Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Piramida regulată: aria și volumul

Piramida regulată: aria și volumul

Aria laterală, aria totală și volumul piramidei regulate; piramida patrulateră, triunghiulară și tetraedrul regulat.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Formule pentru piramida regulată

Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente cu baza o latură a bazei și înălțimea apotema piramidei.

A_l = P_b · ap / 2   A_t = A_l + A_b   V = A_b · h / 3
VABCDOM

VO – înălțimea, VM – apotema; VM² = VO² + OM²

VABC

Tetraedrul regulat: A_t = a²√3, V = a³√2/12

Exemplul 1. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 10 cm și VO = 12 cm. Calculează aria totală și volumul.
Metoda 1 (cu apotema). OM = 5, VM = 13. A_l = 4·10·13/2 = 260. A_t = 260 + 100 = 360 cm². V = 100·12/3 = 400 cm³.
Metoda 2 (cu aria unei fețe). Aria unei fețe laterale = 10·13/2 = 65; patru fețe: 260; baza 100; total 360. V = A_b·h/3 = 400.
Exemplul 2. Tetraedrul regulat are muchia 6 cm. Calculează aria totală și volumul.
Metoda 1 (cu formulele). A_t = 36√3 cm². V = 6³√2/12 = 216√2/12 = 18√2 cm³.
Metoda 2 (din definiție). Fața: 36√3/4 = 9√3; patru fețe: 36√3. Înălțimea: 6√6/3 = 2√6; V = 9√3·2√6/3 = 6√18 = 18√2.
Exemplul 3. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea 4 cm. Calculează volumul.
Metoda 1 (cu aria bazei). A_b = 36√3/4 = 9√3. V = A_b·h/3 = 9√3·4/3 = 12√3 cm³.
Metoda 2 (cu formula). V = a²h√3/12 = 36·4·√3/12 = 12√3 cm³.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Tetraedrul regulat are muchia 30 cm. Aria totală este (cm²):VABC
    Variante: A) 900√3  ·  B) 900√2  ·  C) 3600√3  ·  D) 450√3  ·  E) 900√6
  2. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 14 cm și apotema 25 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1400  ·  B) 896  ·  C) 350  ·  D) 700  ·  E) 4900
  3. Aria laterală a unei piramide regulate este:VABCDOM
    Variante: A) suma dintre aria bazei și perimetrul bazei  ·  B) produsul dintre perimetrul bazei și înălțime  ·  C) triplul ariei bazei  ·  D) produsul dintre aria bazei și înălțime  ·  E) semiprodusul dintre perimetrul bazei și apotemă
  4. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și apotema 20 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 2496  ·  B) 1536  ·  C) 3264  ·  D) 960  ·  E) 11520
  5. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 20 cm și apotema 26 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 10400  ·  B) 2480  ·  C) 1440  ·  D) 1040  ·  E) 2640
  6. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și înălțimea 16 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 3840  ·  B) 9216  ·  C) 3072  ·  D) 128  ·  E) 4608
  7. Tetraedrul regulat are muchia 6 cm. Aria totală este (cm²):VABC
    Variante: A) 18√3  ·  B) 36√6  ·  C) 144√3  ·  D) 36√3  ·  E) 36√2
  8. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și apotema 5 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 180  ·  B) 156  ·  C) 96  ·  D) 204  ·  E) 60
  9. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 40 cm și apotema 29 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 46400  ·  B) 6240  ·  C) 3920  ·  D) 8720  ·  E) 2320
  10. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 14 cm și apotema 25 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 700  ·  B) 4900  ·  C) 896  ·  D) 1484  ·  E) 1596
  11. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 40 cm și apotema 29 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 2320  ·  B) 4640  ·  C) 3920  ·  D) 46400  ·  E) 1160
  12. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 18 cm și apotema 15 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 864  ·  B) 4860  ·  C) 270  ·  D) 1080  ·  E) 540
  13. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 16 cm și apotema 4 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 32  ·  B) 48  ·  C) 96  ·  D) 192  ·  E) 64
  14. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 18 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 1944  ·  B) 3888  ·  C) 1620  ·  D) 1296  ·  E) 72
  15. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 30 cm și apotema 25 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 22500  ·  B) 2400  ·  C) 750  ·  D) 3000  ·  E) 1500
  16. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 6 cm și apotema 12 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 54  ·  B) 72  ·  C) 108  ·  D) 216  ·  E) 36
  17. Tetraedrul regulat are muchia 18 cm. Aria totală este (cm²):VABC
    Variante: A) 162√3  ·  B) 324√6  ·  C) 324√3  ·  D) 324√2  ·  E) 1296√3
  18. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 20 cm și înălțimea 24 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 4800  ·  B) 10400/3  ·  C) 9600  ·  D) 160  ·  E) 3200
  19. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 14 cm și apotema 11 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 231  ·  B) 462  ·  C) 154  ·  D) 77  ·  E) 231/2
  20. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și apotema 10 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 60  ·  B) 10  ·  C) 20  ·  D) 30  ·  E) 15
  21. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 4 cm și apotema 4 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 8  ·  B) 48  ·  C) 24  ·  D) 12  ·  E) 16
  22. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 10 cm și apotema 13 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 360  ·  B) 260  ·  C) 660  ·  D) 620  ·  E) 1300
  23. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și înălțimea 8 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 576  ·  B) 384  ·  C) 1152  ·  D) 32  ·  E) 480
