Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Proiecții ortogonale. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Proiecții ortogonale. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Proiecția unui punct, a unei drepte, a unui segment pe un plan, unghiul dintre dreaptă și plan.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Proiecția ortogonală

Proiecția unui punct P pe un plan α este piciorul P′ al perpendicularei duse din P pe α. Proiecția unei figuri este mulțimea proiecțiilor punctelor ei. Proiecția unei drepte oblice este o dreaptă; a unui segment AB este segmentul A′B′.

P ↦ P′   (PP′ ⟂ α)   segment AB ↦ A′B′   dreaptă ↦ dreaptă (sau punct dacă d ⟂ α)

Unghiul dreaptă–plan

Unghiul dintre o dreaptă d și un plan α este unghiul dintre d și proiecția ei pe α. Dacă d ∥ α, unghiul este 0°; dacă d ⟂ α, este 90°.

φ = ∠(d, α) = ∠(d, d′)   sin φ = distanța de la un punct al dreptei la plan / lungimea segmentului
AA′BB′CC′DD′

Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB; ∠(A′B, (ABC)) = ∠A′BA = 45°

VABCDO

∠(VA, (ABC)) = ∠VAO

Exemplul 1. În cubul de muchie l, află unghiul dreptei A′B cu planul (ABC).
Metoda 1 (cu proiecția). Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB (A′A ⟂ (ABC)). În triunghiul dreptunghic isoscel A′AB, ∠A′BA = 45°.
Metoda 2 (cu trigonometrie). sin φ = A′A/A′B = l/(l√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
Exemplul 2. O piramidă patrulateră regulată are VO = 5√2 cm și AB = 10 cm. Află unghiul muchiei laterale cu planul bazei.
Metoda 1 (cu tangenta). Proiecția lui VA pe (ABC) este OA = AB√2/2 = 5√2. tg ∠VAO = VO/OA = 1 ⇒ 45°.
Metoda 2 (cu triunghiul VOA). VO = OA = 5√2 și VO ⟂ OA: triunghi dreptunghic isoscel, deci ∠VAO = 45°.
Exemplul 3. Un con are generatoarea 12 cm și înălțimea 6√3 cm. Află unghiul generatoarei cu planul bazei.
Metoda 1 (cu sinus). sin φ = h/g = 6√3/12 = √3/2 ⇒ φ = 60°.
Metoda 2 (cu cosinus). r² = 144 − 108 = 36 ⇒ r = 6; cos φ = r/g = 6/12 = 1/2 ⇒ 60°.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Unghiul dintre o dreaptă perpendiculară pe un plan și acel plan este:
    Variante: A) 90°  ·  B) 0°  ·  C) 60°  ·  D) 45°  ·  E) nu este definit
  2. Unghiul dintre o dreaptă paralelă cu un plan și acel plan este:
    Variante: A) 45°  ·  B) 180°  ·  C) 90°  ·  D) 0°  ·  E) nu este definit
  3. În cubul ABCDA′B′C′D′, proiecția punctului D′ pe planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) B  ·  B) C  ·  C) A′  ·  D) A  ·  E) D
  4. Într-un cub cu muchia 12 cm, proiecția segmentului AB′ pe planul (ABC) este segmentul AB. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 24  ·  B) 12  ·  C) 13  ·  D) 12√2  ·  E) 12√3
  5. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, măsura unghiului dintre dreapta A′C′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 0°
  6. Într-un cub cu muchia 8 cm, proiecția segmentului B′C′ pe planul (ABC) este segmentul BC. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 8√2  ·  C) 8  ·  D) 16  ·  E) 8√3
  7. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, măsura unghiului dintre dreapta DA′ și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 0°  ·  C) 90°  ·  D) 45°  ·  E) 30°
  8. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, măsura unghiului dintre dreapta DA și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 45°  ·  C) 90°  ·  D) 0°  ·  E) 30°
  9. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, măsura unghiului dintre dreapta AC și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 0°  ·  E) 30°
  10. Într-un cub cu muchia 3 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3√2  ·  B) 0  ·  C) 3  ·  D) 3√3  ·  E) 6
  11. Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan este:
    Variante: A) piciorul perpendicularei duse din punct pe plan  ·  B) vârful unui unghi din plan  ·  C) intersecția planului cu o dreaptă oblică  ·  D) orice punct al planului  ·  E) mijlocul unui segment oarecare din plan
  12. Într-un cub cu muchia 5 cm, proiecția segmentului B′C′ pe planul (ABC) este segmentul BC. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√3  ·  B) 6  ·  C) 5√2  ·  D) 10  ·  E) 5
  13. Într-un cub cu muchia 12 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0  ·  B) 12√3  ·  C) 12  ·  D) 24  ·  E) 12√2
  14. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, măsura unghiului dintre dreapta AC și planul (DAA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 30°  ·  C) 0°  ·  D) 45°  ·  E) 60°
  15. Într-un cub cu muchia 2 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√3  ·  B) 0  ·  C) 2√2  ·  D) 4  ·  E) 2
  16. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 2 cm, măsura unghiului dintre dreapta BC′ și planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  17. În cubul ABCDA′B′C′D′, proiecția punctului A′ pe planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) C  ·  B) B′  ·  C) A  ·  D) B  ·  E) D
