Acasă › Clasa a 8-a › Funcția f: D → ℝ, f(x) = ax + b. Interpretare geometrică. Lecturi grafice

Funcția f: D → ℝ, f(x) = ax + b. Interpretare geometrică. Lecturi grafice

Funcția liniară, graficul ei, intersecția cu axele, funcții crescătoare și descrescătoare, determinarea funcției din două puncte, intersecția a două grafice.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Funcția liniară

O funcție f: D → ℝ, f(x) = ax + b (a, b ∈ ℝ) se numește funcție liniară. Dacă D = ℝ, graficul ei este o dreaptă; dacă D este un interval, graficul este o semidreaptă sau un segment; dacă D este finit, graficul este format din puncte izolate.

graficul lui f(x) = ax + b este dreapta de ecuație y = ax + b
a = panta (cât crește y când x crește cu 1) b = ordonata la origine

Cum construim graficul

Două puncte determină o dreaptă. Alegem două valori ale lui x, calculăm f(x) și unim punctele. Cele mai utile puncte sunt intersecțiile cu axele:

cu axa Oy: x = 0 ⇒ A(0, b)
cu axa Ox: f(x) = 0 ⇒ x = −b/a ⇒ B(−b/a, 0)

Exemplul 1. Construiește graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 4.

Metoda 1 (cu intersecțiile cu axele). f(0) = −4, deci A(0, −4). f(x) = 0 ⇒ x = 2, deci B(2, 0). Unim A și B.

Metoda 2 (cu tabel de valori). x = 0 ⇒ −4; x = 1 ⇒ −2; x = 3 ⇒ 2; punctele (0, −4), (1, −2), (3, 2) sunt coliniare. Le unim.

Graficul lui f(x) = 2x − 4: taie Oy în A(0, −4) și Ox în B(2, 0)

f(x) = 2x + 1 este crescătoare (a = 2 > 0); g(x) = −x + 2 este descrescătoare (a = −1 < 0)

Funcții crescătoare și descrescătoare

a > 0: f crescătoare (graficul „urcă”)
a < 0: f descrescătoare (graficul „coboară”)
a = 0: f constantă (dreaptă orizontală)

Determinarea funcției din două puncte

Exemplul 2. Determină f(x) = ax + b al cărei grafic trece prin A(1, 3) și B(3, 7).

Metoda 1 (cu sistem). 3 = a + b și 7 = 3a + b. Scădem: 4 = 2a ⇒ a = 2, apoi b = 1. f(x) = 2x + 1.

Metoda 2 (cu panta). a = (7 − 3)/(3 − 1) = 2. Din f(1) = 3: 2 + b = 3 ⇒ b = 1.

Intersecția graficelor a două funcții

Punctul comun al graficelor lui f și g are coordonatele (x, y) cu f(x) = g(x). Practic rezolvăm ecuația ax + b = cx + d, apoi aflăm y. Este același lucru cu rezolvarea sistemului y = ax + b, y = cx + d.

Exemplul 3. Află intersecția graficelor funcțiilor f(x) = 2x + 1 și g(x) = −x + 7.

Metoda 1 (prin egalare). 2x + 1 = −x + 7 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2; y = f(2) = 5. Punctul este (2, 5).

Metoda 2 (prin sistem). y = 2x + 1 și y = −x + 7: scădem ecuațiile: 0 = 3x − 6 ⇒ x = 2, y = 5.

Graficele se intersectează în P(2, 5): soluția ecuației f(x) = g(x)

Puncte coliniare, drepte paralele, aria triunghiului

Trei puncte sunt coliniare dacă pantele AB și AC sunt egale.
Graficele a două funcții liniare sunt paralele dacă au aceeași pantă.
Triunghiul format de dreapta y = ax + b cu axele are aria |b|·|b/a|/2.

Exemplul 4. Sunt coliniare A(0, 1), B(1, 3), C(3, 7)?

Metoda 1 (cu pantele). panta AB = (3 − 1)/(1 − 0) = 2; panta AC = (7 − 1)/(3 − 0) = 2. Sunt egale: punctele sunt coliniare.

Metoda 2 (cu funcția). Dreapta AB este y = 2x + 1; pentru x = 3, y = 7 ✓.

Exemplul 5. Care este aria triunghiului format de graficul lui f(x) = −2x + 6 cu axele?

