Acasă › Clasa a 5-a › Cel mai mare divizor comun. Amplificarea și simplificarea fracțiilor. Fracții ireductibile

Cel mai mare divizor comun. Amplificarea și simplificarea fracțiilor. Fracții ireductibile

Cum simplificăm cu cmmdc și cum recunoaștem fracțiile ireductibile.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Amplificarea unei fracții înseamnă înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr nenul. Simplificarea înseamnă împărțirea lor la un divizor comun. În ambele cazuri se obține o fracție echivalentă.

ab = a · kb · k (amplificare)
ab = a : db : d (simplificare, d divizor comun)

O fracție este ireductibilă dacă numărătorul și numitorul sunt prime între ele, adică (a, b) = 1. Forma ireductibilă se obține simplificând cu cmmdc(a, b).

Exemplul 1. 4872: (48, 72) = 24, deci 4872 = 23.

Exemplul 2. 84126: (84, 126) = 42, deci 84126 = 23.

Exemplul 3. Amplificăm 35 cu 4: 1220.

Observații

Fracțiile nn + 1 sunt ireductibile (numere consecutive sunt prime între ele).
Pentru numitorul n, numărul fracțiilor ireductibile kn (1 ≤ k ≤ n) este numărul numerelor k prime cu n. De exemplu, pentru n = 12: k ∈ {1, 5, 7, 11} (4 fracții).

Greșeli frecvente

Se simplifică doar prin factori (nu prin termeni adunați): 2 + 32 + 5 nu se simplifică cu 2.
Rezultatul simplificării trebuie verificat dacă mai poate fi simplificat.

Exersează

Aduce la forma ireductibilă 120180 și 75105.

Arată răspunsul

120180 = 23 ((120, 180) = 60); 75105 = 57 ((75, 105) = 15).

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Ce înseamnă să simplifici o fracție?
Ce înseamnă să amplifici o fracție?
Când este o fracție ireductibilă?
Cum se obține forma ireductibilă a unei fracții?
Aduce la forma ireductibilă fracția 642.
Aduce la forma ireductibilă fracția 5463.
Aduce la forma ireductibilă fracția 84132.
Aduce la forma ireductibilă fracția 4866.
Aduce la forma ireductibilă fracția 1218.
Aduce la forma ireductibilă fracția 30110.
Aduce la forma ireductibilă fracția 1030.
Aduce la forma ireductibilă fracția 1860.
Aduce la forma ireductibilă fracția 828.
Aduce la forma ireductibilă fracția 3240.
Aduce la forma ireductibilă fracția 896.
Aduce la forma ireductibilă fracția 72132.
Aduce la forma ireductibilă fracția 2736.
Aduce la forma ireductibilă fracția 666.
Amplifică fracția 58 cu 8.
Amplifică fracția 58 cu 9.
Amplifică fracția 47 cu 2.
Amplifică fracția 68 cu 8.
Amplifică fracția 710 cu 9.
Amplifică fracția 56 cu 2.
Amplifică fracția 411 cu 7.
Amplifică fracția 34 cu 2.
Amplifică fracția 79 cu 3.
Amplifică fracția 49 cu 5.
Aduce la forma ireductibilă fracția 981.
Aduce la forma ireductibilă fracția 1248.
Aduce la forma ireductibilă fracția 3040.
Aduce la forma ireductibilă fracția 636.
Aduce la forma ireductibilă fracția 4064.
Aduce la forma ireductibilă fracția 654.
Aduce la forma ireductibilă fracția 2036.
Aduce la forma ireductibilă fracția 2772.
Aduce la forma ireductibilă fracția 2442.
Aduce la forma ireductibilă fracția 4072.
Amplifică fracția 29 cu 2.
Amplifică fracția 511 cu 4.
Amplifică fracția 612 cu 8.
Amplifică fracția 210 cu 3.
Amplifică fracția 17 cu 4.
Amplifică fracția 36 cu 4.
Amplifică fracția 17 cu 9.
Amplifică fracția 39 cu 6.
Amplifică fracția 411 cu 8.
Amplifică fracția 410 cu 2.
Amplifică fracția 45 cu 8.
Amplifică fracția 78 cu 4.