  18. Într-un cub cu muchia 4 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0  ·  B) 4√3  ·  C) 4√2  ·  D) 8  ·  E) 4
  19. Într-un cub cu muchia 12 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul AB. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 24  ·  C) 12√2  ·  D) 12√3  ·  E) 13
  20. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, măsura unghiului dintre dreapta DD′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) 0°
  21. Într-un cub cu muchia 8 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul AB. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8√3  ·  B) 16  ·  C) 8  ·  D) 9  ·  E) 8√2
  22. În cubul ABCDA′B′C′D′, proiecția punctului B pe planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) B′  ·  B) A  ·  C) A′  ·  D) C  ·  E) D
  23. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, măsura unghiului dintre dreapta AB′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 60°  ·  E) 0°
  24. Într-un cub cu muchia 9 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0  ·  B) 9  ·  C) 9√2  ·  D) 18  ·  E) 9√3
  25. Într-un cub cu muchia 5 cm, proiecția segmentului AB′ pe planul (ABC) este segmentul AB. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10  ·  B) 5√2  ·  C) 6  ·  D) 5  ·  E) 5√3
  26. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 2 cm, măsura unghiului dintre dreapta A′B′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 30°  ·  C) 90°  ·  D) 45°  ·  E) 0°
  27. Într-un cub cu muchia 12 cm, proiecția segmentului B′C′ pe planul (ABC) este segmentul BC. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12√3  ·  B) 13  ·  C) 12√2  ·  D) 12  ·  E) 24
  28. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, măsura unghiului dintre dreapta AB și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 0°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  29. În cubul ABCDA′B′C′D′, proiecția punctului C′ pe planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) A  ·  B) A′  ·  C) C  ·  D) D  ·  E) B
  30. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, măsura unghiului dintre dreapta A′C′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 60°  ·  C) 0°  ·  D) 90°  ·  E) 45°
  31. Într-un cub cu muchia 2 cm, proiecția segmentului CD′ pe planul (ABC) este segmentul CD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 2√3  ·  C) 2√2  ·  D) 4  ·  E) 3
  32. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, măsura unghiului dintre dreapta AB′ și planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 90°
  33. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, măsura unghiului dintre dreapta BC′ și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 0°  ·  C) 45°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  34. În cubul ABCDA′B′C′D′, proiecția punctului C pe planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) C′  ·  B) D  ·  C) B  ·  D) A  ·  E) A′
  35. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, măsura unghiului dintre dreapta DA′ și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 60°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  36. Într-un cub cu muchia 8 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0  ·  B) 16  ·  C) 8√3  ·  D) 8  ·  E) 8√2
  37. Într-un cub cu muchia 5 cm, proiecția segmentului CD′ pe planul (ABC) este segmentul CD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6  ·  B) 5  ·  C) 10  ·  D) 5√3  ·  E) 5√2
  38. Într-un cub cu muchia 2 cm, proiecția segmentului B′C′ pe planul (ABC) este segmentul BC. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 4  ·  C) 2√2  ·  D) 2√3  ·  E) 3
  39. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, măsura unghiului dintre dreapta AB și planul (DAA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 0°  ·  C) 30°  ·  D) 45°  ·  E) 60°
  40. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 3 cm, măsura unghiului dintre dreapta C′D′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 0°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 60°
  41. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, măsura unghiului dintre dreapta CB′ și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 90°  ·  C) 60°  ·  D) 30°  ·  E) 0°
  42. În cubul ABCDA′B′C′D′, proiecția punctului D pe planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) A′  ·  B) C  ·  C) D′  ·  D) A  ·  E) B
  43. Într-un cub cu muchia 6 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul de lungime (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0  ·  B) 6√2  ·  C) 6  ·  D) 6√3  ·  E) 12
