Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ

Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ

Factor comun, formule de calcul prescurtat „invers”, grupare, trinomul de forma x² + sx + p, aplicații.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce înseamnă a descompune în factori

A descompune o expresie în factori înseamnă a o scrie ca produs. Este operația inversă înmulțirii: 6x + 9 = 3(2x + 3). Metodele principale sunt: scoaterea factorului comun, formulele de calcul prescurtat, gruparea termenilor.

1. Scoaterea factorului comun

ab + ac = a(b + c)
Exemplul 1. Descompune 12x² − 18x.
Metoda 1 (cu cel mai mare divizor comun). CMMDC(12, 18) = 6, iar x apare în ambii termeni la puterile 2 și 1, deci scoatem 6x: 12x² − 18x = 6x(2x − 3).
Metoda 2 (verificare prin înmulțire). 6x(2x − 3) = 12x² − 18x ✓.

2. Formulele de calcul prescurtat

a² − b² = (a − b)(a + b)
a² + 2ab + b² = (a + b)²    a² − 2ab + b² = (a − b)²
x²3x2x2·3x3x2

Descompunerea este operația inversă: aria unui dreptunghi se scrie fie ca suma zonelor, fie ca produs al laturilor

Exemplul 2. Descompune 9x² − 16.
Rezolvare. 9x² − 16 = (3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4).
Exemplul 3. Descompune 4x² + 12x + 9.
Metoda 1 (recunoscând pătratul perfect). (2x)² + 2·2x·3 + 3² = (2x + 3)².
Metoda 2 (verificare). (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 ✓.

3. Gruparea termenilor

Grupăm termenii astfel încât în fiecare grup să putem scoate un factor comun, iar apoi apare un factor comun între grupuri.

Exemplul 4. Descompune x² + 5x + 6.
Metoda 1 (cu despărțirea termenului 5x). 5x = 2x + 3x (numere cu suma 5 și produsul 6): x² + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3).
Metoda 2 (cu aria). Dreptunghiul de laturi x + 2 și x + 3 are zonele x², 3x, 2x, 6: suma lor este x² + 5x + 6.
Exemplul 5. Descompune x² − xy + 4x − 4y.
Rezolvare. Grupăm: (x² − xy) + (4x − 4y) = x(x − y) + 4(x − y) = (x − y)(x + 4).

Trinomul x² + sx + p

x² + sx + p = (x + m)(x + n)   unde m + n = s și m·n = p
Exemplul 6. Descompune x² − 3x − 10.
Metoda 1 (căutând numerele). Căutăm m + n = −3 și mn = −10: m = −5, n = 2. Deci (x − 5)(x + 2).
Metoda 2 (prin grupare). x² − 5x + 2x − 10 = x(x − 5) + 2(x − 5) = (x − 5)(x + 2).