Arată răspunsurile: nivel ușor

să împarți numărătorul și numitorul la același număr — Simplificarea: se împart ambii termeni la un divizor comun.
să înmulțești numărătorul și numitorul cu același număr — Amplificarea: se înmulțesc ambii termeni cu același număr nenul.
când numărătorul și numitorul sunt prime între ele — Fracția a/b este ireductibilă dacă (a, b) = 1.
prin simplificare cu cmmdc al numărătorului și numitorului — Se împart ambii termeni la cel mai mare divizor comun.
17 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 642 = 17.
67 — Împărțim numărătorul și numitorul la 9: 5463 = 67.
711 — Împărțim numărătorul și numitorul la 12: 84132 = 711.
811 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 4866 = 811.
23 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 1218 = 23.
311 — Împărțim numărătorul și numitorul la 10: 30110 = 311.
13 — Împărțim numărătorul și numitorul la 10: 1030 = 13.
310 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 1860 = 310.
27 — Împărțim numărătorul și numitorul la 4: 828 = 27.
45 — Împărțim numărătorul și numitorul la 8: 3240 = 45.
112 — Împărțim numărătorul și numitorul la 8: 896 = 112.
611 — Împărțim numărătorul și numitorul la 12: 72132 = 611.
34 — Împărțim numărătorul și numitorul la 9: 2736 = 34.
111 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 666 = 111.
4064 — 58 = 5 · 88 · 8 = 4064.
4572 — 58 = 5 · 98 · 9 = 4572.
814 — 47 = 4 · 27 · 2 = 814.
4864 — 68 = 6 · 88 · 8 = 4864.
6390 — 710 = 7 · 910 · 9 = 6390.
1012 — 56 = 5 · 26 · 2 = 1012.
2877 — 411 = 4 · 711 · 7 = 2877.
68 — 34 = 3 · 24 · 2 = 68.
2127 — 79 = 7 · 39 · 3 = 2127.
2045 — 49 = 4 · 59 · 5 = 2045.
19 — Împărțim numărătorul și numitorul la 9: 981 = 19.
14 — Împărțim numărătorul și numitorul la 12: 1248 = 14.
34 — Împărțim numărătorul și numitorul la 10: 3040 = 34.
16 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 636 = 16.
58 — Împărțim numărătorul și numitorul la 8: 4064 = 58.
19 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 654 = 19.
59 — Împărțim numărătorul și numitorul la 4: 2036 = 59.
38 — Împărțim numărătorul și numitorul la 9: 2772 = 38.
47 — Împărțim numărătorul și numitorul la 6: 2442 = 47.
59 — Împărțim numărătorul și numitorul la 8: 4072 = 59.
418 — 29 = 2 · 29 · 2 = 418.
2044 — 511 = 5 · 411 · 4 = 2044.
4896 — 612 = 6 · 812 · 8 = 4896.
630 — 210 = 2 · 310 · 3 = 630.
428 — 17 = 1 · 47 · 4 = 428.
1224 — 36 = 3 · 46 · 4 = 1224.
963 — 17 = 1 · 97 · 9 = 963.
1854 — 39 = 3 · 69 · 6 = 1854.
3288 — 411 = 4 · 811 · 8 = 3288.
820 — 410 = 4 · 210 · 2 = 820.
3240 — 45 = 4 · 85 · 8 = 3240.
2832 — 78 = 7 · 48 · 4 = 2832.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Care este forma ireductibilă a fracției 42182?
Care este forma ireductibilă a fracției 963?
Care este forma ireductibilă a fracției 210238?
Care este forma ireductibilă a fracției 144171?
Care este forma ireductibilă a fracției 2484?
Care este forma ireductibilă a fracției 143176?
Care este forma ireductibilă a fracției 105255?
Care este forma ireductibilă a fracției 3072?
Care este forma ireductibilă a fracției 117153?
Care este forma ireductibilă a fracției 4248?
Care este forma ireductibilă a fracției 828?
Care este forma ireductibilă a fracției 2585?
Care este forma ireductibilă a fracției 117182?
Care este forma ireductibilă a fracției 1230?
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 811 · B) 714 · C) 816 · D) 2838 · E) 412
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 525 · B) 1030 · C) 2438 · D) 1623 · E) 639
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 1630 · B) 2736 · C) 1527 · D) 1428 · E) 1322
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 1833 · B) 13 · C) 434 · D) 2136 · E) 620
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 2438 · B) 2232 · C) 115 · D) 2022 · E) 2128
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 824 · B) 1215 · C) 213 · D) 530 · E) 1038
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 834 · B) 1018 · C) 1026 · D) 58 · E) 921
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 2233 · B) 1016 · C) 913 · D) 1026 · E) 628
Află x, știind că 2444 = x11.
Află x, știind că 5466 = x11.
Află x, știind că 69 = x3.
Află x, știind că 1620 = x5.
Află x, știind că 3560 = x12.
Care este forma ireductibilă a fracției 6102?
Care este forma ireductibilă a fracției 3642?
Care este forma ireductibilă a fracției 4860?
Care este forma ireductibilă a fracției 225255?
Care este forma ireductibilă a fracției 152160?
Care este forma ireductibilă a fracției 56119?
Care este forma ireductibilă a fracției 165285?
Care este forma ireductibilă a fracției 10170?
Care este forma ireductibilă a fracției 165195?
Care este forma ireductibilă a fracției 255300?
Care este forma ireductibilă a fracției 28210?
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 515 · B) 2030 · C) 14 · D) 1214 · E) 2238
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 1215 · B) 2034 · C) 1319 · D) 414 · E) 510
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 623 · B) 1520 · C) 633 · D) 630 · E) 1339
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 2024 · B) 2236 · C) 1833 · D) 1012 · E) 717
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 721 · B) 1734 · C) 1516 · D) 1520 · E) 2135
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 630 · B) 2639 · C) 2628 · D) 1315 · E) 525
Care dintre fracțiile următoare este ireductibilă?
Variante: A) 1524 · B) 2434 · C) 2438 · D) 216 · E) 1921
Află x, știind că 428 = x7.
Află x, știind că 4056 = x7.
Află x, știind că 2036 = x9.
Află x, știind că 4055 = x11.
Află x, știind că 5680 = x10.