  44. Într-un cub cu muchia 4 cm, proiecția segmentului A′D′ pe planul (ABC) este segmentul AD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4√3  ·  B) 8  ·  C) 4√2  ·  D) 4  ·  E) 5
  45. Într-un cub cu muchia 11 cm, proiecția segmentului CD′ pe planul (ABC) este segmentul CD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 11  ·  B) 11√3  ·  C) 11√2  ·  D) 22  ·  E) 12
  46. Într-un cub cu muchia 7 cm, proiecția segmentului A′D′ pe planul (ABC) este segmentul AD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7√2  ·  B) 7  ·  C) 7√3  ·  D) 8  ·  E) 14
  47. În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, măsura unghiului dintre dreapta DA′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 45°  ·  E) 0°
  48. Într-un cub cu muchia 9 cm, proiecția segmentului CD′ pe planul (ABC) este segmentul CD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 9√3  ·  C) 9√2  ·  D) 10  ·  E) 18
  49. Într-un cub cu muchia 2 cm, proiecția segmentului A′B′ pe planul (ABC) este segmentul AB. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2  ·  B) 2√3  ·  C) 2√2  ·  D) 4  ·  E) 3
  50. Într-un cub cu muchia 6 cm, proiecția segmentului A′D′ pe planul (ABC) este segmentul AD. Lungimea sa este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7  ·  B) 6  ·  C) 6√2  ·  D) 6√3  ·  E) 12
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 90° — Dacă d ⟂ α, unghiul dintre d și α este 90°.
  2. 0° — Dreapta paralelă cu planul este paralelă cu proiecția ei: unghiul este 0°.
  3. D — D′D este perpendiculară pe planul (ABC), deci piciorul perpendicularei este D.
  4. 12 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AB este o muchie a cubului: 12 cm.
  5. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru A′C′ se obține 45°.
  6. 8 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar BC este o muchie a cubului: 8 cm.
  7. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru DA′ se obține 45°.
  8. 90° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru DA se obține 90°.
  9. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru AC se obține 45°.
  10. 3 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 3 cm.
  11. piciorul perpendicularei duse din punct pe plan — Definiția proiecției ortogonale a unui punct pe un plan.
  12. 5 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar BC este o muchie a cubului: 5 cm.
  13. 12 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 12 cm.
  14. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru AC se obține 45°.
  15. 2 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 2 cm.
  16. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru BC′ se obține 45°.
  17. A — A′A este perpendiculară pe planul (ABC), deci piciorul perpendicularei este A.
  18. 4 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 4 cm.
  19. 12 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AB este o muchie a cubului: 12 cm.
  20. 90° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru DD′ se obține 90°.
  21. 8 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AB este o muchie a cubului: 8 cm.
  22. B′ — BB′ este perpendiculară pe planul (A′B′C′), deci piciorul perpendicularei este B′.
  23. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru AB′ se obține 45°.
  24. 9 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 9 cm.
  25. 5 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AB este o muchie a cubului: 5 cm.
  26. 90° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru A′B′ se obține 90°.
  27. 12 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar BC este o muchie a cubului: 12 cm.
  28. 90° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru AB se obține 90°.
  29. C — C′C este perpendiculară pe planul (ABC), deci piciorul perpendicularei este C.
  30. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru A′C′ se obține 45°.
  31. 2 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar CD este o muchie a cubului: 2 cm.
  32. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru AB′ se obține 45°.
  33. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru BC′ se obține 45°.
  34. C′ — CC′ este perpendiculară pe planul (A′B′C′), deci piciorul perpendicularei este C′.
  35. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru DA′ se obține 45°.
  36. 8 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 8 cm.
  37. 5 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar CD este o muchie a cubului: 5 cm.
  38. 2 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar BC este o muchie a cubului: 2 cm.
  39. 90° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru AB se obține 90°.
  40. 90° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru C′D′ se obține 90°.
  41. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru CB′ se obține 45°.