Rezolvare. Cu Oy: (0, 6). Cu Ox: −2x + 6 = 0 ⇒ x = 3, deci (3, 0). Triunghiul are catetele 3 și 6: aria = 3·6/2 = 9.

Greșeli frecvente

Se confundă b (intersecția cu Oy) cu zeroul funcției (intersecția cu Ox).
La −b/a se uită semnul.
Se unesc punctele graficului unei funcții definite pe o mulțime finită (graficul are doar puncte izolate).
Se uită restricția domeniului: dacă D = [0, 3], graficul este doar un segment.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 4 intersectează axa Ox?
Graficele funcțiilor f(x) = x + 1 și g(x) = x + 2 sunt drepte:
Variante: A) paralele · B) perpendiculare · C) concurente în origine · D) confundate · E) care se intersectează într-un punct
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 12 intersectează axa Ox?
Aparține punctul A(-4, −5) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = x − 4?
Graficele funcțiilor f(x) = 4x + 1 și g(x) = 4x + 3 sunt drepte:
Variante: A) confundate · B) concurente în origine · C) perpendiculare · D) paralele · E) care se intersectează într-un punct
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = −x − 2 este:
Variante: A) constantă · B) nu se poate stabili · C) crescătoare și descrescătoare · D) crescătoare · E) descrescătoare
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 12 intersectează axa Ox?
Aparține punctul A(4, −22) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −5x − 2?
Graficele funcțiilor f(x) = 3x + 2 și g(x) = 3x + 4 sunt drepte:
Variante: A) confundate · B) paralele · C) care se intersectează într-un punct · D) perpendiculare · E) concurente în origine
Graficele funcțiilor f(x) = 3x + 2 și g(x) = 3x + 6 sunt drepte:
Variante: A) concurente în origine · B) confundate · C) paralele · D) perpendiculare · E) care se intersectează într-un punct
Graficele funcțiilor f(x) = 4x + 5 și g(x) = 4x + 1 sunt drepte:
Variante: A) care se intersectează într-un punct · B) perpendiculare · C) paralele · D) confundate · E) concurente în origine
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 este:
Variante: A) constantă · B) crescătoare și descrescătoare · C) nu se poate stabili · D) crescătoare · E) descrescătoare
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 2 este:
Variante: A) nu se poate stabili · B) constantă · C) crescătoare · D) crescătoare și descrescătoare · E) descrescătoare
Figura alăturată reprezintă graficul unei funcții f(x) = ax + b. Cât este b?
Graficele funcțiilor f(x) = x + 4 și g(x) = x + 2 sunt drepte:
Variante: A) concurente în origine · B) confundate · C) paralele · D) care se intersectează într-un punct · E) perpendiculare
Aparține punctul A(-4, 7) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −x + 3?
Aparține punctul A(0, 0) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −3x?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = −5x + 6 este:
Variante: A) crescătoare · B) nu se poate stabili · C) descrescătoare · D) crescătoare și descrescătoare · E) constantă
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −4x + 16 intersectează axa Ox?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 4 este:
Variante: A) crescătoare · B) constantă · C) nu se poate stabili · D) crescătoare și descrescătoare · E) descrescătoare
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 4 intersectează axa Oy?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = −3x este:
Variante: A) nu se poate stabili · B) crescătoare și descrescătoare · C) crescătoare · D) constantă · E) descrescătoare
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6 intersectează axa Oy?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 3 intersectează axa Oy?
Figura alăturată reprezintă graficul unei funcții f(x) = ax + b. Cât este b?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 4 intersectează axa Oy?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2 intersectează axa Oy?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 6 este:
Variante: A) nu se poate stabili · B) crescătoare și descrescătoare · C) crescătoare · D) constantă · E) descrescătoare
Figura alăturată reprezintă graficul unei funcții f(x) = ax + b. Cât este b?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 3 este:
Variante: A) nu se poate stabili · B) descrescătoare · C) crescătoare și descrescătoare · D) crescătoare · E) constantă
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 3 intersectează axa Oy?
Figura alăturată reprezintă graficul unei funcții f(x) = ax + b. Cât este b?
Aparține punctul A(-3, 5) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 2?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 9 intersectează axa Ox?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −2x − 3 intersectează axa Oy?
Graficele funcțiilor f(x) = 4x + 6 și g(x) = 4x + 4 sunt drepte:
Variante: A) care se intersectează într-un punct · B) concurente în origine · C) perpendiculare · D) confundate · E) paralele
Figura alăturată reprezintă graficul unei funcții f(x) = ax + b. Cât este b?
Aparține punctul A(-1, 2) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 5?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 6 intersectează axa Ox?
Figura alăturată reprezintă graficul unei funcții f(x) = ax + b. Cât este b?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 3 este:
Variante: A) crescătoare și descrescătoare · B) descrescătoare · C) crescătoare · D) constantă · E) nu se poate stabili
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −5x − 3 intersectează axa Oy?
Aparține punctul A(0, −6) graficului funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −5x − 6?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −5x + 1 intersectează axa Oy?
Care sunt coordonatele punctului în care graficul funcției f: ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 12 intersectează axa Ox?
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 4 este:
Variante: A) constantă · B) crescătoare și descrescătoare · C) crescătoare · D) descrescătoare · E) nu se poate stabili
Graficele funcțiilor f(x) = 3x + 4 și g(x) = 3x + 3 sunt drepte:
Variante: A) concurente în origine · B) care se intersectează într-un punct · C) perpendiculare · D) confundate · E) paralele
Graficele funcțiilor f(x) = x + 4 și g(x) = x + 5 sunt drepte:
Variante: A) paralele · B) confundate · C) perpendiculare · D) concurente în origine · E) care se intersectează într-un punct
Graficele funcțiilor f(x) = 3x + 2 și g(x) = 3x + 5 sunt drepte:
Variante: A) confundate · B) concurente în origine · C) perpendiculare · D) paralele · E) care se intersectează într-un punct
Fie f: [2, 3] → ℝ, f(x) = 3x + 4. Care este f(2)?