  24. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 4 cm și apotema 12 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 24  ·  B) 72  ·  C) 48  ·  D) 144  ·  E) 36
  25. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 10 cm și apotema 13 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 520  ·  B) 130  ·  C) 1300  ·  D) 260  ·  E) 360
  26. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și apotema 17 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 800  ·  B) 272  ·  C) 544  ·  D) 1088  ·  E) 4352
  27. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 20 cm și apotema 26 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1440  ·  B) 10400  ·  C) 520  ·  D) 1040  ·  E) 2080
  28. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 4 cm și apotema 11 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 22  ·  B) 33  ·  C) 66  ·  D) 44  ·  E) 132
  29. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și apotema 10 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 240  ·  B) 816  ·  C) 384  ·  D) 1440  ·  E) 624
  30. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și apotema 19 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 190  ·  B) 570  ·  C) 285/2  ·  D) 95  ·  E) 285
  31. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și înălțimea 15 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 1280  ·  B) 1920  ·  C) 3840  ·  D) 80  ·  E) 4352/3
  32. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 1300/3  ·  B) 40  ·  C) 400  ·  D) 1200  ·  E) 600
  33. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și apotema 17 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 544  ·  B) 1568  ·  C) 800  ·  D) 1344  ·  E) 4352
  34. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și apotema 10 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 240  ·  B) 384  ·  C) 480  ·  D) 120  ·  E) 1440
  35. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 30 cm și apotema 25 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 5100  ·  B) 3900  ·  C) 22500  ·  D) 1500  ·  E) 2400
  36. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și apotema 4 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 4  ·  B) 24  ·  C) 6  ·  D) 12  ·  E) 8
  37. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 6 cm și apotema 14 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 63  ·  B) 126  ·  C) 252  ·  D) 42  ·  E) 84
  38. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea 4 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 48  ·  B) 8  ·  C) 144  ·  D) 72  ·  E) 60
  39. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și apotema 20 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 300  ·  B) 150  ·  C) 200  ·  D) 600  ·  E) 100
  40. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 18 cm și apotema 15 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1404  ·  B) 1836  ·  C) 864  ·  D) 540  ·  E) 4860
  41. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și apotema 20 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 960  ·  B) 1536  ·  C) 1920  ·  D) 480  ·  E) 11520
  42. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 16 cm și apotema 20 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 240  ·  B) 160  ·  C) 480  ·  D) 320  ·  E) 960
  43. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și apotema 3 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 3  ·  B) 6  ·  C) 9  ·  D) 9/2  ·  E) 18
  44. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și apotema 10 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 50  ·  B) 300  ·  C) 100  ·  D) 150  ·  E) 75
  45. Tetraedrul regulat are muchia 24 cm. Aria totală este (cm²):VABC
    Variante: A) 576√3  ·  B) 2304√3  ·  C) 576√2  ·  D) 288√3  ·  E) 576√6
  46. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 30 cm și înălțimea 20 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 18000  ·  B) 6000  ·  C) 9000  ·  D) 7500  ·  E) 200
  47. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și apotema 5 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 96  ·  B) 120  ·  C) 30  ·  D) 60  ·  E) 180
  48. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 8 cm și apotema 9 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 108  ·  B) 36  ·  C) 72  ·  D) 54  ·  E) 216
  49. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 12 cm și apotema 18 cm. Aria laterală este (cm²):VABC
    Variante: A) 324  ·  B) 108  ·  C) 216  ·  D) 648  ·  E) 162
  50. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 14 cm și înălțimea 24 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 4900/3  ·  B) 1568  ·  C) 4704  ·  D) 2352  ·  E) 112
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 900√3 — Are 4 fețe echilaterale de arie a²√3/4: A_t = a²√3 = 900√3 cm².
  2. 700 — A_l = P_b·ap/2 = 4·14·25/2 = 700 cm².
  3. semiprodusul dintre perimetrul bazei și apotemă — A_l = P_b·ap/2: fiecare față laterală are aria latură·ap/2.
  4. 1536 — A_t = A_b + A_l = 576 + 960 = 1536 cm².
  5. 1440 — A_t = A_b + A_l = 400 + 1040 = 1440 cm².
  6. 3072 — V = A_b·h/3 = 576·16/3 = 3072 cm³.
  7. 36√3 — Are 4 fețe echilaterale de arie a²√3/4: A_t = a²√3 = 36√3 cm².
  8. 96 — A_t = A_b + A_l = 36 + 60 = 96 cm².
  9. 3920 — A_t = A_b + A_l = 1600 + 2320 = 3920 cm².
  10. 896 — A_t = A_b + A_l = 196 + 700 = 896 cm².
  11. 2320 — A_l = P_b·ap/2 = 4·40·29/2 = 2320 cm².
  12. 540 — A_l = P_b·ap/2 = 4·18·15/2 = 540 cm².
  13. 96 — A_l = P_b·ap/2 = 3·16·4/2 = 96 cm².
  14. 1296 — V = A_b·h/3 = 324·12/3 = 1296 cm³.
  15. 1500 — A_l = P_b·ap/2 = 4·30·25/2 = 1500 cm².
  16. 108 — A_l = P_b·ap/2 = 3·6·12/2 = 108 cm².
  17. 324√3 — Are 4 fețe echilaterale de arie a²√3/4: A_t = a²√3 = 324√3 cm².
