5 = 6.
(8, 32) — Înlocuim y = 4x în a doua ecuație: x + 4x = 40, deci 5x = 40 și x = 8. Atunci y = 4·8 = 32.
(4, 16) — Înlocuim y = 4x în a doua ecuație: x + 4x = 20, deci 5x = 20 și x = 4. Atunci y = 4·4 = 16.
(5, −4) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 1, apoi scădem: (12 − 4)x = 44 − 4, adică 8x = 40, deci x = 5. Din prima ecuație: y = (11 − 15)/1 = −4.
(8, 7) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 3, apoi scădem: (15 − 6)x = 183 − 111, adică 9x = 72, deci x = 8. Din prima ecuație: y = (61 − 40)/3 = 7.
(−3, 7) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 2, apoi scădem: (9 − 6)x = 15 − 24, adică 3x = −9, deci x = −3. Din prima ecuație: y = (5 − (−9))/2 = 7.
−4 — Adunând: 2x = -8, x = −4. Scăzând: 2y = 2, y = 1. Deci x·y = −4.
(0, 3) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−1) și a doua cu 5, apoi scădem: (−3 − 15)x = −15 − (−15), adică −18x = 0, deci x = 0. Din prima ecuație: y = (15 − 0)/5 = 3.
24 — Adunând: 2x = 16, x = 8. Scăzând: 2y = 6, y = 3. Deci x·y = 24.
(6, 9) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 2, apoi scădem: (16 − 8)x = 168 − 120, adică 8x = 48, deci x = 6. Din prima ecuație: y = (42 − 24)/2 = 9.
(−4, −20) — Înlocuim y = 5x în a doua ecuație: x + 5x = −24, deci 6x = −24 și x = −4. Atunci y = 5·(−4) = −20.
(5, 10) — Înlocuim y = 2x în a doua ecuație: x + 2x = 15, deci 3x = 15 și x = 5. Atunci y = 2·5 = 10.
(7, 6) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 3, apoi scădem: (−6 − 15)x = −96 − 51, adică −21x = −147, deci x = 7. Din prima ecuație: y = (32 − 14)/3 = 6.
−12 — Adunând: 2x = 6, x = 3. Scăzând: 2y = -8, y = −4. Deci x·y = −12.
(9, 27) — Înlocuim y = 3x în a doua ecuație: x + 3x = 36, deci 4x = 36 și x = 9. Atunci y = 3·9 = 27.
−4 — Adunând: 2x = -2, x = −1. Scăzând: 2y = 8, y = 4. Deci x·y = −4.
(2, 8) — Înlocuim y = 4x în a doua ecuație: x + 4x = 10, deci 5x = 10 și x = 2. Atunci y = 4·2 = 8.
10 — Adunând: 2x = -4, x = −2. Scăzând: 2y = -10, y = −5. Deci x·y = 10.
(9, −4) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 5, apoi scădem: (−6 − 25)x = 6 − 285, adică −31x = −279, deci x = 9. Din prima ecuație: y = (−2 − 18)/5 = −4.
(4, 8) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 5, apoi scădem: (−9 − 15)x = −156 − (−60), adică −24x = −96, deci x = 4. Din prima ecuație: y = (52 − 12)/5 = 8.
(4, 12) — Înlocuim y = 3x în a doua ecuație: x + 3x = 16, deci 4x = 16 și x = 4. Atunci y = 3·4 = 12.
40 — Adunând: 2x = 10, x = 5. Scăzând: 2y = 16, y = 8. Deci x·y = 40.
(2, 0) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 5, apoi scădem: (−12 − 25)x = −24 − 50, adică −37x = −74, deci x = 2. Din prima ecuație: y = (8 − 8)/5 = 0.
(4, 8) — Înlocuim y = 2x în a doua ecuație: x + 2x = 12, deci 3x = 12 și x = 4. Atunci y = 2·4 = 8.
−32 — Adunând: 2x = 16, x = 8. Scăzând: 2y = -8, y = −4. Deci x·y = −32.
(7, −5) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 1, apoi scădem: (12 − 3)x = 69 − 6, adică 9x = 63, deci x = 7. Din prima ecuație: y = (23 − 28)/1 = −5.
(2, 7) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 1, apoi scădem: (3 − 5)x = 13 − 17, adică −2x = −4, deci x = 2. Din prima ecuație: y = (13 − 6)/1 = 7.