Arată răspunsurile: nivel ușor

(2, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2. Punctul este (2, 0).
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 1) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
(4, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: 3x − 12 = 0 ⇒ x = 4. Punctul este (4, 0).
Nu — f(-4) = −8. Ordonata punctului este −5, deci punctul nu aparține graficului.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 4) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
descrescătoare — Coeficientul lui x este −1, negativ, deci funcția este descrescătoare.
(−3, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: 4x + 12 = 0 ⇒ x = −3. Punctul este (−3, 0).
Da — f(4) = −22. Ordonata punctului este −22, deci punctul aparține graficului.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 3) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 3) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 4) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
crescătoare — Coeficientul lui x este 2, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
crescătoare — Coeficientul lui x este 4, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
−1 — Dreapta intersectează axa Oy în punctul A(0, −1), deci b = −1.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 1) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
Da — f(-4) = 7. Ordonata punctului este 7, deci punctul aparține graficului.
Da — f(0) = 0. Ordonata punctului este 0, deci punctul aparține graficului.
descrescătoare — Coeficientul lui x este −5, negativ, deci funcția este descrescătoare.
(4, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: −4x + 16 = 0 ⇒ x = 4. Punctul este (4, 0).
crescătoare — Coeficientul lui x este 2, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
(0, −4) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = −4. Punctul este (0, −4).
descrescătoare — Coeficientul lui x este −3, negativ, deci funcția este descrescătoare.
(0, −6) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = −6. Punctul este (0, −6).
(0, 3) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = 3. Punctul este (0, 3).
2 — Dreapta intersectează axa Oy în punctul A(0, 2), deci b = 2.
(0, 4) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = 4. Punctul este (0, 4).
(0, 2) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = 2. Punctul este (0, 2).
crescătoare — Coeficientul lui x este 5, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
−4 — Dreapta intersectează axa Oy în punctul A(0, −4), deci b = −4.
crescătoare — Coeficientul lui x este 1, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
(0, 3) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = 3. Punctul este (0, 3).
2 — Dreapta intersectează axa Oy în punctul A(0, 2), deci b = 2.
Nu — f(-3) = 8. Ordonata punctului este 5, deci punctul nu aparține graficului.
(−3, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: 3x + 9 = 0 ⇒ x = −3. Punctul este (−3, 0).
(0, −3) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = −3. Punctul este (0, −3).
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 4) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
3 — Dreapta intersectează axa Oy în punctul A(0, 3), deci b = 3.
Da — f(-1) = 2. Ordonata punctului este 2, deci punctul aparține graficului.
(2, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2. Punctul este (2, 0).
−4 — Dreapta intersectează axa Oy în punctul A(0, −4), deci b = −4.
crescătoare — Coeficientul lui x este 5, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
(0, −3) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = −3. Punctul este (0, −3).
Da — f(0) = −6. Ordonata punctului este −6, deci punctul aparține graficului.
(0, 1) — Pe axa Oy abscisa este 0: f(0) = 1. Punctul este (0, 1).
(4, 0) — Pe axa Ox ordonata este 0: −3x + 12 = 0 ⇒ x = 4. Punctul este (4, 0).
crescătoare — Coeficientul lui x este 1, pozitiv, deci funcția este crescătoare.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 3) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 1) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
paralele — Două drepte cu același coeficient al lui x (aici 3) și termeni liberi diferiți sunt paralele.
10 — f(2) = 3·2 + 4 = 10.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −3x − 1 și trece prin punctul A(0, 3).