  18. 3200 — V = A_b·h/3 = 400·24/3 = 3200 cm³.
  19. 231 — A_l = P_b·ap/2 = 3·14·11/2 = 231 cm².
  20. 30 — A_l = P_b·ap/2 = 3·2·10/2 = 30 cm².
  21. 24 — A_l = P_b·ap/2 = 3·4·4/2 = 24 cm².
  22. 360 — A_t = A_b + A_l = 100 + 260 = 360 cm².
  23. 384 — V = A_b·h/3 = 144·8/3 = 384 cm³.
  24. 72 — A_l = P_b·ap/2 = 3·4·12/2 = 72 cm².
  25. 260 — A_l = P_b·ap/2 = 4·10·13/2 = 260 cm².
  26. 544 — A_l = P_b·ap/2 = 4·16·17/2 = 544 cm².
  27. 1040 — A_l = P_b·ap/2 = 4·20·26/2 = 1040 cm².
  28. 66 — A_l = P_b·ap/2 = 3·4·11/2 = 66 cm².
  29. 384 — A_t = A_b + A_l = 144 + 240 = 384 cm².
  30. 285 — A_l = P_b·ap/2 = 3·10·19/2 = 285 cm².
  31. 1280 — V = A_b·h/3 = 256·15/3 = 1280 cm³.
  32. 400 — V = A_b·h/3 = 100·12/3 = 400 cm³.
  33. 800 — A_t = A_b + A_l = 256 + 544 = 800 cm².
  34. 240 — A_l = P_b·ap/2 = 4·12·10/2 = 240 cm².
  35. 2400 — A_t = A_b + A_l = 900 + 1500 = 2400 cm².
  36. 12 — A_l = P_b·ap/2 = 3·2·4/2 = 12 cm².
  37. 126 — A_l = P_b·ap/2 = 3·6·14/2 = 126 cm².
  38. 48 — V = A_b·h/3 = 36·4/3 = 48 cm³.
  39. 300 — A_l = P_b·ap/2 = 3·10·20/2 = 300 cm².
  40. 864 — A_t = A_b + A_l = 324 + 540 = 864 cm².
  41. 960 — A_l = P_b·ap/2 = 4·24·20/2 = 960 cm².
  42. 480 — A_l = P_b·ap/2 = 3·16·20/2 = 480 cm².
  43. 9 — A_l = P_b·ap/2 = 3·2·3/2 = 9 cm².
  44. 150 — A_l = P_b·ap/2 = 3·10·10/2 = 150 cm².
  45. 576√3 — Are 4 fețe echilaterale de arie a²√3/4: A_t = a²√3 = 576√3 cm².
  46. 6000 — V = A_b·h/3 = 900·20/3 = 6000 cm³.
  47. 60 — A_l = P_b·ap/2 = 4·6·5/2 = 60 cm².
  48. 108 — A_l = P_b·ap/2 = 3·8·9/2 = 108 cm².
  49. 324 — A_l = P_b·ap/2 = 3·12·18/2 = 324 cm².
  50. 1568 — V = A_b·h/3 = 196·24/3 = 1568 cm³.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Tetraedrul regulat are muchia 18 cm. Volumul său este (cm³):VABC
    Variante: A) 2916  ·  B) 486√2  ·  C) 972√2  ·  D) 486√3  ·  E) 1458√2
  2. Tetraedrul regulat are aria totală 324√3 cm². Latura muchiei este (cm):
    Variante: A) 324  ·  B) 36  ·  C) 18  ·  D) 19  ·  E) 9
  3. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 18 cm și apotema 15 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 3888  ·  B) 1296  ·  C) 1944  ·  D) 1620  ·  E) 72
  4. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 6 cm și înălțimea 4 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 96  ·  B) 84  ·  C) 60  ·  D) 156  ·  E) 66
  5. Piramida patrulateră regulată are aria laterală 240 cm² și latura bazei 12 cm. Apotema este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 12  ·  B) 10  ·  C) 11  ·  D) 9  ·  E) 20
  6. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 10 cm și apotema 13 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 400  ·  B) 40  ·  C) 1300/3  ·  D) 600  ·  E) 1200
  7. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și volumul 1280 cm³. Înălțimea este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 16  ·  B) 17  ·  C) 15  ·  D) 8  ·  E) 14
  8. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 40 cm și apotema 29 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 33600  ·  B) 46400/3  ·  C) 16800  ·  D) 280  ·  E) 11200
  9. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile egale cu 8 cm. Aria totală este (cm²):VABCD
    Variante: A) 64√3  ·  B) 128 + 64√3  ·  C) 256√3  ·  D) 64 + 32√3  ·  E) 64 + 64√3
  10. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și volumul 3072 cm³. Înălțimea este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 15  ·  B) 20  ·  C) 16  ·  D) 17  ·  E) 12
  11. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 30 cm și înălțimea 20 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 2400  ·  B) 1500  ·  C) 3900  ·  D) 2100  ·  E) 1650
  12. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 14 cm și apotema 25 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 4704  ·  B) 112  ·  C) 4900/3  ·  D) 1568  ·  E) 2352
  13. Tetraedrul regulat are aria totală 576√3 cm². Latura muchiei este (cm):
    Variante: A) 48  ·  B) 12  ·  C) 24  ·  D) 576  ·  E) 25
  14. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 9 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 300√3  ·  B) 75√3  ·  C) 225√3  ·  D) 75√2  ·  E) 150√3
  15. Tetraedrul regulat are muchia 24 cm. Volumul său este (cm³):VABC
    Variante: A) 3456√2  ·  B) 2304√2  ·  C) 1152√2  ·  D) 1152√3  ·  E) 6912
  16. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și volumul 384 cm³. Înălțimea este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 7  ·  B) 6  ·  C) 9  ·  D) 10  ·  E) 8
  17. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 3 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 50√3  ·  B) 25√3  ·  C) 75√3  ·  D) 25√2  ·  E) 100√3
  18. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 8 cm și înălțimea 8 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 128√3/3  ·  B) 128√3  ·  C) 128√2/3  ·  D) 512√3/3  ·  E) 256√3/3
  19. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 8 cm și înălțimea 2 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 32√2/3  ·  B) 128√3/3  ·  C) 32√3/3  ·  D) 32√3  ·  E) 64√3/3
  20. Piramida patrulateră regulată are aria laterală 1040 cm² și latura bazei 20 cm. Apotema este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 20  ·  B) 52  ·  C) 26  ·  D) 27  ·  E) 25
  21. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 8 cm și înălțimea 5 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 80√2/3  ·  B) 160√3/3  ·  C) 80√3  ·  D) 80√3/3  ·  E) 320√3/3