  42. D′ — DD′ este perpendiculară pe planul (A′B′C′), deci piciorul perpendicularei este D′.
  43. 6 — A′ se proiectează în A și B′ în B, deci proiecția este AB = 6 cm.
  44. 4 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AD este o muchie a cubului: 4 cm.
  45. 11 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar CD este o muchie a cubului: 11 cm.
  46. 7 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AD este o muchie a cubului: 7 cm.
  47. 45° — Unghiul dreptei cu planul este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Pentru DA′ se obține 45°.
  48. 9 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar CD este o muchie a cubului: 9 cm.
  49. 2 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AB este o muchie a cubului: 2 cm.
  50. 6 — Proiecțiile capetelor sunt vârfuri ale bazei, iar AD este o muchie a cubului: 6 cm.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Într-un cub cu muchia 5 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  2. Într-un cub cu muchia 6 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 90°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 0°
  3. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BC′ și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 45°  ·  C) 0°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  4. O generatoare a unui con circular drept are lungimea 5√2 cm, iar raza bazei este 5 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 45°  ·  B) 75°  ·  C) 60°  ·  D) 30°  ·  E) 90°
  5. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BA′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 45°  ·  C) 90°  ·  D) 0°  ·  E) 60°
  6. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta C′D′ și planul (DAA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 0°  ·  E) 30°
  7. O generatoare a unui con circular drept are lungimea 6√2 cm, iar raza bazei este 6 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 75°
  8. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 4 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 4 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 30°  ·  B) 60°  ·  C) 75°  ·  D) 90°  ·  E) 45°
  9. Într-un cub cu muchia 7 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 90°  ·  C) 0°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  10. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DC′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 90°  ·  E) 30°
  11. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 8 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 8 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 75°  ·  E) 90°
  12. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 12 cm, iar raza bazei este 6 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 30°  ·  B) 90°  ·  C) 45°  ·  D) 60°  ·  E) 75°
  13. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 14 cm, iar raza bazei este 7 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 90°  ·  B) 75°  ·  C) 60°  ·  D) 45°  ·  E) 30°
  14. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CD′ și planul (DAA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  15. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 1 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 1 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 90°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 60°  ·  E) 75°
  16. O generatoare a unui con circular drept are lungimea 2√2 cm, iar raza bazei este 2 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 75°  ·  B) 30°  ·  C) 90°  ·  D) 60°  ·  E) 45°
  17. O generatoare a unui con circular drept are lungimea 3√2 cm, iar raza bazei este 3 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 90°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 60°  ·  E) 75°
  18. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AD′ și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 30°  ·  C) 60°  ·  D) 0°  ·  E) 90°
  19. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AB și planul (DAA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 0°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 60°
  20. O generatoare a unui con circular drept are lungimea 7√2 cm, iar raza bazei este 7 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 30°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 90°  ·  E) 75°
  21. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AB′ și planul (DAA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 90°  ·  C) 30°  ·  D) 45°  ·  E) 0°
  22. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 2 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 2 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 60°  ·  B) 75°  ·  C) 30°  ·  D) 45°  ·  E) 90°
  23. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 3 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 3 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 45°  ·  B) 75°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) 60°
  24. Într-un cub cu muchia 11 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 0°  ·  D) 90°  ·  E) 30°
  25. Într-un cub cu muchia 8 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 0°  ·  E) 90°
  26. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 10 cm, iar raza bazei este 5 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 60°  ·  B) 75°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) 45°
  27. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AD′ și planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 90°  ·  C) 30°  ·  D) 60°  ·  E) 45°
  28. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 8 cm, iar raza bazei este 4 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 75°  ·  B) 60°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  29. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CD′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 30°  ·  C) 0°  ·  D) 90°  ·  E) 45°
  30. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DC′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 0°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  31. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 6 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 6 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 75°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  32. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 5 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 5 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 75°  ·  B) 60°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  33. Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este 7 cm și piciorul ei este O, centrul bazei; AO = 7 cm. Unghiul muchiei laterale VA cu planul bazei este:VABCDO