Aplicații

Exemplul 7. Calculează 2023² − 2022².
Rezolvare. Diferența de pătrate: (2023 − 2022)(2023 + 2022) = 1·4045 = 4045.
Exemplul 8. Arată că 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ este divizibil cu 4 pentru orice n ∈ ℕ.
Rezolvare. 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ = 3ⁿ(1 + 3) = 4·3ⁿ, multiplu de 4.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Calculează, folosind factorul comun: 7·7 + 7·8.
  2. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 6x² + 25x + 4?
    Variante: A) (x + 4)(6x + 1)  ·  B) (x − 4)(6x + 1)  ·  C) (x + 4)(x + 6)  ·  D) (x + 4)(6x − 1)  ·  E) (x + 1)(6x + 4)
  3. Scoate factorul comun: x² + 4x.
  4. Scoate factorul comun: 24x + 32.
  5. Calculează, folosind factorul comun: 9·9 + 9·4.
  6. Scoate factorul comun: 4x + 2.
  7. Scoate factorul comun: 20x − 28.
  8. Descompune în factori: x² − 18x + 81.
  9. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 5x² + 8x + 3?
    Variante: A) (x + 1)(5x − 3)  ·  B) (x + 1)(3x + 5)  ·  C) (x − 1)(5x + 3)  ·  D) (x + 1)(5x + 3)  ·  E) (x + 3)(5x + 1)
  10. Descompune în factori: x² + 12x + 36.
  11. Scoate factorul comun: 30x + 48.
  12. Calculează, folosind factorul comun: 3·4 + 3·2.
  13. Calculează, folosind factorul comun: 8·6 + 8·2.
  14. Descompune în factori: x² + 18x + 81.
  15. Descompune în factori: x² + 6x + 9.
  16. Scoate factorul comun: x² + 7x.
  17. Descompune în factori: x² − 14x + 49.
  18. Scoate factorul comun: x² + 6x.
  19. Scoate factorul comun: x² − 2x.
  20. Descompune în factori: 9x² − 16.
  21. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 5x² + 34x + 24?
    Variante: A) (x + 6)(5x − 4)  ·  B) (x + 6)(4x + 5)  ·  C) (x + 4)(5x + 6)  ·  D) (x − 6)(5x + 4)  ·  E) (x + 6)(5x + 4)
  22. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 6x² + 10x + 4?
    Variante: A) (x + 1)(6x − 4)  ·  B) (x + 1)(6x + 4)  ·  C) (x + 4)(6x + 1)  ·  D) (x − 1)(6x + 4)  ·  E) (x + 1)(4x + 6)
  23. Scoate factorul comun: 8x − 12.
  24. Scoate factorul comun: 10x + 25.
  25. Scoate factorul comun: 27x + 24.
  26. Descompune în factori: 49x² − 9.
  27. Scoate factorul comun: x² − 3x.
  28. Descompune în factori: 81x² − 25.
  29. Descompune în factori: 16x² − 25.
  30. Descompune în factori: x² + 10x + 25.
  31. Descompune în factori: x² − 10x + 25.
  32. Descompune în factori: x² − 16x + 64.
  33. Scoate factorul comun: 42x + 35.
  34. Scoate factorul comun: x² − 6x.
  35. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 4x² + 22x + 10?
    Variante: A) (x + 5)(2x + 4)  ·  B) (x + 5)(4x − 2)  ·  C) (x + 5)(4x + 2)  ·  D) (x − 5)(4x + 2)  ·  E) (x + 2)(4x + 5)
  36. Descompune în factori: x² − 6x + 9.
  37. Scoate factorul comun: x² + 3x.
  38. Scoate factorul comun: x² − 8x.
  39. Scoate factorul comun: 36x + 6.