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(1, 4) și B(3, 0).
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(-3, 5) și B(-1, 11).
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −3x − 1 și trece prin punctul A(0, −2).
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(-1, −1) și B(0, 2).
Pentru ce valoare a lui m punctul P(-1, m) aparține graficului funcției f(x) = x − 3?
Sunt coliniare punctele A(4, −9), B(6, −15) și C(9, −24)?
Sunt coliniare punctele A(0, 2), B(2, −2) și C(5, −5)?
Sunt coliniare punctele A(−2, 6), B(0, 2) și C(3, −4)?
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = −3x + 2 și g(x) = 2x − 4.
Un abonament costă 4 lei pe lună plus 4 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 4x + 4 dă costul pentru x ore. Cât costă 4 ore?
Un abonament costă 2 lei pe lună plus 3 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 3x + 2 dă costul pentru x ore. Cât costă 4 ore?
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = 3x și g(x) = −x − 5.
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = −x și g(x) = 2x + 1.
Un abonament costă 4 lei pe lună plus 4 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 4x + 4 dă costul pentru x ore. Cât costă 6 ore?
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −3x + 1 și trece prin punctul A(0, 2).
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(-3, 1) și B(0, −2).
Fie f: [−3, 3] → ℝ, f(x) = −4x − 3. Care este mulțimea valorilor funcției?
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = −x + 1 și g(x) = 3x + 4.
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = 2x și g(x) = −4x − 1.
Sunt coliniare punctele A(5, −25), B(7, −33) și C(10, −43)?
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −x − 3 și trece prin punctul A(0, 3).
Sunt coliniare punctele A(−3, 13), B(−1, 5) și C(2, −7)?
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −4x − 2 și trece prin punctul A(0, 3).
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = x − 5 și trece prin punctul A(0, −1).
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −4x − 2 și trece prin punctul A(0, 4).
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = −4x + 4 și g(x) = 2x − 5.
Un abonament costă 1 lei pe lună plus 5 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 5x + 1 dă costul pentru x ore. Cât costă 4 ore?
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = x + 2 și trece prin punctul A(0, 5).
Un abonament costă 5 lei pe lună plus 5 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 5x + 5 dă costul pentru x ore. Cât costă 8 ore?
Fie f: [−1, 3] → ℝ, f(x) = x + 2. Care este mulțimea valorilor funcției?
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −x − 5 și trece prin punctul A(0, 2).
Sunt coliniare punctele A(−2, 3), B(0, −1) și C(3, −4)?
Care este aria triunghiului format de graficul funcției f(x) = −3x − 1 cu axele de coordonate?
Fie f: [0, 4] → ℝ, f(x) = 3x + 2. Care este mulțimea valorilor funcției?
Un abonament costă 4 lei pe lună plus 5 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 5x + 4 dă costul pentru x ore. Cât costă 7 ore?
Pentru ce valoare a lui m punctul P(-3, m) aparține graficului funcției f(x) = −4x − 2?
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = x − 2 și trece prin punctul A(0, −5).
Un abonament costă 4 lei pe lună plus 2 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 2x + 4 dă costul pentru x ore. Cât costă 5 ore?
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = −x − 5 și g(x) = x − 4.
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(-3, −1) și B(-2, 2).
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(1, −2) și B(3, 0).
Determină funcția g(x) = ax + n al cărei grafic este paralel cu graficul lui f(x) = −2x + 1 și trece prin punctul A(0, −4).
Pentru ce valoare a lui m punctul P(-2, m) aparține graficului funcției f(x) = 3x + 5?
Sunt coliniare punctele A(3, 15), B(5, 23) și C(8, 35)?
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = 4x + 1 și g(x) = x − 2.
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(0, −1) și B(1, −4).
Un abonament costă 9 lei pe lună plus 5 lei pentru fiecare oră de utilizare. Funcția C(x) = 5x + 9 dă costul pentru x ore. Cât costă 8 ore?
Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = −4x − 1 și g(x) = −x − 5.
Determină funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctele A(0, −5) și B(3, −8).