    Variante: A) 45°  ·  B) 90°  ·  C) 75°  ·  D) 60°  ·  E) 30°
  34. O generatoare a unui con circular drept are lungimea 4√2 cm, iar raza bazei este 4 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 30°  ·  B) 45°  ·  C) 60°  ·  D) 90°  ·  E) 75°
  35. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BC și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 45°  ·  C) 60°  ·  D) 30°  ·  E) 90°
  36. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AD′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 30°  ·  C) 90°  ·  D) 60°  ·  E) 0°
  37. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 6 cm, iar raza bazei este 3 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 90°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 60°  ·  E) 75°
  38. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DA′ și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 0°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 60°
  39. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta B′D′ și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 45°  ·  C) 0°  ·  D) 90°  ·  E) 60°
  40. Într-un cub cu muchia 4 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 90°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 0°
  41. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CB′ și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 0°  ·  E) 90°
  42. Într-un cub cu muchia 12 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 0°  ·  D) 30°  ·  E) 90°
  43. Într-un cub cu muchia 10 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 30°  ·  C) 0°  ·  D) 60°  ·  E) 45°
  44. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 16 cm, iar raza bazei este 8 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 60°  ·  B) 30°  ·  C) 90°  ·  D) 45°  ·  E) 75°
  45. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DA′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 90°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) 60°
  46. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BD și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) 0°
  47. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 4 cm, iar raza bazei este 2 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 30°  ·  B) 45°  ·  C) 75°  ·  D) 60°  ·  E) 90°
  48. Generatoarea unui con circular drept are lungimea 18 cm, iar raza bazei este 9 cm. Unghiul generatoarei cu planul bazei este:VOAB
    Variante: A) 30°  ·  B) 75°  ·  C) 90°  ·  D) 60°  ·  E) 45°
  49. Într-un cub cu muchia 3 cm, unghiul dintre dreapta A′B și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 90°  ·  E) 60°
  50. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CC′ și planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 45°  ·  C) 0°  ·  D) 90°  ·  E) 60°
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  2. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  3. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  4. 45° — cos φ = r/g = 5/(5√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
  5. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  6. 90° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 90°.
  7. 45° — cos φ = r/g = 6/(6√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
  8. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 4, deci ∠VAO = 45°.
  9. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  10. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  11. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 8, deci ∠VAO = 45°.
  12. 60° — cos φ = r/g = 6/12 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  13. 60° — cos φ = r/g = 7/14 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  14. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  15. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 1, deci ∠VAO = 45°.
  16. 45° — cos φ = r/g = 2/(2√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
  17. 45° — cos φ = r/g = 3/(3√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
  18. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  19. 90° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 90°.
  20. 45° — cos φ = r/g = 7/(7√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
  21. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  22. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 2, deci ∠VAO = 45°.
  23. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 3, deci ∠VAO = 45°.
  24. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  25. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  26. 60° — cos φ = r/g = 5/10 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  27. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  28. 60° — cos φ = r/g = 4/8 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  29. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  30. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  31. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 6, deci ∠VAO = 45°.
  32. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 5, deci ∠VAO = 45°.
  33. 45° — În triunghiul VOA (dreptunghic în O), VO = AO = 7, deci ∠VAO = 45°.
  34. 45° — cos φ = r/g = 4/(4√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
  35. 90° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 90°.
  36. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  37. 60° — cos φ = r/g = 3/6 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  38. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  39. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  40. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  41. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  42. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  43. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  44. 60° — cos φ = r/g = 8/16 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  45. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  46. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  47. 60° — cos φ = r/g = 2/4 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  48. 60° — cos φ = r/g = 9/18 = 1/2 ⇒ φ = 60°.
  49. 45° — Proiecția lui A′B pe (ABC) este AB. Triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel (AA′ = AB), deci unghiul este 45°.