  40. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 3x² + 10x + 8?
    Variante: A) (x + 4)(3x + 2)  ·  B) (x − 2)(3x + 4)  ·  C) (x + 2)(3x + 4)  ·  D) (x + 2)(3x − 4)  ·  E) (x + 2)(4x + 3)
  41. Calculează, folosind factorul comun: 4·3 + 4·4.
  42. Descompune în factori: 16x² − 9.
  43. Scoate factorul comun: 6x − 48.
  44. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 3x² + 5x + 2?
    Variante: A) (x + 1)(3x − 2)  ·  B) (x + 2)(3x + 1)  ·  C) (x + 1)(2x + 3)  ·  D) (x + 1)(3x + 2)  ·  E) (x − 1)(3x + 2)
  45. Scoate factorul comun: x² − 5x.
  46. Descompune în factori: x² + 14x + 49.
  47. Scoate factorul comun: x² − 9x.
  48. Care dintre descompunerile următoare este corectă pentru 7x² + 9x + 2?
    Variante: A) (x + 1)(2x + 7)  ·  B) (x + 1)(7x − 2)  ·  C) (x + 1)(7x + 2)  ·  D) (x + 2)(7x + 1)  ·  E) (x − 1)(7x + 2)
  49. Scoate factorul comun: 64x − 40.
  50. Descompune în factori: 4x² − 49.
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 105 — 7·7 + 7·8 = 7·(7 + 8) = 7·15 = 105.
  2. (x + 4)(6x + 1) — Verificăm prin înmulțire: (x + 4)(6x + 1) = 6x² + 25x + 4. Celelalte variante dau alte polinoame.
  3. x(x + 4) — Ambii termeni conțin factorul x: x² + 4x = x·x + 4·x = x(x + 4).
  4. 8(3x + 4) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 24 și 32 este 8. Împărțim fiecare termen la 8: 3x + 4. Deci 8(3x + 4).
  5. 117 — 9·9 + 9·4 = 9·(9 + 4) = 9·13 = 117.
  6. 2(2x + 1) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 4 și 2 este 2. Împărțim fiecare termen la 2: 2x + 1. Deci 2(2x + 1).
  7. 4(5x − 7) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 20 și 28 este 4. Împărțim fiecare termen la 4: 5x − 7. Deci 4(5x − 7).
  8. (x − 9)² — x² − 18x + 81 = x² − 2·x·9 + 9² = (x − 9)².
  9. (x + 1)(5x + 3) — Verificăm prin înmulțire: (x + 1)(5x + 3) = 5x² + 8x + 3. Celelalte variante dau alte polinoame.
  10. (x + 6)² — x² + 12x + 36 = x² + 2·x·6 + 6² = (x + 6)².
  11. 6(5x + 8) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 30 și 48 este 6. Împărțim fiecare termen la 6: 5x + 8. Deci 6(5x + 8).
  12. 18 — 3·4 + 3·2 = 3·(4 + 2) = 3·6 = 18.
  13. 64 — 8·6 + 8·2 = 8·(6 + 2) = 8·8 = 64.
  14. (x + 9)² — x² + 18x + 81 = x² + 2·x·9 + 9² = (x + 9)².
  15. (x + 3)² — x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)².
  16. x(x + 7) — Ambii termeni conțin factorul x: x² + 7x = x·x + 7·x = x(x + 7).
  17. (x − 7)² — x² − 14x + 49 = x² − 2·x·7 + 7² = (x − 7)².
  18. x(x + 6) — Ambii termeni conțin factorul x: x² + 6x = x·x + 6·x = x(x + 6).
  19. x(x − 2) — Ambii termeni conțin factorul x: x² − 2x = x·x − 2·x = x(x − 2).
  20. (3x − 4)(3x + 4) — 9x² − 16 = (3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4).
  21. (x + 6)(5x + 4) — Verificăm prin înmulțire: (x + 6)(5x + 4) = 5x² + 34x + 24. Celelalte variante dau alte polinoame.