  22. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 4√2  ·  B) 16√3  ·  C) 12√3  ·  D) 4√3  ·  E) 8√3
  23. Piramida patrulateră regulată are aria laterală 960 cm² și latura bazei 24 cm. Apotema este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 20  ·  B) 19  ·  C) 24  ·  D) 21  ·  E) 40
  24. Tetraedrul regulat are aria totală 144√3 cm². Latura muchiei este (cm):
    Variante: A) 12  ·  B) 144  ·  C) 6  ·  D) 24  ·  E) 13
  25. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și înălțimea 3 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) √2  ·  B) 3√3  ·  C) √3  ·  D) 4√3  ·  E) 2√3
  26. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 5 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 125√3/3  ·  B) 500√3/3  ·  C) 125√3  ·  D) 250√3/3  ·  E) 125√2/3
  27. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 16 cm și înălțimea 15 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 736  ·  B) 528  ·  C) 1344  ·  D) 544  ·  E) 800
  28. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 14 cm și înălțimea 24 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 868  ·  B) 896  ·  C) 546  ·  D) 1596  ·  E) 700
  29. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 4 cm și înălțimea 8 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 32√2/3  ·  B) 32√3  ·  C) 128√3/3  ·  D) 64√3/3  ·  E) 32√3/3
  30. Tetraedrul regulat are muchia 6 cm. Volumul său este (cm³):VABC
    Variante: A) 18√3  ·  B) 108  ·  C) 54√2  ·  D) 36√2  ·  E) 18√2
  31. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 40 cm și înălțimea 21 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 3280  ·  B) 6240  ·  C) 3920  ·  D) 2320  ·  E) 2760
  32. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 6 cm și apotema 5 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 72  ·  B) 60  ·  C) 8  ·  D) 144  ·  E) 48
  33. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 12 cm și apotema 10 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 384  ·  B) 32  ·  C) 576  ·  D) 480  ·  E) 1152
  34. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 12 cm și înălțimea 8 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 624  ·  B) 384  ·  C) 240  ·  D) 264  ·  E) 336
  35. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 16 cm și apotema 17 cm. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 1920  ·  B) 4352/3  ·  C) 80  ·  D) 3840  ·  E) 1280
  36. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și înălțimea 5 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 5√3/3  ·  B) 5√3  ·  C) 10√3/3  ·  D) 5√2/3  ·  E) 20√3/3
  37. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 4 cm și înălțimea 7 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 56√3/3  ·  B) 28√2/3  ·  C) 28√3  ·  D) 28√3/3  ·  E) 112√3/3
  38. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 12 cm și înălțimea 7 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 168√3  ·  B) 336√3  ·  C) 84√3  ·  D) 252√3  ·  E) 84√2
  39. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 300√3  ·  B) 100√3  ·  C) 400√3  ·  D) 200√3  ·  E) 100√2
  40. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 12 cm și înălțimea 10 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 120√2  ·  B) 240√3  ·  C) 120√3  ·  D) 360√3  ·  E) 480√3
  41. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei 18 cm și înălțimea 12 cm. Aria totală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 864  ·  B) 540  ·  C) 1404  ·  D) 756  ·  E) 594
  42. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile egale cu 6 cm. Aria totală este (cm²):VABCD
    Variante: A) 36 + 36√3  ·  B) 36√3  ·  C) 144√3  ·  D) 36 + 18√3  ·  E) 72 + 36√3
  43. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile egale cu 4 cm. Aria totală este (cm²):VABCD
    Variante: A) 32 + 16√3  ·  B) 16 + 8√3  ·  C) 64√3  ·  D) 16√3  ·  E) 16 + 16√3
  44. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 30 cm și volumul 6000 cm³. Înălțimea este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 20  ·  B) 15  ·  C) 21  ·  D) 25  ·  E) 19
  45. Piramida patrulateră regulată are aria laterală 260 cm² și latura bazei 10 cm. Apotema este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 12  ·  B) 14  ·  C) 13  ·  D) 10  ·  E) 26
  46. Piramida patrulateră regulată are aria laterală 2320 cm² și latura bazei 40 cm. Apotema este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 58  ·  B) 29  ·  C) 40  ·  D) 30  ·  E) 28
  47. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 4 cm și înălțimea 4 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 16√3  ·  B) 16√2/3  ·  C) 64√3/3  ·  D) 16√3/3  ·  E) 32√3/3
  48. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 11 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 275√3  ·  B) 1100√3/3  ·  C) 550√3/3  ·  D) 275√3/3  ·  E) 275√2/3
  49. Piramida patrulateră regulată are aria laterală 1500 cm² și latura bazei 30 cm. Apotema este (cm):VABCDOM
    Variante: A) 24  ·  B) 30  ·  C) 25  ·  D) 26  ·  E) 50
  50. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 2 cm și înălțimea 11 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 11√3  ·  B) 11√2/3  ·  C) 44√3/3  ·  D) 11√3/3  ·  E) 22√3/3
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 486√2 — V = a³√2/12 = 18³√2/12 = 486√2 cm³ (înălțime a√6/3, baza a²√3/4).