Arată răspunsurile: nivel mediu

g(x) = −3x + 3 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −3. Trecerea prin (0, 3) dă n = 3.
f(x) = −2x + 6 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (0 − 4)/(3 − 1) = −2. Din f(1) = 4: −2·1 + b = 4 ⇒ b = 6.
f(x) = 3x + 14 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (11 − 5)/(-1 − (−3)) = 3. Din f(-3) = 5: 3·(−3) + b = 5 ⇒ b = 14.
g(x) = −3x − 2 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −3. Trecerea prin (0, −2) dă n = −2.
f(x) = 3x + 2 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (2 − (−1))/(0 − (−1)) = 3. Din f(-1) = −1: 3·(−1) + b = −1 ⇒ b = 2.
−4 — Punctul aparține graficului dacă m = f(-1) = 1·(−1) + (−3) = −4.
Da — Panta AB = (−6)/2 = −3. Panta AC = (−15)/5 = −3. Pantele sunt egale, deci punctele sunt coliniare.
Nu — Panta AB = (−4)/2 = −2. Panta AC = (−7)/5 = −7/5. Pantele diferă, deci punctele nu sunt coliniare.
Da — Panta AB = (−4)/2 = −2. Panta AC = (−10)/5 = −2. Pantele sunt egale, deci punctele sunt coliniare.
(6/5, −8/5) — Rezolvăm f(x) = g(x): −3x + 2 = 2x − 4 ⇒ −5x = −6 ⇒ x = 6/5. Apoi y = f(6/5) = −8/5.
20 lei — C(4) = 4·4 + 4 = 20 lei.
14 lei — C(4) = 3·4 + 2 = 14 lei.
(−5/4, −15/4) — Rezolvăm f(x) = g(x): 3x = −x − 5 ⇒ 4x = −5 ⇒ x = −5/4. Apoi y = f(−5/4) = −15/4.
(−1/3, 1/3) — Rezolvăm f(x) = g(x): −x = 2x + 1 ⇒ −3x = 1 ⇒ x = −1/3. Apoi y = f(−1/3) = 1/3.
28 lei — C(6) = 4·6 + 4 = 28 lei.
g(x) = −3x + 2 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −3. Trecerea prin (0, 2) dă n = 2.
f(x) = −x − 2 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−2 − 1)/(0 − (−3)) = −1. Din f(-3) = 1: −1·(−3) + b = 1 ⇒ b = −2.
[−15, 9] — Funcția este descrescătoare: f(−3) = 9, f(3) = −15. Mulțimea valorilor este intervalul [−15, 9].
(−3/4, 7/4) — Rezolvăm f(x) = g(x): −x + 1 = 3x + 4 ⇒ −4x = 3 ⇒ x = −3/4. Apoi y = f(−3/4) = 7/4.
(−1/6, −1/3) — Rezolvăm f(x) = g(x): 2x = −4x − 1 ⇒ 6x = −1 ⇒ x = −1/6. Apoi y = f(−1/6) = −1/3.
Nu — Panta AB = (−8)/2 = −4. Panta AC = (−18)/5 = −18/5. Pantele diferă, deci punctele nu sunt coliniare.
g(x) = −x + 3 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −1. Trecerea prin (0, 3) dă n = 3.
Da — Panta AB = (−8)/2 = −4. Panta AC = (−20)/5 = −4. Pantele sunt egale, deci punctele sunt coliniare.
g(x) = −4x + 3 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −4. Trecerea prin (0, 3) dă n = 3.
g(x) = x − 1 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = 1. Trecerea prin (0, −1) dă n = −1.
g(x) = −4x + 4 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −4. Trecerea prin (0, 4) dă n = 4.
(3/2, −2) — Rezolvăm f(x) = g(x): −4x + 4 = 2x − 5 ⇒ −6x = −9 ⇒ x = 3/2. Apoi y = f(3/2) = −2.
21 lei — C(4) = 5·4 + 1 = 21 lei.
g(x) = x + 5 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = 1. Trecerea prin (0, 5) dă n = 5.
45 lei — C(8) = 5·8 + 5 = 45 lei.
[1, 5] — Funcția este crescătoare: f(−1) = 1, f(3) = 5. Mulțimea valorilor este intervalul [1, 5].
g(x) = −x + 2 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −1. Trecerea prin (0, 2) dă n = 2.
Nu — Panta AB = (−4)/2 = −2. Panta AC = (−7)/5 = −7/5. Pantele diferă, deci punctele nu sunt coliniare.
1/6 — Dreapta taie axele în A(−1/3, 0) și B(0, −1). Triunghiul OAB este dreptunghic în O: aria = (|−1/3|·|−1|)/2 = 1/6.