Arată răspunsurile: nivel mediu

313 — cmmdc(42, 182) = 14; 42182 = 313.
17 — cmmdc(9, 63) = 9; 963 = 17.
1517 — cmmdc(210, 238) = 14; 210238 = 1517.
1619 — cmmdc(144, 171) = 9; 144171 = 1619.
27 — cmmdc(24, 84) = 12; 2484 = 27.
1316 — cmmdc(143, 176) = 11; 143176 = 1316.
717 — cmmdc(105, 255) = 15; 105255 = 717.
512 — cmmdc(30, 72) = 6; 3072 = 512.
1317 — cmmdc(117, 153) = 9; 117153 = 1317.
78 — cmmdc(42, 48) = 6; 4248 = 78.
27 — cmmdc(8, 28) = 4; 828 = 27.
517 — cmmdc(25, 85) = 5; 2585 = 517.
914 — cmmdc(117, 182) = 13; 117182 = 914.
25 — cmmdc(12, 30) = 6; 1230 = 25.
811 — cmmdc(8, 11) = 1, deci 811 este ireductibilă.
1623 — cmmdc(16, 23) = 1, deci 1623 este ireductibilă.
1322 — cmmdc(13, 22) = 1, deci 1322 este ireductibilă.
13 — cmmdc(1, 3) = 1, deci 13 este ireductibilă.
115 — cmmdc(1, 15) = 1, deci 115 este ireductibilă.
213 — cmmdc(2, 13) = 1, deci 213 este ireductibilă.
58 — cmmdc(5, 8) = 1, deci 58 este ireductibilă.
913 — cmmdc(9, 13) = 1, deci 913 este ireductibilă.
6 — Simplificăm cu 4: 2444 = 611, deci x = 6.
9 — Simplificăm cu 6: 5466 = 911, deci x = 9.
2 — Simplificăm cu 3: 69 = 23, deci x = 2.
4 — Simplificăm cu 4: 1620 = 45, deci x = 4.
7 — Simplificăm cu 5: 3560 = 712, deci x = 7.
117 — cmmdc(6, 102) = 6; 6102 = 117.
67 — cmmdc(36, 42) = 6; 3642 = 67.
45 — cmmdc(48, 60) = 12; 4860 = 45.
1517 — cmmdc(225, 255) = 15; 225255 = 1517.
1920 — cmmdc(152, 160) = 8; 152160 = 1920.
817 — cmmdc(56, 119) = 7; 56119 = 817.
1119 — cmmdc(165, 285) = 15; 165285 = 1119.
117 — cmmdc(10, 170) = 10; 10170 = 117.
1113 — cmmdc(165, 195) = 15; 165195 = 1113.
1720 — cmmdc(255, 300) = 15; 255300 = 1720.
215 — cmmdc(28, 210) = 14; 28210 = 215.
14 — cmmdc(1, 4) = 1, deci 14 este ireductibilă.
1319 — cmmdc(13, 19) = 1, deci 1319 este ireductibilă.
623 — cmmdc(6, 23) = 1, deci 623 este ireductibilă.
717 — cmmdc(7, 17) = 1, deci 717 este ireductibilă.
1516 — cmmdc(15, 16) = 1, deci 1516 este ireductibilă.
1315 — cmmdc(13, 15) = 1, deci 1315 este ireductibilă.
1921 — cmmdc(19, 21) = 1, deci 1921 este ireductibilă.
1 — Simplificăm cu 4: 428 = 17, deci x = 1.
5 — Simplificăm cu 8: 4056 = 57, deci x = 5.
5 — Simplificăm cu 4: 2036 = 59, deci x = 5.
8 — Simplificăm cu 5: 4055 = 811, deci x = 8.
7 — Simplificăm cu 8: 5680 = 710, deci x = 7.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Care este forma ireductibilă a fracției 84126?
Care este forma ireductibilă a fracției 150225?
Care este forma ireductibilă a fracției 360840?
Care este forma ireductibilă a fracției 168294?
Care este forma ireductibilă a fracției 99165?
Care este forma ireductibilă a fracției 275440?
Care este forma ireductibilă a fracției 144216?