  22. (x + 1)(6x + 4) — Verificăm prin înmulțire: (x + 1)(6x + 4) = 6x² + 10x + 4. Celelalte variante dau alte polinoame.
  23. 4(2x − 3) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 8 și 12 este 4. Împărțim fiecare termen la 4: 2x − 3. Deci 4(2x − 3).
  24. 5(2x + 5) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 10 și 25 este 5. Împărțim fiecare termen la 5: 2x + 5. Deci 5(2x + 5).
  25. 3(9x + 8) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 27 și 24 este 3. Împărțim fiecare termen la 3: 9x + 8. Deci 3(9x + 8).
  26. (7x − 3)(7x + 3) — 49x² − 9 = (7x)² − 3² = (7x − 3)(7x + 3).
  27. x(x − 3) — Ambii termeni conțin factorul x: x² − 3x = x·x − 3·x = x(x − 3).
  28. (9x − 5)(9x + 5) — 81x² − 25 = (9x)² − 5² = (9x − 5)(9x + 5).
  29. (4x − 5)(4x + 5) — 16x² − 25 = (4x)² − 5² = (4x − 5)(4x + 5).
  30. (x + 5)² — x² + 10x + 25 = x² + 2·x·5 + 5² = (x + 5)².
  31. (x − 5)² — x² − 10x + 25 = x² − 2·x·5 + 5² = (x − 5)².
  32. (x − 8)² — x² − 16x + 64 = x² − 2·x·8 + 8² = (x − 8)².
  33. 7(6x + 5) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 42 și 35 este 7. Împărțim fiecare termen la 7: 6x + 5. Deci 7(6x + 5).
  34. x(x − 6) — Ambii termeni conțin factorul x: x² − 6x = x·x − 6·x = x(x − 6).
  35. (x + 5)(4x + 2) — Verificăm prin înmulțire: (x + 5)(4x + 2) = 4x² + 22x + 10. Celelalte variante dau alte polinoame.
  36. (x − 3)² — x² − 6x + 9 = x² − 2·x·3 + 3² = (x − 3)².
  37. x(x + 3) — Ambii termeni conțin factorul x: x² + 3x = x·x + 3·x = x(x + 3).
  38. x(x − 8) — Ambii termeni conțin factorul x: x² − 8x = x·x − 8·x = x(x − 8).
  39. 6(6x + 1) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 36 și 6 este 6. Împărțim fiecare termen la 6: 6x + 1. Deci 6(6x + 1).
  40. (x + 2)(3x + 4) — Verificăm prin înmulțire: (x + 2)(3x + 4) = 3x² + 10x + 8. Celelalte variante dau alte polinoame.
  41. 28 — 4·3 + 4·4 = 4·(3 + 4) = 4·7 = 28.
  42. (4x − 3)(4x + 3) — 16x² − 9 = (4x)² − 3² = (4x − 3)(4x + 3).
  43. 6(x − 8) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 6 și 48 este 6. Împărțim fiecare termen la 6: x − 8. Deci 6(x − 8).
  44. (x + 1)(3x + 2) — Verificăm prin înmulțire: (x + 1)(3x + 2) = 3x² + 5x + 2. Celelalte variante dau alte polinoame.
  45. x(x − 5) — Ambii termeni conțin factorul x: x² − 5x = x·x − 5·x = x(x − 5).
  46. (x + 7)² — x² + 14x + 49 = x² + 2·x·7 + 7² = (x + 7)².
  47. x(x − 9) — Ambii termeni conțin factorul x: x² − 9x = x·x − 9·x = x(x − 9).
  48. (x + 1)(7x + 2) — Verificăm prin înmulțire: (x + 1)(7x + 2) = 7x² + 9x + 2. Celelalte variante dau alte polinoame.
  49. 8(8x − 5) — Cel mai mare divizor comun al coeficienților 64 și 40 este 8. Împărțim fiecare termen la 8: 8x − 5. Deci 8(8x − 5).
  50. (2x − 7)(2x + 7) — 4x² − 49 = (2x)² − 7² = (2x − 7)(2x + 7).