[2, 14] — Funcția este crescătoare: f(0) = 2, f(4) = 14. Mulțimea valorilor este intervalul [2, 14].
39 lei — C(7) = 5·7 + 4 = 39 lei.
10 — Punctul aparține graficului dacă m = f(-3) = -4·(−3) + (−2) = 10.
g(x) = x − 5 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = 1. Trecerea prin (0, −5) dă n = −5.
14 lei — C(5) = 2·5 + 4 = 14 lei.
(−1/2, −9/2) — Rezolvăm f(x) = g(x): −x − 5 = x − 4 ⇒ −2x = 1 ⇒ x = −1/2. Apoi y = f(−1/2) = −9/2.
f(x) = 3x + 8 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (2 − (−1))/(-2 − (−3)) = 3. Din f(-3) = −1: 3·(−3) + b = −1 ⇒ b = 8.
f(x) = x − 3 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (0 − (−2))/(3 − 1) = 1. Din f(1) = −2: 1·1 + b = −2 ⇒ b = −3.
g(x) = −2x − 4 — Dreptele paralele au aceeași pantă: a = −2. Trecerea prin (0, −4) dă n = −4.
−1 — Punctul aparține graficului dacă m = f(-2) = 3·(−2) + 5 = −1.
Da — Panta AB = (8)/2 = 4. Panta AC = (20)/5 = 4. Pantele sunt egale, deci punctele sunt coliniare.
(−1, −3) — Rezolvăm f(x) = g(x): 4x + 1 = x − 2 ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1. Apoi y = f(−1) = −3.
f(x) = −3x − 1 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−4 − (−1))/(1 − 0) = −3. Din f(0) = −1: −3·0 + b = −1 ⇒ b = −1.
49 lei — C(8) = 5·8 + 9 = 49 lei.
(4/3, −19/3) — Rezolvăm f(x) = g(x): −4x − 1 = −x − 5 ⇒ −3x = −4 ⇒ x = 4/3. Apoi y = f(4/3) = −19/3.
f(x) = −x − 5 — Panta: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−8 − (−5))/(3 − 0) = −1. Din f(0) = −5: −1·0 + b = −5 ⇒ b = −5.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Fie f(x) = −2x − 5. Calculează suma abscisei punctului de intersecție cu Ox și a ordonatei punctului de intersecție cu Oy.
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −4 este paralel cu graficul lui f(x) = 2x − 5?
Graficele funcțiilor f(x) = −4x și g(x) = −3x − 1 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + 4 este paralel cu graficul lui f(x) = −x + 3?
Pentru ce valoare a lui m graficul funcției f(x) = −3x − 2 trece prin punctul A(m, −8)?
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + 2 este paralel cu graficul lui f(x) = −2x + 1?
Pentru ce valoare a lui m graficul funcției f(x) = −4x + 2 trece prin punctul A(m, −6)?
Punctele A(0, −5), B(1, −8) și C(2, n) sunt coliniare. Cât este n?
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −4 este paralel cu graficul lui f(x) = 3x − 5?
Punctele A(0, −5), B(1, −2) și C(2, n) sunt coliniare. Cât este n?
Graficele funcțiilor f(x) = −4x + 1 și g(x) = −3x − 4 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −3 este paralel cu graficul lui f(x) = 4x − 4?
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + 1 este paralel cu graficul lui f(x) = 2x?
Graficele funcțiilor f(x) = 3x − 5 și g(x) = 4x + 3 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Fie f(x) = 3x − 1. Calculează suma abscisei punctului de intersecție cu Ox și a ordonatei punctului de intersecție cu Oy.
Firma A cere 1 lei taxă fixă și 5 lei pe oră, firma B cere 8 lei taxă fixă și 3 lei pe oră. După câte ore costă la fel?
Fie f(x) = −3x − 4. Calculează suma abscisei punctului de intersecție cu Ox și a ordonatei punctului de intersecție cu Oy.