  2. 18 — A_t = a²√3 ⇒ a² = 324 ⇒ a = 18 cm.
  3. 1296 — Înălțimea: VO² = 15² − 9² = 144 ⇒ VO = 12. V = 324·12/3 = 1296 cm³.
  4. 96 — Apotema: VM² = 4² + 3² = 25 ⇒ VM = 5. A_t = 36 + 2·6·5 = 96 cm².
  5. 10 — A_l = 2·a·ap ⇒ ap = 240/(2·12) = 10 cm.
  6. 400 — Înălțimea: VO² = 13² − 5² = 144 ⇒ VO = 12. V = 100·12/3 = 400 cm³.
  7. 15 — V = a²h/3 ⇒ h = 3V/a² = 3·1280/256 = 15 cm.
  8. 11200 — Înălțimea: VO² = 29² − 20² = 441 ⇒ VO = 21. V = 1600·21/3 = 11200 cm³.
  9. 64 + 64√3 — Baza: 8² = 64; fiecare față laterală e triunghi echilateral cu aria 8²√3/4 = 16√3, deci A_l = 4·16√3 = 64√3. A_t = 64 + 64√3.
  10. 16 — V = a²h/3 ⇒ h = 3V/a² = 3·3072/576 = 16 cm.
  11. 2400 — Apotema: VM² = 20² + 15² = 625 ⇒ VM = 25. A_t = 900 + 2·30·25 = 2400 cm².
  12. 1568 — Înălțimea: VO² = 25² − 7² = 576 ⇒ VO = 24. V = 196·24/3 = 1568 cm³.
  13. 24 — A_t = a²√3 ⇒ a² = 576 ⇒ a = 24 cm.
  14. 75√3 — A_b = 10²√3/4 = 25√3; V = A_b·h/3 = 75√3 cm³.
  15. 1152√2 — V = a³√2/12 = 24³√2/12 = 1152√2 cm³ (înălțime a√6/3, baza a²√3/4).
  16. 8 — V = a²h/3 ⇒ h = 3V/a² = 3·384/144 = 8 cm.
  17. 25√3 — A_b = 10²√3/4 = 25√3; V = A_b·h/3 = 25√3 cm³.
  18. 128√3/3 — A_b = 8²√3/4 = 16√3; V = A_b·h/3 = 128√3/3 cm³.
  19. 32√3/3 — A_b = 8²√3/4 = 16√3; V = A_b·h/3 = 32√3/3 cm³.
  20. 26 — A_l = 2·a·ap ⇒ ap = 1040/(2·20) = 26 cm.
  21. 80√3/3 — A_b = 8²√3/4 = 16√3; V = A_b·h/3 = 80√3/3 cm³.
  22. 4√3 — A_b = 2²√3/4 = √3; V = A_b·h/3 = 4√3 cm³.
  23. 20 — A_l = 2·a·ap ⇒ ap = 960/(2·24) = 20 cm.
  24. 12 — A_t = a²√3 ⇒ a² = 144 ⇒ a = 12 cm.
  25. √3 — A_b = 2²√3/4 = √3; V = A_b·h/3 = √3 cm³.
  26. 125√3/3 — A_b = 10²√3/4 = 25√3; V = A_b·h/3 = 125√3/3 cm³.
  27. 800 — Apotema: VM² = 15² + 8² = 289 ⇒ VM = 17. A_t = 256 + 2·16·17 = 800 cm².
  28. 896 — Apotema: VM² = 24² + 7² = 625 ⇒ VM = 25. A_t = 196 + 2·14·25 = 896 cm².
  29. 32√3/3 — A_b = 4²√3/4 = 4√3; V = A_b·h/3 = 32√3/3 cm³.
  30. 18√2 — V = a³√2/12 = 6³√2/12 = 18√2 cm³ (înălțime a√6/3, baza a²√3/4).
  31. 3920 — Apotema: VM² = 21² + 20² = 841 ⇒ VM = 29. A_t = 1600 + 2·40·29 = 3920 cm².
  32. 48 — Înălțimea: VO² = 5² − 3² = 16 ⇒ VO = 4. V = 36·4/3 = 48 cm³.
  33. 384 — Înălțimea: VO² = 10² − 6² = 64 ⇒ VO = 8. V = 144·8/3 = 384 cm³.
  34. 384 — Apotema: VM² = 8² + 6² = 100 ⇒ VM = 10. A_t = 144 + 2·12·10 = 384 cm².