  50. 90° — Se proiectează dreapta pe plan și se determină unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 90°.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta A′C′ și planul (BCC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 90°  ·  C) 60°  ·  D) 45°  ·  E) 30°
  2. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BA′ și planul (BDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 0°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) 60°
  3. Într-un cub cu muchia 5 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√3  ·  B) 5√2  ·  C) 10  ·  D) 5  ·  E) 5√2/2
  4. Într-un cub cu muchia 9 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 18  ·  B) 9√3  ·  C) 9√2/2  ·  D) 9  ·  E) 9√2
  5. Într-un cub cu muchia 10 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10√3  ·  B) 5√2  ·  C) 10  ·  D) 10√2  ·  E) 20
  6. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 9 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 90°  ·  B) 30°  ·  C) 60°  ·  D) 45°  ·  E) arctg 2
  7. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 8 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 60°  ·  B) 90°  ·  C) 45°  ·  D) 30°  ·  E) arctg 2
  8. Într-un cub cu muchia 6 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √6/3  ·  B) √2/2  ·  C) √3/2  ·  D) 1/2  ·  E) √3/3
  9. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 6 cm și înălțimea VO = 3 cm. Unghiul dintre VA și planul bazei are tangenta:VABCDO
    Variante: A) √2/2  ·  B) 1  ·  C) 1/2  ·  D) √2  ·  E) √3
  10. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CB′ și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 90°  ·  C) 60°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  11. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12 cm și înălțimea VO = 6 cm. Unghiul dintre VA și planul bazei are tangenta:VABCDO
    Variante: A) 1/2  ·  B) √2/2  ·  C) √3  ·  D) √2  ·  E) 1
  12. Într-un cub cu muchia 4 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4  ·  B) 8  ·  C) 2√2  ·  D) 4√2  ·  E) 4√3
  13. Într-un cub cu muchia 8 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) 8√2  ·  C) 16  ·  D) 4√2  ·  E) 8√3
  14. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 10 cm și înălțimea VO = 5 cm. Unghiul dintre VA și planul bazei are tangenta:VABCDO
    Variante: A) √2/2  ·  B) √3  ·  C) 1/2  ·  D) √2  ·  E) 1
  15. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 4 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 90°  ·  B) 45°  ·  C) 60°  ·  D) arctg 2  ·  E) 30°
  16. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 4 cm și înălțimea VO = 2 cm. Unghiul dintre VA și planul bazei are tangenta:VABCDO
    Variante: A) 1  ·  B) √3  ·  C) 1/2  ·  D) √2/2  ·  E) √2
  17. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 3 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 90°  ·  B) 30°  ·  C) 60°  ·  D) arctg 2  ·  E) 45°
  18. Într-un cub cu muchia 6 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6√2  ·  B) 6√3  ·  C) 3√2  ·  D) 12  ·  E) 6
  19. Într-un cub cu muchia 7 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 7  ·  B) 14  ·  C) 7√2/2  ·  D) 7√2  ·  E) 7√3
  20. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AC și planul (CDA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) 0°
  21. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 2 cm și înălțimea VO = 1 cm. Unghiul dintre VA și planul bazei are tangenta:VABCDO
    Variante: A) 1/2  ·  B) √2/2  ·  C) √2  ·  D) 1  ·  E) √3
  22. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 2 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 30°  ·  B) 60°  ·  C) arctg 2  ·  D) 90°  ·  E) 45°
  23. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 6 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 60°  ·  B) 45°  ·  C) 30°  ·  D) 90°  ·  E) arctg 2
  24. Într-un cub cu muchia 10 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √3/3  ·  B) √2/2  ·  C) √3/2  ·  D) √6/3  ·  E) 1/2
  25. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AC și planul (ABB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 0°  ·  E) 90°
  26. Într-un cub cu muchia 5 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √6/3  ·  B) √3/3  ·  C) √2/2  ·  D) √3/2  ·  E) 1/2
  27. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AB′ și planul (ABC) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 45°  ·  C) 60°  ·  D) 30°  ·  E) 0°
  28. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 5 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 30°  ·  B) 60°  ·  C) arctg 2  ·  D) 45°  ·  E) 90°
  29. Într-un cub cu muchia 7 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √3/2  ·  B) 1/2  ·  C) √6/3  ·  D) √2/2  ·  E) √3/3
  30. Într-un cub cu muchia 4 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √6/3  ·  B) 1/2  ·  C) √2/2  ·  D) √3/2  ·  E) √3/3
  31. Într-un cub cu muchia 12 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6√2  ·  B) 12√3  ·  C) 12  ·  D) 24  ·  E) 12√2
  32. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BC′ și planul (ACC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 60°  ·  C) 45°  ·  D) 90°  ·  E) 0°
  33. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DA′ și planul (BCD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 60°  ·  C) 0°  ·  D) 30°  ·  E) 90°
  34. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 1 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) arctg 2  ·  D) 45°  ·  E) 30°
  35. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AB′ și planul (CDA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 0°  ·  C) 60°  ·  D) 45°  ·  E) 90°
  36. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 8 cm și înălțimea VO = 4 cm. Unghiul dintre VA și planul bazei are tangenta:VABCDO
    Variante: A) √3  ·  B) 1  ·  C) 1/2  ·  D) √2  ·  E) √2/2