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Calculează, folosind factorul comun: 7·5·6 + 7·5·7.
  2. Scoate factorul comun maxim: 12x³ + 2x².
  3. Scoate factorul comun: 10xy + 10y².
  4. Scoate factorul comun maxim: 14x² − 7x.
  5. Scoate factorul comun: 10xy + 20y².
  6. Scoate factorul comun maxim: 10x² − 4x.
  7. Descompune în factori: x² + 6x + 8.
  8. Calculează, folosind factorul comun: 5·5·4 + 5·5·5.
  9. Descompune în factori: x² + 3x − 18.
  10. Descompune în factori: 49x² − 81y².
  11. Calculează, folosind factorul comun: 3·5·3 + 3·5·4.
  12. Descompune în factori: 9x² − 12x + 4.
  13. Descompune în factori: x² + 4x − 12.
  14. Calculează, folosind factorul comun: 9·3·7 + 9·3·8.
  15. Descompune în factori: x² − 7x + 6.
  16. Descompune în factori: 9x² + 24x + 16.
  17. Descompune în factori: x² − 9.
  18. Descompune în factori: x² − 1.
  19. Calculează, folosind factorul comun: 2·8·7 + 2·8·8.
  20. Descompune în factori: 9x² − 16y².
  21. Descompune în factori: 81x² − 25y².
  22. Calculează, folosind factorul comun: 5·4·7 + 5·4·8.
  23. Descompune prin grupare: x² + 1x + 4x + 4.
  24. Calculează, folosind factorul comun: 5·4·2 + 5·4·3.
  25. Scoate factorul comun: 18xy + 12y².
  26. Descompune prin grupare: x² + 1x + 2x + 2.
  27. Descompune în factori: 9x² + 6x + 1.
  28. Descompune prin grupare: x² + 1x + 3x + 3.
  29. Descompune în factori: x² + 7x + 12.
  30. Scoate factorul comun: 24xy + 18y².
  31. Descompune în factori: x² + x − 42.
  32. Descompune prin grupare: x² + 3x + 3x + 9.
  33. Calculează, folosind factorul comun: 6·2·7 + 6·2·8.
  34. Descompune în factori: x² + 12x + 35.
  35. Calculează, folosind factorul comun: 3·8·5 + 3·8·6.
  36. Scoate factorul comun: 12xy + 2y².
  37. Scoate factorul comun maxim: 36x³ + 6x².
  38. Descompune prin grupare: x² + 4x + 4x + 16.
  39. Scoate factorul comun: 30xy + 6y².
  40. Scoate factorul comun maxim: 24x² + 30x.
  41. Descompune în factori: 25x² − 20x + 4.
  42. Scoate factorul comun: 12xy + 12y².
  43. Calculează, folosind factorul comun: 6·7·4 + 6·7·5.
  44. Scoate factorul comun: 10xy + 4y².
  45. Scoate factorul comun: 20xy + 20y².
  46. Descompune prin grupare: x² + 2x + 3x + 6.
  47. Scoate factorul comun maxim: 20x² + 5x.
  48. Calculează, folosind factorul comun: 9·2·2 + 9·2·3.
  49. Scoate factorul comun: 8xy + 2y².
  50. Descompune în factori: x² + 9x + 14.
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 455 — 7·5·6 + 7·5·7 = 7·5·(6 + 7) = 35·13 = 455.