  35. 1280 — Înălțimea: VO² = 17² − 8² = 225 ⇒ VO = 15. V = 256·15/3 = 1280 cm³.
  36. 5√3/3 — A_b = 2²√3/4 = √3; V = A_b·h/3 = 5√3/3 cm³.
  37. 28√3/3 — A_b = 4²√3/4 = 4√3; V = A_b·h/3 = 28√3/3 cm³.
  38. 84√3 — A_b = 12²√3/4 = 36√3; V = A_b·h/3 = 84√3 cm³.
  39. 100√3 — A_b = 10²√3/4 = 25√3; V = A_b·h/3 = 100√3 cm³.
  40. 120√3 — A_b = 12²√3/4 = 36√3; V = A_b·h/3 = 120√3 cm³.
  41. 864 — Apotema: VM² = 12² + 9² = 225 ⇒ VM = 15. A_t = 324 + 2·18·15 = 864 cm².
  42. 36 + 36√3 — Baza: 6² = 36; fiecare față laterală e triunghi echilateral cu aria 6²√3/4 = 9√3, deci A_l = 4·9√3 = 36√3. A_t = 36 + 36√3.
  43. 16 + 16√3 — Baza: 4² = 16; fiecare față laterală e triunghi echilateral cu aria 4²√3/4 = 4√3, deci A_l = 4·4√3 = 16√3. A_t = 16 + 16√3.
  44. 20 — V = a²h/3 ⇒ h = 3V/a² = 3·6000/900 = 20 cm.
  45. 13 — A_l = 2·a·ap ⇒ ap = 260/(2·10) = 13 cm.
  46. 29 — A_l = 2·a·ap ⇒ ap = 2320/(2·40) = 29 cm.
  47. 16√3/3 — A_b = 4²√3/4 = 4√3; V = A_b·h/3 = 16√3/3 cm³.
  48. 275√3/3 — A_b = 10²√3/4 = 25√3; V = A_b·h/3 = 275√3/3 cm³.
  49. 25 — A_l = 2·a·ap ⇒ ap = 1500/(2·30) = 25 cm.
  50. 11√3/3 — A_b = 2²√3/4 = √3; V = A_b·h/3 = 11√3/3 cm³.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 40 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 16000  ·  B) 16000/3  ·  C) 32000  ·  D) 32000/3  ·  E) 64000/3
  2. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 72  ·  B) 54  ·  C) 36  ·  D) 18  ·  E) 108
  3. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 18 cm și muchiile laterale de 18 cm (tetraedru regulat). Înălțimea este (cm):VABC
    Variante: A) 6√3  ·  B) 6√6  ·  C) 9√2  ·  D) 3√6  ·  E) 18√6
  4. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm, iar fețele laterale formează cu baza unghiuri de 60°. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 72  ·  B) 576  ·  C) 432  ·  D) 144  ·  E) 288
  5. Tetraedrul regulat are muchia 6 cm. Raportul dintre volumul său și cubul muchiei este:VABC
    Variante: A) √3/12  ·  B) √2/3  ·  C) √2/6  ·  D) √2/12  ·  E) √2/4
  6. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 30 cm și muchiile laterale de 30 cm (tetraedru regulat). Înălțimea este (cm):VABC
    Variante: A) 15√2  ·  B) 5√6  ·  C) 10√3  ·  D) 10√6  ·  E) 30√6
  7. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 40 cm și muchia laterală √1241 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 4640  ·  B) 3920  ·  C) 2320  ·  D) 1160  ·  E) 1680
  8. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm, iar fețele laterale formează cu baza unghiuri de 60°. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1728  ·  B) 576  ·  C) 288  ·  D) 2304  ·  E) 1152
  9. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 6 cm, iar fețele laterale formează cu baza unghiuri de 60°. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 72  ·  B) 36  ·  C) 108  ·  D) 144  ·  E) 18
  10. Piramida patrulateră regulată are volumul 1296 cm³ și aria bazei 324 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 864  ·  B) 1080  ·  C) 270  ·  D) 4860  ·  E) 540
  11. Piramida patrulateră regulată are volumul 11200 cm³ și aria bazei 1600 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 3920  ·  B) 2320  ·  C) 4640  ·  D) 1160  ·  E) 46400
  12. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 12 cm și muchiile laterale de 12 cm (tetraedru regulat). Înălțimea este (cm):VABC
    Variante: A) 2√6  ·  B) 6√2  ·  C) 12√6  ·  D) 4√6  ·  E) 4√3
  13. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 40 cm și înălțimea 21 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 2  ·  B) 8  ·  C) 9  ·  D) 6  ·  E) 4
  14. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 10 cm și muchia laterală √194 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 260  ·  B) 360  ·  C) 240  ·  D) 520  ·  E) 130
  15. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 18 cm și muchia laterală 3√34 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 864  ·  B) 540  ·  C) 1080  ·  D) 432  ·  E) 270
  16. Tetraedrul regulat are muchia 12 cm. Raportul dintre volumul său și cubul muchiei este:VABC
    Variante: A) √2/6  ·  B) √2/4  ·  C) √2/3  ·  D) √2/12  ·  E) √3/12
  17. Tetraedrul regulat are muchia 18 cm. Raportul dintre volumul său și cubul muchiei este:VABC
    Variante: A) √2/4  ·  B) √2/6  ·  C) √3/12  ·  D) √2/3  ·  E) √2/12
  18. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 10 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 500/3  ·  B) 500  ·  C) 250  ·  D) 250/3  ·  E) 1000/3
  19. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 14 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 2744/3  ·  B) 686/3  ·  C) 686  ·  D) 1372/3  ·  E) 1372
  20. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și muchia laterală 2√34 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 120  ·  B) 480  ·  C) 240  ·  D) 384  ·  E) 192
  21. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 14 cm și înălțimea 24 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 6  ·  B) 8  ·  C) 4  ·  D) 2  ·  E) 9
  22. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 20 cm și înălțimea 24 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 2  ·  B) 4  ·  C) 6  ·  D) 9  ·  E) 8