Graficele funcțiilor f(x) = 4x + 2 și g(x) = x − 1 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Graficele funcțiilor f(x) = −4x − 5 și g(x) = 3x + 4 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Fie f(x) = 3x + 3. Pentru ce valori ale lui x graficul funcției se află deasupra axei Ox, adică f(x) > 0?
Punctele A(0, −5), B(1, −1) și C(2, n) sunt coliniare. Cât este n?
Graficele funcțiilor f(x) = −4x − 5 și g(x) = −3x + 1 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Punctele A(0, 3), B(1, −1) și C(2, n) sunt coliniare. Cât este n?
Graficele funcțiilor f(x) = 3x + 5 și g(x) = 2x − 2 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Fie f(x) = 2x + 4. Pentru ce valori ale lui x graficul funcției se află deasupra axei Ox, adică f(x) > 0?
Graficele funcțiilor f(x) = −4x − 2 și g(x) = 3x + 2 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −2 este paralel cu graficul lui f(x) = −x − 3?
Fie f(x) = −3x − 3. Pentru ce valori ale lui x graficul funcției se află deasupra axei Ox, adică f(x) > 0?
Punctele A(0, 5), B(1, 9) și C(2, n) sunt coliniare. Cât este n?
Graficele funcțiilor f(x) = 3x + 2 și g(x) = −4x − 5 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Firma A cere 5 lei taxă fixă și 3 lei pe oră, firma B cere 8 lei taxă fixă și 1 lei pe oră. După câte ore costă la fel?
Fie f(x) = 3x + 3. Calculează suma abscisei punctului de intersecție cu Ox și a ordonatei punctului de intersecție cu Oy.
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −4 este paralel cu graficul lui f(x) = −2x − 5?
Graficele funcțiilor f(x) = −3x + 1 și g(x) = −2x − 5 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Fie f(x) = 3x + 2. Calculează suma abscisei punctului de intersecție cu Ox și a ordonatei punctului de intersecție cu Oy.
Fie f(x) = 2x + 2. Calculează suma abscisei punctului de intersecție cu Ox și a ordonatei punctului de intersecție cu Oy.
Pentru ce valoare a lui m graficul funcției f(x) = 3x − 5 trece prin punctul A(m, 1)?
Graficele funcțiilor f(x) = 2x + 5 și g(x) = −2x − 4 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Pentru ce valoare a lui m graficul funcției f(x) = 4x − 5 trece prin punctul A(m, 3)?
Firma A cere 2 lei taxă fixă și 5 lei pe oră, firma B cere 5 lei taxă fixă și 4 lei pe oră. După câte ore costă la fel?
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −3 este paralel cu graficul lui f(x) = −4x − 4?
Graficele funcțiilor f(x) = −3x + 5 și g(x) = −2x − 2 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + 4 este paralel cu graficul lui f(x) = −4x + 3?
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + 4 este paralel cu graficul lui f(x) = 3x + 3?
Graficele funcțiilor f(x) = −2x − 3 și g(x) = x se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Graficele funcțiilor f(x) = 4x − 4 și g(x) = −4x + 1 se intersectează în punctul P. Calculează x + y pentru P(x, y).
Fie f(x) = 4x + 5. Pentru ce valori ale lui x graficul funcției se află deasupra axei Ox, adică f(x) > 0?
Pentru ce valoare a lui m graficul funcției f(x) = −3x − 6 trece prin punctul A(m, −12)?
Pentru ce valoare a lui m graficul funcției f(x) = −4x − 3 trece prin punctul A(m, −11)?
Pentru ce valoare a lui k graficul funcției g(x) = (k + 1)x + −4 este paralel cu graficul lui f(x) = 4x − 5?