  2. 2x²(6x + 1) — Factorul comun maxim este 2x² (cel mai mare divizor al coeficienților și cea mai mică putere a lui x). 12x³ + 2x² = 2x²(6x + 1).
  3. 5y(2x + 2y) — Termenii au factorul comun 5y: 10xy + 10y² = 5y·2x + 5y·2y = 5y(2x + 2y).
  4. 7x(2x − 1) — Factorul comun maxim este 7x (cel mai mare divizor al coeficienților și cea mai mică putere a lui x). 14x² − 7x = 7x(2x − 1).
  5. 5y(2x + 4y) — Termenii au factorul comun 5y: 10xy + 20y² = 5y·2x + 5y·4y = 5y(2x + 4y).
  6. 2x(5x − 2) — Factorul comun maxim este 2x (cel mai mare divizor al coeficienților și cea mai mică putere a lui x). 10x² − 4x = 2x(5x − 2).
  7. (x + 4)(x + 2) — Căutăm două numere cu suma 6 și produsul 8: 4 și 2. Atunci x² + 6x + 8 = x² + 4x + 2x + 8, grupăm: x(x + 4) + 2(x + 4) = (x + 4)(x + 2).
  8. 225 — 5·5·4 + 5·5·5 = 5·5·(4 + 5) = 25·9 = 225.
  9. (x − 3)(x + 6) — Căutăm două numere cu suma 3 și produsul −18: −3 și 6. Atunci x² + 3x − 18 = x² − 3x + 6x − 18, grupăm: x(x − 3) + 6(x − 3) = (x − 3)(x + 6).
  10. (7x − 9y)(7x + 9y) — 49x² − 81y² = (7x)² − (9y)² = (7x − 9y)(7x + 9y).
  11. 105 — 3·5·3 + 3·5·4 = 3·5·(3 + 4) = 15·7 = 105.
  12. (3x − 2)² — 9x² − 12x + 4 = (3x)² − 2·3x·2 + 2² = (3x − 2)².
  13. (x + 6)(x − 2) — Căutăm două numere cu suma 4 și produsul −12: 6 și −2. Atunci x² + 4x − 12 = x² + 6x − 2x − 12, grupăm: x(x + 6) − 2(x + 6) = (x + 6)(x − 2).
  14. 405 — 9·3·7 + 9·3·8 = 9·3·(7 + 8) = 27·15 = 405.
  15. (x − 1)(x − 6) — Căutăm două numere cu suma −7 și produsul 6: −1 și −6. Atunci x² − 7x + 6 = x² − x − 6x + 6, grupăm: x(x − 1) − 6(x − 1) = (x − 1)(x − 6).
  16. (3x + 4)² — 9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2·3x·4 + 4² = (3x + 4)².
  17. (x + 3)(x − 3) — Căutăm două numere cu suma 0 și produsul −9: 3 și −3. Atunci x² − 9 = x² + 3x − 3x − 9, grupăm: x(x + 3) − 3(x + 3) = (x + 3)(x − 3).
  18. (x + 1)(x − 1) — Căutăm două numere cu suma 0 și produsul −1: 1 și −1. Atunci x² − 1 = x² + x − 1x − 1, grupăm: x(x + 1) − 1(x + 1) = (x + 1)(x − 1).
  19. 240 — 2·8·7 + 2·8·8 = 2·8·(7 + 8) = 16·15 = 240.
  20. (3x − 4y)(3x + 4y) — 9x² − 16y² = (3x)² − (4y)² = (3x − 4y)(3x + 4y).
  21. (9x − 5y)(9x + 5y) — 81x² − 25y² = (9x)² − (5y)² = (9x − 5y)(9x + 5y).
  22. 300 — 5·4·7 + 5·4·8 = 5·4·(7 + 8) = 20·15 = 300.
  23. (x + 1)(x + 4) — Grupăm: (x² + 1x) + (4x + 4) = x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x + 4).
  24. 100 — 5·4·2 + 5·4·3 = 5·4·(2 + 3) = 20·5 = 100.
  25. 3y(6x + 4y) — Termenii au factorul comun 3y: 18xy + 12y² = 3y·6x + 3y·4y = 3y(6x + 4y).
  26. (x + 1)(x + 2) — Grupăm: (x² + 1x) + (2x + 2) = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2).