(−2, −3) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 3, apoi scădem: (1 − 15)x = −11 − (−39), adică −14x = 28, deci x = −2. Din prima ecuație: y = (−11 − (−2))/3 = −3.
(−3, −5) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−5) și a doua cu 2, apoi scădem: (−15 − 4)x = 95 − 38, adică −19x = 57, deci x = −3. Din prima ecuație: y = (−19 − (−9))/2 = −5.
(−6, −24) — Înlocuim y = 4x în a doua ecuație: x + 4x = −30, deci 5x = −30 și x = −6. Atunci y = 4·(−6) = −24.
−6 — Adunând: 2x = -4, x = −2. Scăzând: 2y = 6, y = 3. Deci x·y = −6.
(−6, −1) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 5, apoi scădem: (3 − 15)x = −23 − (−95), adică −12x = 72, deci x = −6. Din prima ecuație: y = (−23 − (−18))/5 = −1.
(−6, 1) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 5, apoi scădem: (15 − 5)x = −65 − (−5), adică 10x = −60, deci x = −6. Din prima ecuație: y = (−13 − (−18))/5 = 1.
(−3, 3) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 4, apoi scădem: (−3 − 4)x = −27 − (−48), adică −7x = 21, deci x = −3. Din prima ecuație: y = (9 − (−3))/4 = 3.
(−6, −5) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−2) și a doua cu 2, apoi scădem: (−6 − 6)x = 56 − (−16), adică −12x = 72, deci x = −6. Din prima ecuație: y = (−28 − (−18))/2 = −5.
(1, 0) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 4, apoi scădem: (2 − 20)x = 2 − 20, adică −18x = −18, deci x = 1. Din prima ecuație: y = (2 − 2)/4 = 0.
−45 — Adunând: 2x = 18, x = 9. Scăzând: 2y = -10, y = −5. Deci x·y = −45.
(−2, −5) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu (−3) și a doua cu 4, apoi scădem: (−15 − 12)x = 90 − 36, adică −27x = 54, deci x = −2. Din prima ecuație: y = (−30 − (−10))/4 = −5.
(7, −2) — Eliminăm y: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 1, apoi scădem: (15 − 5)x = 99 − 29, adică 10x = 70, deci x = 7. Din prima ecuație: y = (33 − 35)/1 = −2.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Câte soluții are sistemul x + y = 9, 3x + 3y = 27?
Rezolvă sistemul: x/3 + y = −1, x − y = 5.
Câte soluții are sistemul x + y = 8, 3x + 3y = 24?
Rezolvă sistemul: x + 5y = 49, 5x − 2y = 2.
Câte soluții are sistemul x + y = 2, 2x + 2y = 4?
Rezolvă sistemul: 2x + 5y = −9, x − y = −1.
Câte soluții are sistemul x + y = 4, 2x + 2y = 8?
Câte soluții are sistemul x + y = 1, 4x + 4y = 5?
Rezolvă sistemul: x + y = −5, x − y = 7.
Rezolvă sistemul: x/2 + y = 1, x − y = 11.
Câte soluții are sistemul x + y = 5, 2x + 2y = 11?
Câte soluții are sistemul x + y = 9, 2x + 2y = 19?
Câte soluții are sistemul x + y = 5, 3x + 3y = 15?
Rezolvă sistemul: 2x + y = 13, 5x − 3y = 60.
Rezolvă sistemul: x/4 + y = 5, x − y = 5.
Câte soluții are sistemul x + y = 3, 2x + 2y = 7?
Rezolvă sistemul: 3x + 5y = 20, 4x − 3y = −12.
Rezolvă sistemul: x + 3y = 22, 4x − 3y = −32.
Câte soluții are sistemul x + y = 1, 4x + 4y = 4?
Rezolvă sistemul: 4x + 2y = 30, 4x − 4y = −24.
Rezolvă sistemul: 4x + 3y = 57, 3x − y = 20.
Rezolvă sistemul: 4x + 3y = 54, x − y = 3.
Câte soluții are sistemul x + y = 3, 3x + 3y = 10?
Câte soluții are sistemul x + y = 7, 4x + 4y = 28?
Rezolvă sistemul: x + 3y = 6, 5x − 4y = 30.
Câte soluții are sistemul x + y = 3, 2x + 2y = 6?
Rezolvă sistemul: 5x + 2y = −26, 3x − y = −20.
Câte soluții are sistemul x + y = 6, 2x + 2y = 12?