Arată răspunsurile: nivel dificil

−15/2 — Cu Ox: x = −5/2. Cu Oy: y = f(0) = −5. Suma: −5/2 + (−5) = −15/2.
1 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = 2 ⇒ k = 1.
−3 — f(x) = g(x) ⇒ −x = −1 ⇒ x = 1; y = −4. Suma: −3.
−2 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = −1 ⇒ k = −2.
2 — f(m) = −8 ⇒ −3m − 2 = −8 ⇒ m = 2.
−3 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = −2 ⇒ k = −3.
2 — f(m) = −6 ⇒ −4m + 2 = −6 ⇒ m = 2.
−11 — Dreapta AB are panta −3 și termenul liber −5: y = −3x − 5. Pentru x = 2: n = −11.
2 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = 3 ⇒ k = 2.
1 — Dreapta AB are panta 3 și termenul liber −5: y = 3x − 5. Pentru x = 2: n = 1.
−14 — f(x) = g(x) ⇒ −x = −5 ⇒ x = 5; y = −19. Suma: −14.
3 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = 4 ⇒ k = 3.
1 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = 2 ⇒ k = 1.
−37 — f(x) = g(x) ⇒ −x = 8 ⇒ x = −8; y = −29. Suma: −37.
−2/3 — Cu Ox: x = 1/3. Cu Oy: y = f(0) = −1. Suma: 1/3 + (−1) = −2/3.
7/2 — Costurile sunt egale când 1 + 5x = 8 + 3x ⇒ 2x = 7 ⇒ x = 7/2.
−16/3 — Cu Ox: x = −4/3. Cu Oy: y = f(0) = −4. Suma: −4/3 + (−4) = −16/3.
−3 — f(x) = g(x) ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1; y = −2. Suma: −3.
−8/7 — f(x) = g(x) ⇒ −7x = 9 ⇒ x = −9/7; y = 1/7. Suma: −8/7.
x > −1 — 3x + 3 > 0 ⇒ 3x > −3 ⇒ x > −1.
3 — Dreapta AB are panta 4 și termenul liber −5: y = 4x − 5. Pentru x = 2: n = 3.
13 — f(x) = g(x) ⇒ −x = 6 ⇒ x = −6; y = 19. Suma: 13.
−5 — Dreapta AB are panta −4 și termenul liber 3: y = −4x + 3. Pentru x = 2: n = −5.
−23 — f(x) = g(x) ⇒ x = −7 ⇒ x = −7; y = −16. Suma: −23.
x > −2 — 2x + 4 > 0 ⇒ 2x > −4 ⇒ x > −2.
−2/7 — f(x) = g(x) ⇒ −7x = 4 ⇒ x = −4/7; y = 2/7. Suma: −2/7.
−2 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = −1 ⇒ k = −2.
x < −1 — −3x − 3 > 0 ⇒ −3x > 3 ⇒ x < −1 (sensul se schimbă la împărțirea cu un număr negativ).
13 — Dreapta AB are panta 4 și termenul liber 5: y = 4x + 5. Pentru x = 2: n = 13.
−2 — f(x) = g(x) ⇒ 7x = −7 ⇒ x = −1; y = −1. Suma: −2.
3/2 — Costurile sunt egale când 5 + 3x = 8 + 1x ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2.
2 — Cu Ox: x = −1. Cu Oy: y = f(0) = 3. Suma: −1 + (3) = 2.
−3 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = −2 ⇒ k = −3.
−11 — f(x) = g(x) ⇒ −x = −6 ⇒ x = 6; y = −17. Suma: −11.
4/3 — Cu Ox: x = −2/3. Cu Oy: y = f(0) = 2. Suma: −2/3 + (2) = 4/3.
1 — Cu Ox: x = −1. Cu Oy: y = f(0) = 2. Suma: −1 + (2) = 1.
2 — f(m) = 1 ⇒ 3m − 5 = 1 ⇒ m = 2.
−7/4 — f(x) = g(x) ⇒ 4x = −9 ⇒ x = −9/4; y = 1/2. Suma: −7/4.
2 — f(m) = 3 ⇒ 4m − 5 = 3 ⇒ m = 2.
3 — Costurile sunt egale când 2 + 5x = 5 + 4x ⇒ x = 3 ⇒ x = 3.
−5 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = −4 ⇒ k = −5.
−9 — f(x) = g(x) ⇒ −x = −7 ⇒ x = 7; y = −16. Suma: −9.
−5 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = −4 ⇒ k = −5.
2 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = 3 ⇒ k = 2.
−2 — f(x) = g(x) ⇒ −3x = 3 ⇒ x = −1; y = −1. Suma: −2.
−7/8 — f(x) = g(x) ⇒ 8x = 5 ⇒ x = 5/8; y = −3/2. Suma: −7/8.
x > −5/4 — 4x + 5 > 0 ⇒ 4x > −5 ⇒ x > −5/4.
2 — f(m) = −12 ⇒ −3m − 6 = −12 ⇒ m = 2.
2 — f(m) = −11 ⇒ −4m − 3 = −11 ⇒ m = 2.
3 — Dreptele sunt paralele când au aceeași pantă: k + 1 = 4 ⇒ k = 3.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a