  27. (3x + 1)² — 9x² + 6x + 1 = (3x)² + 2·3x·1 + 1² = (3x + 1)².
  28. (x + 1)(x + 3) — Grupăm: (x² + 1x) + (3x + 3) = x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x + 3).
  29. (x + 4)(x + 3) — Căutăm două numere cu suma 7 și produsul 12: 4 și 3. Atunci x² + 7x + 12 = x² + 4x + 3x + 12, grupăm: x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 4)(x + 3).
  30. 6y(4x + 3y) — Termenii au factorul comun 6y: 24xy + 18y² = 6y·4x + 6y·3y = 6y(4x + 3y).
  31. (x − 6)(x + 7) — Căutăm două numere cu suma 1 și produsul −42: −6 și 7. Atunci x² + x − 42 = x² − 6x + 7x − 42, grupăm: x(x − 6) + 7(x − 6) = (x − 6)(x + 7).
  32. (x + 3)(x + 3) — Grupăm: (x² + 3x) + (3x + 9) = x(x + 3) + 3(x + 3) = (x + 3)(x + 3).
  33. 180 — 6·2·7 + 6·2·8 = 6·2·(7 + 8) = 12·15 = 180.
  34. (x + 5)(x + 7) — Căutăm două numere cu suma 12 și produsul 35: 5 și 7. Atunci x² + 12x + 35 = x² + 5x + 7x + 35, grupăm: x(x + 5) + 7(x + 5) = (x + 5)(x + 7).
  35. 264 — 3·8·5 + 3·8·6 = 3·8·(5 + 6) = 24·11 = 264.
  36. 2y(6x + y) — Termenii au factorul comun 2y: 12xy + 2y² = 2y·6x + 2y·y = 2y(6x + y).
  37. 6x²(6x + 1) — Factorul comun maxim este 6x² (cel mai mare divizor al coeficienților și cea mai mică putere a lui x). 36x³ + 6x² = 6x²(6x + 1).
  38. (x + 4)(x + 4) — Grupăm: (x² + 4x) + (4x + 16) = x(x + 4) + 4(x + 4) = (x + 4)(x + 4).
  39. 6y(5x + y) — Termenii au factorul comun 6y: 30xy + 6y² = 6y·5x + 6y·y = 6y(5x + y).
  40. 6x(4x + 5) — Factorul comun maxim este 6x (cel mai mare divizor al coeficienților și cea mai mică putere a lui x). 24x² + 30x = 6x(4x + 5).
  41. (5x − 2)² — 25x² − 20x + 4 = (5x)² − 2·5x·2 + 2² = (5x − 2)².
  42. 3y(4x + 4y) — Termenii au factorul comun 3y: 12xy + 12y² = 3y·4x + 3y·4y = 3y(4x + 4y).
  43. 378 — 6·7·4 + 6·7·5 = 6·7·(4 + 5) = 42·9 = 378.
  44. 2y(5x + 2y) — Termenii au factorul comun 2y: 10xy + 4y² = 2y·5x + 2y·2y = 2y(5x + 2y).
  45. 5y(4x + 4y) — Termenii au factorul comun 5y: 20xy + 20y² = 5y·4x + 5y·4y = 5y(4x + 4y).
  46. (x + 2)(x + 3) — Grupăm: (x² + 2x) + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3).
  47. 5x(4x + 1) — Factorul comun maxim este 5x (cel mai mare divizor al coeficienților și cea mai mică putere a lui x). 20x² + 5x = 5x(4x + 1).
  48. 90 — 9·2·2 + 9·2·3 = 9·2·(2 + 3) = 18·5 = 90.
  49. 2y(4x + y) — Termenii au factorul comun 2y: 8xy + 2y² = 2y·4x + 2y·y = 2y(4x + y).
  50. (x + 7)(x + 2) — Căutăm două numere cu suma 9 și produsul 14: 7 și 2. Atunci x² + 9x + 14 = x² + 7x + 2x + 14, grupăm: x(x + 7) + 2(x + 7) = (x + 7)(x + 2).