Rezolvă sistemul: 4x + 2y = −2, 2x − 3y = −37.
Rezolvă sistemul: 3x + 3y = 0, x − 4y = 20.
Câte soluții are sistemul x + y = 2, 2x + 2y = 5?
Rezolvă sistemul: 5x + 2y = 6, 4x − 2y = −6.
Câte soluții are sistemul x + y = 1, 2x + 2y = 2?
Câte soluții are sistemul x + y = 4, 4x + 4y = 17?
Câte soluții are sistemul x + y = 3, 3x + 3y = 9?
Câte soluții are sistemul x + y = 1, 3x + 3y = 3?
Rezolvă sistemul: x + 5y = −2, x − 2y = −2.
Rezolvă sistemul: 4x + 5y = −13, 3x − 5y = 34.
Rezolvă sistemul: 4x + 2y = 18, 4x − 4y = −36.
Rezolvă sistemul: 5x + y = −14, 3x − 4y = −36.
Rezolvă sistemul: x + 4y = −26, 3x − 2y = −8.
Câte soluții are sistemul x + y = 8, 4x + 4y = 33?
Rezolvă sistemul: 3x + 3y = 33, x − 4y = −4.
Rezolvă sistemul: 3x + 4y = 4, 5x − 5y = −40.
Câte soluții are sistemul x + y = 1, 3x + 3y = 4?
Rezolvă sistemul: 3x + 3y = 0, 2x − 2y = −8.
Rezolvă sistemul: x + y = 9, 5x − y = −3.
Rezolvă sistemul: 3x + 4y = 5, x − 2y = 15.
Rezolvă sistemul: 4x + y = 41, 3x − 3y = 12.
Câte soluții are sistemul x + y = 5, 4x + 4y = 21?

Arată răspunsurile: nivel dificil

infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 3: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 9 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(3, −2) — Înmulțim prima ecuație cu 3: x + 3y = −3. Scădem a doua ecuație: 4y = −3 − 5 = −8, deci y = −2. Atunci x = 5 + (−2) = 3.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 3: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 8 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(4, 9) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 1, apoi scădem: (25 − (−2))y = 245 − 2, adică 27y = 243, deci y = 9. Din prima ecuație: x = (49 − 5·9)/1 = 4.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 2: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 2 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(−2, −1) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 2, apoi scădem: (5 − (−2))y = −9 − (−2), adică 7y = −7, deci y = −1. Din prima ecuație: x = (−9 − 5·(−1))/2 = −2.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 2: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 4 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 4: 4x + 4y = 4, în contradicție cu a doua (5). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
(1, −6) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 1, apoi scădem: (1 − (−1))y = −5 − 7, adică 2y = −12, deci y = −6. Din prima ecuație: x = (−5 − 1·(−6))/1 = 1.
(8, −3) — Înmulțim prima ecuație cu 2: x + 2y = 2. Scădem a doua ecuație: 3y = 2 − 11 = −9, deci y = −3. Atunci x = 11 + (−3) = 8.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 2: 2x + 2y = 10, în contradicție cu a doua (11). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 2: 2x + 2y = 18, în contradicție cu a doua (19). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 3: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 5 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(9, −5) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 2, apoi scădem: (5 − (−6))y = 65 − 120, adică 11y = −55, deci y = −5. Din prima ecuație: x = (13 − 1·(−5))/2 = 9.
(8, 3) — Înmulțim prima ecuație cu 4: x + 4y = 20. Scădem a doua ecuație: 5y = 20 − 5 = 15, deci y = 3. Atunci x = 5 + 3 = 8.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 2: 2x + 2y = 6, în contradicție cu a doua (7). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
(0, 4) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 3, apoi scădem: (20 − (−9))y = 80 − (−36), adică 29y = 116, deci y = 4. Din prima ecuație: x = (20 − 5·4)/3 = 0.
(−2, 8) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 1, apoi scădem: (12 − (−3))y = 88 − (−32), adică 15y = 120, deci y = 8. Din prima ecuație: x = (22 − 3·8)/1 = −2.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 4: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 1 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(3, 9) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 4, apoi scădem: (8 − (−16))y = 120 − (−96), adică 24y = 216, deci y = 9. Din prima ecuație: x = (30 − 2·9)/4 = 3.
(9, 7) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 4, apoi scădem: (9 − (−4))y = 171 − 80, adică 13y = 91, deci y = 7. Din prima ecuație: x = (57 − 3·7)/4 = 9.