  23. Piramida patrulateră regulată are volumul 48 cm³ și aria bazei 36 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 30  ·  B) 60  ·  C) 180  ·  D) 120  ·  E) 96
  24. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 6 cm și muchiile laterale de 6 cm (tetraedru regulat). Înălțimea este (cm):VABC
    Variante: A) 2√6  ·  B) √6  ·  C) 3√2  ·  D) 6√6  ·  E) 2√3
  25. Piramida patrulateră regulată are volumul 6000 cm³ și aria bazei 900 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 750  ·  B) 22500  ·  C) 1500  ·  D) 2400  ·  E) 3000
  26. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 20 cm și muchia laterală 2√194 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 960  ·  B) 1040  ·  C) 520  ·  D) 1440  ·  E) 2080
  27. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și muchia laterală 4√34 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1536  ·  B) 960  ·  C) 1920  ·  D) 480  ·  E) 768
  28. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și înălțimea 15 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 2  ·  B) 4  ·  C) 6  ·  D) 8  ·  E) 9
  29. Piramida patrulateră regulată are volumul 400 cm³ și aria bazei 100 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 520  ·  B) 130  ·  C) 360  ·  D) 1300  ·  E) 260
  30. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și muchia laterală √353 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 480  ·  B) 1088  ·  C) 272  ·  D) 800  ·  E) 544
  31. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 3456  ·  B) 6912  ·  C) 4608  ·  D) 1152  ·  E) 2304
  32. Piramida patrulateră regulată are volumul 3200 cm³ și aria bazei 400 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1040  ·  B) 520  ·  C) 10400  ·  D) 2080  ·  E) 1440
  33. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei 24 cm și muchiile laterale de 24 cm (tetraedru regulat). Înălțimea este (cm):VABC
    Variante: A) 4√6  ·  B) 8√3  ·  C) 24√6  ·  D) 8√6  ·  E) 12√2
  34. Piramida patrulateră regulată are volumul 1568 cm³ și aria bazei 196 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1400  ·  B) 350  ·  C) 896  ·  D) 700  ·  E) 4900
  35. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 10 cm și înălțimea 12 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 8  ·  B) 6  ·  C) 4  ·  D) 2  ·  E) 9
  36. Tetraedrul regulat are muchia 24 cm. Raportul dintre volumul său și cubul muchiei este:VABC
    Variante: A) √2/4  ·  B) √2/6  ·  C) √2/3  ·  D) √3/12  ·  E) √2/12
  37. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 14 cm și muchia laterală √674 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 1400  ·  B) 896  ·  C) 672  ·  D) 700  ·  E) 350
  38. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 18 cm, iar fețele laterale formează cu baza unghiuri de 60°. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 162  ·  B) 648  ·  C) 324  ·  D) 972  ·  E) 1296
  39. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 864  ·  B) 432  ·  C) 576  ·  D) 144  ·  E) 288
  40. Piramida patrulateră regulată are volumul 1280 cm³ și aria bazei 256 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 800  ·  B) 1088  ·  C) 4352  ·  D) 272  ·  E) 544
  41. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea 4 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 9  ·  B) 4  ·  C) 8  ·  D) 6  ·  E) 2
  42. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 16 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 1024/3  ·  B) 1024  ·  C) 2048  ·  D) 4096/3  ·  E) 2048/3
  43. Piramida patrulateră regulată are volumul 3072 cm³ și aria bazei 576 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 960  ·  B) 11520  ·  C) 480  ·  D) 1920  ·  E) 1536
  44. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 18 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 972  ·  B) 1458  ·  C) 486  ·  D) 1944  ·  E) 2916
  45. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 20 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 2000/3  ·  B) 8000/3  ·  C) 2000  ·  D) 4000/3  ·  E) 4000
  46. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 30 cm și fețele laterale înclinate cu 45° față de bază. Volumul este (cm³):VABCDOM
    Variante: A) 2250  ·  B) 13500  ·  C) 4500  ·  D) 6750  ·  E) 9000
  47. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și înălțimea 8 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 6  ·  B) 2  ·  C) 4  ·  D) 9  ·  E) 8
  48. Piramida patrulateră regulată are volumul 384 cm³ și aria bazei 144 cm². Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 120  ·  B) 1440  ·  C) 384  ·  D) 480  ·  E) 240
  49. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 24 cm și înălțimea 16 cm. Dacă toate dimensiunile liniare se înmulțesc cu 2, volumul se înmulțește cu:
    Variante: A) 6  ·  B) 4  ·  C) 8  ·  D) 2  ·  E) 9
  50. Piramida patrulateră regulată are latura bazei 30 cm și muchia laterală 5√34 cm. Aria laterală este (cm²):VABCDOM
    Variante: A) 750  ·  B) 2400  ·  C) 1500  ·  D) 3000  ·  E) 1200
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 32000/3 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 20. V = 40²·20/3 = 32000/3 cm³.