Câte fracții de forma k14, cu 1 ≤ k ≤ 14, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k18, cu 1 ≤ k ≤ 18, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k30, cu 1 ≤ k ≤ 30, sunt ireductibile?
Câte fracții echivalente cu 23 au numitorul număr natural de două cifre?
Câte fracții echivalente cu 49 au numitorul număr natural de două cifre?
Câte fracții echivalente cu 58 au numitorul număr natural de două cifre?
Fracția nn + 1 este ireductibilă pentru n = 8? Care este cmmdc al numărătorului și numitorului?
Fracția nn + 1 este ireductibilă pentru n = 12? Care este cmmdc al numărătorului și numitorului?
Fracția nn + 1 este ireductibilă pentru n = 35? Care este cmmdc al numărătorului și numitorului?
Care este forma ireductibilă a fracției 357399?
Care este forma ireductibilă a fracției 49126?
Care este forma ireductibilă a fracției 26169?
Care este forma ireductibilă a fracției 154374?
Care este forma ireductibilă a fracției 180234?
Care este forma ireductibilă a fracției 170210?
Care este forma ireductibilă a fracției 96138?
Care este forma ireductibilă a fracției 300380?
Care este forma ireductibilă a fracției 130200?
Care este forma ireductibilă a fracției 266323?
Câte fracții de forma k16, cu 1 ≤ k ≤ 16, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k22, cu 1 ≤ k ≤ 22, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k27, cu 1 ≤ k ≤ 27, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k33, cu 1 ≤ k ≤ 33, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k34, cu 1 ≤ k ≤ 34, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k36, cu 1 ≤ k ≤ 36, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k37, cu 1 ≤ k ≤ 37, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k39, cu 1 ≤ k ≤ 39, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k41, cu 1 ≤ k ≤ 41, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k43, cu 1 ≤ k ≤ 43, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k46, cu 1 ≤ k ≤ 46, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k47, cu 1 ≤ k ≤ 47, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k48, cu 1 ≤ k ≤ 48, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k49, cu 1 ≤ k ≤ 49, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k53, cu 1 ≤ k ≤ 53, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k55, cu 1 ≤ k ≤ 55, sunt ireductibile?
Câte fracții de forma k57, cu 1 ≤ k ≤ 57, sunt ireductibile?
Care este forma ireductibilă a fracției 64216?
Care este forma ireductibilă a fracției 156169?
Care este forma ireductibilă a fracției 368667?
Care este forma ireductibilă a fracției 196350?
Care este forma ireductibilă a fracției 280406?
Care este forma ireductibilă a fracției 102119?
Care este forma ireductibilă a fracției 208288?