(9, 6) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 4, apoi scădem: (3 − (−4))y = 54 − 12, adică 7y = 42, deci y = 6. Din prima ecuație: x = (54 − 3·6)/4 = 9.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 3: 3x + 3y = 9, în contradicție cu a doua (10). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 4: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 7 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(6, 0) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 1, apoi scădem: (15 − (−4))y = 30 − 30, adică 19y = 0, deci y = 0. Din prima ecuație: x = (6 − 3·0)/1 = 6.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 2: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 3 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(−6, 2) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 5, apoi scădem: (6 − (−5))y = −78 − (−100), adică 11y = 22, deci y = 2. Din prima ecuație: x = (−26 − 2·2)/5 = −6.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 2: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 6 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(−5, 9) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 4, apoi scădem: (4 − (−12))y = −4 − (−148), adică 16y = 144, deci y = 9. Din prima ecuație: x = (−2 − 2·9)/4 = −5.
(4, −4) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 3, apoi scădem: (3 − (−12))y = 0 − 60, adică 15y = −60, deci y = −4. Din prima ecuație: x = (0 − 3·(−4))/3 = 4.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 2: 2x + 2y = 4, în contradicție cu a doua (5). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
(0, 3) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 5, apoi scădem: (8 − (−10))y = 24 − (−30), adică 18y = 54, deci y = 3. Din prima ecuație: x = (6 − 2·3)/5 = 0.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 2: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 1 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 4: 4x + 4y = 16, în contradicție cu a doua (17). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 3: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 3 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
infinit de multe soluții — A doua ecuație se obține din prima înmulțind cu 3: ecuațiile sunt echivalente. Orice pereche (x, 1 − x) este soluție, deci sunt infinit de multe.
(−2, 0) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 1, apoi scădem: (5 − (−2))y = −2 − (−2), adică 7y = 0, deci y = 0. Din prima ecuație: x = (−2 − 5·0)/1 = −2.
(3, −5) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 4, apoi scădem: (15 − (−20))y = −39 − 136, adică 35y = −175, deci y = −5. Din prima ecuație: x = (−13 − 5·(−5))/4 = 3.
(0, 9) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 4 și a doua cu 4, apoi scădem: (8 − (−16))y = 72 − (−144), adică 24y = 216, deci y = 9. Din prima ecuație: x = (18 − 2·9)/4 = 0.
(−4, 6) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 5, apoi scădem: (3 − (−20))y = −42 − (−180), adică 23y = 138, deci y = 6. Din prima ecuație: x = (−14 − 1·6)/5 = −4.
(−6, −5) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 1, apoi scădem: (12 − (−2))y = −78 − (−8), adică 14y = −70, deci y = −5. Din prima ecuație: x = (−26 − 4·(−5))/1 = −6.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 4: 4x + 4y = 32, în contradicție cu a doua (33). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
(8, 3) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 3, apoi scădem: (3 − (−12))y = 33 − (−12), adică 15y = 45, deci y = 3. Din prima ecuație: x = (33 − 3·3)/3 = 8.
(−4, 4) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 3, apoi scădem: (20 − (−15))y = 20 − (−120), adică 35y = 140, deci y = 4. Din prima ecuație: x = (4 − 4·4)/3 = −4.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 3: 3x + 3y = 3, în contradicție cu a doua (4). Sistemul este incompatibil (S = ∅).
(−2, 2) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3, apoi scădem: (6 − (−6))y = 0 − (−24), adică 12y = 24, deci y = 2. Din prima ecuație: x = (0 − 3·2)/3 = −2.
(1, 8) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 1, apoi scădem: (5 − (−1))y = 45 − (−3), adică 6y = 48, deci y = 8. Din prima ecuație: x = (9 − 1·8)/1 = 1.
(7, −4) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 1 și a doua cu 3, apoi scădem: (4 − (−6))y = 5 − 45, adică 10y = −40, deci y = −4. Din prima ecuație: x = (5 − 4·(−4))/3 = 7.
(9, 5) — Eliminăm x: înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 4, apoi scădem: (3 − (−12))y = 123 − 48, adică 15y = 75, deci y = 5. Din prima ecuație: x = (41 − 1·5)/4 = 9.
nicio soluție — Înmulțind prima ecuație cu 4: 4x + 4y = 20, în contradicție cu a doua (21). Sistemul este incompatibil (S = ∅).

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a