  2. 36 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 3. V = 6²·3/3 = 36 cm³.
  3. 6√6 — h = a√6/3 = 18√6/3 = 6√6 cm.
  4. 288 — OM = 6; cos 60° = OM/VM ⇒ VM = 12 cm. A_l = 2·a·ap = 2·12·12 = 288 cm².
  5. √2/12 — V = a³√2/12, deci V/a³ = √2/12.
  6. 10√6 — h = a√6/3 = 30√6/3 = 10√6 cm.
  7. 2320 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 20): VM² = VA² − AM² = 1241 − 400 = 841 ⇒ ap = 29. A_l = 2·40·29 = 2320 cm².
  8. 1152 — OM = 12; cos 60° = OM/VM ⇒ VM = 24 cm. A_l = 2·a·ap = 2·24·24 = 1152 cm².
  9. 72 — OM = 3; cos 60° = OM/VM ⇒ VM = 6 cm. A_l = 2·a·ap = 2·6·6 = 72 cm².
  10. 540 — h = 3V/A_b = 12; ap = √(12² + 9²) = 15; A_l = 2·18·15 = 540 cm².
  11. 2320 — h = 3V/A_b = 21; ap = √(21² + 20²) = 29; A_l = 2·40·29 = 2320 cm².
  12. 4√6 — h = a√6/3 = 12√6/3 = 4√6 cm.
  13. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  14. 260 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 5): VM² = VA² − AM² = 194 − 25 = 169 ⇒ ap = 13. A_l = 2·10·13 = 260 cm².
  15. 540 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 9): VM² = VA² − AM² = 306 − 81 = 225 ⇒ ap = 15. A_l = 2·18·15 = 540 cm².
  16. √2/12 — V = a³√2/12, deci V/a³ = √2/12.
  17. √2/12 — V = a³√2/12, deci V/a³ = √2/12.
  18. 500/3 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 5. V = 10²·5/3 = 500/3 cm³.
  19. 1372/3 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 7. V = 14²·7/3 = 1372/3 cm³.
  20. 240 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 6): VM² = VA² − AM² = 136 − 36 = 100 ⇒ ap = 10. A_l = 2·12·10 = 240 cm².
  21. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  22. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  23. 60 — h = 3V/A_b = 4; ap = √(4² + 3²) = 5; A_l = 2·6·5 = 60 cm².
  24. 2√6 — h = a√6/3 = 6√6/3 = 2√6 cm.
  25. 1500 — h = 3V/A_b = 20; ap = √(20² + 15²) = 25; A_l = 2·30·25 = 1500 cm².
  26. 1040 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 10): VM² = VA² − AM² = 776 − 100 = 676 ⇒ ap = 26. A_l = 2·20·26 = 1040 cm².
  27. 960 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 12): VM² = VA² − AM² = 544 − 144 = 400 ⇒ ap = 20. A_l = 2·24·20 = 960 cm².
  28. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  29. 260 — h = 3V/A_b = 12; ap = √(12² + 5²) = 13; A_l = 2·10·13 = 260 cm².
  30. 544 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 8): VM² = VA² − AM² = 353 − 64 = 289 ⇒ ap = 17. A_l = 2·16·17 = 544 cm².
  31. 2304 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 12. V = 24²·12/3 = 2304 cm³.
  32. 1040 — h = 3V/A_b = 24; ap = √(24² + 10²) = 26; A_l = 2·20·26 = 1040 cm².
  33. 8√6 — h = a√6/3 = 24√6/3 = 8√6 cm.
  34. 700 — h = 3V/A_b = 24; ap = √(24² + 7²) = 25; A_l = 2·14·25 = 700 cm².
  35. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  36. √2/12 — V = a³√2/12, deci V/a³ = √2/12.
  37. 700 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 7): VM² = VA² − AM² = 674 − 49 = 625 ⇒ ap = 25. A_l = 2·14·25 = 700 cm².
  38. 648 — OM = 9; cos 60° = OM/VM ⇒ VM = 18 cm. A_l = 2·a·ap = 2·18·18 = 648 cm².
  39. 288 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 6. V = 12²·6/3 = 288 cm³.
  40. 544 — h = 3V/A_b = 15; ap = √(15² + 8²) = 17; A_l = 2·16·17 = 544 cm².
  41. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  42. 2048/3 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 8. V = 16²·8/3 = 2048/3 cm³.
  43. 960 — h = 3V/A_b = 16; ap = √(16² + 12²) = 20; A_l = 2·24·20 = 960 cm².
  44. 972 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 9. V = 18²·9/3 = 972 cm³.
  45. 4000/3 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 10. V = 20²·10/3 = 4000/3 cm³.
  46. 4500 — ∠VMO = 45° ⇒ VO = OM = 15. V = 30²·15/3 = 4500 cm³.
  47. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  48. 240 — h = 3V/A_b = 8; ap = √(8² + 6²) = 10; A_l = 2·12·10 = 240 cm².
  49. 8 — Volumul se înmulțește cu raportul de asemănare la puterea a treia: 2³ = 8.
  50. 1500 — Apotema (triunghi dreptunghic VMA, AM = 15): VM² = VA² − AM² = 850 − 225 = 625 ⇒ ap = 25. A_l = 2·30·25 = 1500 cm².

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a