  37. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BC′ și planul (DAB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 90°  ·  C) 0°  ·  D) 30°  ·  E) 45°
  38. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DC′ și planul (BDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 30°  ·  C) 45°  ·  D) 0°  ·  E) 60°
  39. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CD′ și planul (CDA′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 0°  ·  C) 45°  ·  D) 90°  ·  E) 30°
  40. Într-un cub cu muchia 11 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √6/3  ·  B) √3/2  ·  C) √2/2  ·  D) 1/2  ·  E) √3/3
  41. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CD′ și planul (ABC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 0°  ·  E) 45°
  42. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AD′ și planul (BDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 90°  ·  B) 0°  ·  C) 60°  ·  D) 45°  ·  E) 30°
  43. Într-un cub cu muchia 3 cm, lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC) este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 3√2  ·  B) 3  ·  C) 3√3  ·  D) 6  ·  E) 3√2/2
  44. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta AC și planul (CDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 45°  ·  B) 0°  ·  C) 90°  ·  D) 30°  ·  E) 60°
  45. Într-un cub cu muchia 9 cm, unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABB′) are sinusul:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √3/2  ·  B) √2/2  ·  C) √6/3  ·  D) √3/3  ·  E) 1/2
  46. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta BA′ și planul (DAB′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 60°  ·  B) 45°  ·  C) 90°  ·  D) 0°  ·  E) 30°
  47. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta B′D′ și planul (ABC′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 45°  ·  C) 60°  ·  D) 90°  ·  E) 30°
  48. Într-un tetraedru VABC cu VA ⟂ (ABC), VA = AB = 7 cm și AB ⟂ AC, unghiul dreptei VB cu planul (ABC) este:VABC
    Variante: A) 60°  ·  B) 30°  ·  C) arctg 2  ·  D) 90°  ·  E) 45°
  49. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta CD′ și planul (BDD′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 0°  ·  B) 60°  ·  C) 30°  ·  D) 45°  ·  E) 90°
  50. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre dreapta DC′ și planul (A′B′C′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 30°  ·  B) 90°  ·  C) 45°  ·  D) 60°  ·  E) 0°
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  2. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  3. 5√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 5√2 cm.
  4. 9√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 9√2 cm.
  5. 10√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 10√2 cm.
  6. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  7. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  8. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 6/(6√3) = √3/3.
  9. √2/2 — tg ∠VAO = VO/AO = (6/2)/(6√2/2) = 1/√2 = √2/2.
  10. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  11. √2/2 — tg ∠VAO = VO/AO = (12/2)/(12√2/2) = 1/√2 = √2/2.
  12. 4√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 4√2 cm.
  13. 8√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 8√2 cm.
  14. √2/2 — tg ∠VAO = VO/AO = (10/2)/(10√2/2) = 1/√2 = √2/2.
  15. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  16. √2/2 — tg ∠VAO = VO/AO = (4/2)/(4√2/2) = 1/√2 = √2/2.
  17. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  18. 6√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 6√2 cm.
  19. 7√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 7√2 cm.
  20. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  21. √2/2 — tg ∠VAO = VO/AO = (2/2)/(2√2/2) = 1/√2 = √2/2.
  22. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  23. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  24. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 10/(10√3) = √3/3.
  25. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  26. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 5/(5√3) = √3/3.
  27. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  28. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  29. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 7/(7√3) = √3/3.
  30. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 4/(4√3) = √3/3.
  31. 12√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 12√2 cm.
  32. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  33. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  34. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  35. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  36. √2/2 — tg ∠VAO = VO/AO = (8/2)/(8√2/2) = 1/√2 = √2/2.
  37. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  38. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  39. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  40. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 11/(11√3) = √3/3.
  41. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  42. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  43. 3√2 — A′ se proiectează în A, deci proiecția lui A′C este AC = 3√2 cm.
  44. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.
  45. √3/3 — Proiecția lui A′C pe (ABB′) este A′B (CB ⟂ (ABB′)). Triunghiul A′BC este dreptunghic în B: sin φ = BC/A′C = 9/(9√3) = √3/3.
  46. 90° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 90°.
  47. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  48. 45° — Proiecția lui VB pe (ABC) este AB. În triunghiul VAB (dreptunghic isoscel) unghiul în B este 45°.
  49. 30° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 30°.
  50. 45° — Se proiectează dreapta pe plan și se calculează unghiul dintre dreaptă și proiecția ei; rezultat: 45°.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a