Arată răspunsurile: nivel dificil

23 — cmmdc(84, 126) = 42; 84126 = 23.
23 — cmmdc(150, 225) = 75; 150225 = 23.
37 — cmmdc(360, 840) = 120; 360840 = 37.
47 — cmmdc(168, 294) = 42; 168294 = 47.
35 — cmmdc(99, 165) = 33; 99165 = 35.
58 — cmmdc(275, 440) = 55; 275440 = 58.
23 — cmmdc(144, 216) = 72; 144216 = 23.
6 — Fracția este ireductibilă dacă (k, 14) = 1: 1, 3, 5, 9, 11, 13. Total 6.
6 — Fracția este ireductibilă dacă (k, 18) = 1: 1, 5, 7, 11, 13, 17. Total 6.
8 — Fracția este ireductibilă dacă (k, 30) = 1: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Total 8.
30 — Fracțiile sunt 2·k3·k cu 3·k de 2 cifre: k de la 4 la 33: 30 fracții.
10 — Fracțiile sunt 4·k9·k cu 9·k de 2 cifre: k de la 2 la 11: 10 fracții.
11 — Fracțiile sunt 5·k8·k cu 8·k de 2 cifre: k de la 2 la 12: 11 fracții.
1 — cmmdc(8, 9) = 1 (numere consecutive), deci fracția este ireductibilă.
1 — cmmdc(12, 13) = 1 (numere consecutive), deci fracția este ireductibilă.
1 — cmmdc(35, 36) = 1 (numere consecutive), deci fracția este ireductibilă.
1719 — cmmdc(357, 399) = 21: 1719.
718 — cmmdc(49, 126) = 7: 718.
213 — cmmdc(26, 169) = 13: 213.
717 — cmmdc(154, 374) = 22: 717.
1013 — cmmdc(180, 234) = 18: 1013.
1721 — cmmdc(170, 210) = 10: 1721.
1623 — cmmdc(96, 138) = 6: 1623.
1519 — cmmdc(300, 380) = 20: 1519.
1320 — cmmdc(130, 200) = 10: 1320.
1417 — cmmdc(266, 323) = 19: 1417.
8 — Se numără numerele k prime cu 16: 8.
10 — Se numără numerele k prime cu 22: 10.
18 — Se numără numerele k prime cu 27: 18.
20 — Se numără numerele k prime cu 33: 20.
16 — Se numără numerele k prime cu 34: 16.
12 — Se numără numerele k prime cu 36: 12.
36 — Se numără numerele k prime cu 37: 36.
24 — Se numără numerele k prime cu 39: 24.
40 — Se numără numerele k prime cu 41: 40.
42 — Se numără numerele k prime cu 43: 42.
22 — Se numără numerele k prime cu 46: 22.
46 — Se numără numerele k prime cu 47: 46.
16 — Se numără numerele k prime cu 48: 16.
42 — Se numără numerele k prime cu 49: 42.
52 — Se numără numerele k prime cu 53: 52.
40 — Se numără numerele k prime cu 55: 40.
36 — Se numără numerele k prime cu 57: 36.
827 — cmmdc(64, 216) = 8: 827.
1213 — cmmdc(156, 169) = 13: 1213.
1629 — cmmdc(368, 667) = 23: 1629.
1425 — cmmdc(196, 350) = 14: 1425.
2029 — cmmdc(280, 406) = 14: 2029.
67 — cmmdc(102, 119) = 17: 67.
1318 — cmmdc(208, 288) = 16: 1318.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 5-a