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Care dintre numerele următoare divide numărul 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ pentru orice n ∈ ℕ?
    Variante: A) 27  ·  B) 20  ·  C) 4  ·  D) 22  ·  E) 31
  2. Descompune în factori: x³ − 9x.
  3. Descompune în factori prin grupare: x² − xy + 2x − 2y.
  4. Care dintre numerele următoare divide numărul 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ pentru orice n ∈ ℕ?
    Variante: A) 12  ·  B) 23  ·  C) 6  ·  D) 32  ·  E) 33
  5. Descompune în factori: 3x² + 6x − 24.
  6. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·6 + 2ⁿ·2 pentru n = 5.
  7. Descompune în factori: x² − 10x + 25 − 4y².
  8. Descompune în factori: x³ − 49x.
  9. Descompune în factori: 3x² + 12x − 63.
  10. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·4 + 2ⁿ·9 pentru n = 5.
  11. Descompune în factori: 4x² + 8x − 60.
  12. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·2 + 2ⁿ·4 pentru n = 5.
  13. Descompune în factori: x⁴ − 256.
  14. Descompune în factori prin grupare: x² − xy + 4x − 4y.
  15. Descompune în factori: x⁴ − 81.
  16. Descompune în factori: x³ − 25x.
  17. Care dintre numerele următoare divide numărul 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ pentru orice n ∈ ℕ?
    Variante: A) 3  ·  B) 37  ·  C) 36  ·  D) 12  ·  E) 39
  18. Descompune în factori: 4x² + 32x + 28.
  19. Descompune în factori prin grupare: x² − xy + 3x − 3y.
  20. Descompune în factori: x⁴ − 16.
  21. Dacă x + y = 11 și x − y = 2, calculează x² − y².
  22. Descompune în factori prin grupare: x² − xy + 5x − 5y.
  23. Descompune în factori: 3x² − 18x + 15.
  24. Descompune în factori: 3x² + 9x − 54.
  25. Descompune în factori: x² − 8x + 16 − 16y².
  26. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·9 + 2ⁿ·3 pentru n = 5.
  27. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·8 + 2ⁿ·6 pentru n = 5.
  28. Dacă x + y = 12 și x − y = 2, calculează x² − y².
  29. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·7 + 2ⁿ·5 pentru n = 5.
  30. Descompune în factori: x³ − 81x.
  31. Descompune în factori: x² − 12x + 36 − y².
  32. Descompune în factori: 3x² + 24x + 36.
  33. Descompune în factori: 2x² + 4x − 16.
  34. Descompune în factori prin grupare: x² − xy + x − y.
  35. Descompune în factori: x² − 12x + 36 − 25y².
  36. Descompune în factori: 2x² − 2x − 4.
  37. Care dintre numerele următoare divide numărul 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ pentru orice n ∈ ℕ?
    Variante: A) 19  ·  B) 7  ·  C) 30  ·  D) 25  ·  E) 8
  38. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·2 + 2ⁿ·5 pentru n = 5.
  39. Descompune în factori: x² − 6x + 9 − y².
  40. Descompune în factori: 3x² − 12.
  41. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·8 + 2ⁿ·9 pentru n = 5.
  42. Descompune în factori: x² − 6x + 9 − 25y².
  43. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·3 + 2ⁿ·2 pentru n = 5.
  44. Descompune în factori: 3x² + 27x + 60.
  45. Descompune în factori: 3x² − 15x + 12.
  46. Descompune în factori: x² − 12x + 36 − 16y².
  47. Descompune în factori: x² − 10x + 25 − 36y².
  48. Calculează, prin descompunere în factori, 2ⁿ·8 + 2ⁿ·4 pentru n = 5.
  49. Descompune în factori: 3x² − 27x + 60.
  50. Descompune în factori: 3x² − 27x + 42.
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 4 — 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ = 3ⁿ(1 + 3) = 4·3ⁿ. Este multiplu de 4 pentru orice n; pentru n = 0 valoarea este 4, deci niciun alt număr din listă nu divide toate valorile.
  2. x(x − 3)(x + 3) — Scoatem x: x(x² − 9) = x(x − 3)(x + 3).
  3. (x − y)(x + 2) — Grupăm: (x² − xy) + (2x − 2y) = x(x − y) + 2(x − y) = (x − y)(x + 2).
  4. 6 — 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ = 5ⁿ(1 + 5) = 6·5ⁿ. Este multiplu de 6 pentru orice n; pentru n = 0 valoarea este 6, deci niciun alt număr din listă nu divide toate valorile.
  5. 3(x − 2)(x + 4) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² + 2x − 8). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 2)(x + 4).
  6. 256 — 2ⁿ·6 + 2ⁿ·2 = 2ⁿ(6 + 2) = 32·8 = 256.
  7. (x − 5 − 2y)(x − 5 + 2y) — x² − 10x + 25 = (x − 5)², deci expresia este (x − 5)² − (2y)² = (x − 5 − 2y)(x − 5 + 2y).
  8. x(x − 7)(x + 7) — Scoatem x: x(x² − 49) = x(x − 7)(x + 7).
  9. 3(x − 3)(x + 7) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² + 4x − 21). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 3)(x + 7).
  10. 416 — 2ⁿ·4 + 2ⁿ·9 = 2ⁿ(4 + 9) = 32·13 = 416.
  11. 4(x − 3)(x + 5) — Scoatem factorul comun 4: 4(x² + 2x − 15). Apoi trinomul se descompune: 4(x − 3)(x + 5).
  12. 192 — 2ⁿ·2 + 2ⁿ·4 = 2ⁿ(2 + 4) = 32·6 = 192.
  13. (x − 4)(x + 4)(x² + 16) — x⁴ − 256 = (x²)² − (16)² = (x² − 16)(x² + 16) = (x − 4)(x + 4)(x² + 16).
  14. (x − y)(x + 4) — Grupăm: (x² − xy) + (4x − 4y) = x(x − y) + 4(x − y) = (x − y)(x + 4).
  15. (x − 3)(x + 3)(x² + 9) — x⁴ − 81 = (x²)² − (9)² = (x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9).
  16. x(x − 5)(x + 5) — Scoatem x: x(x² − 25) = x(x − 5)(x + 5).
  17. 3 — 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ(1 + 2) = 3·2ⁿ. Este multiplu de 3 pentru orice n; pentru n = 0 valoarea este 3, deci niciun alt număr din listă nu divide toate valorile.
  18. 4(x + 1)(x + 7) — Scoatem factorul comun 4: 4(x² + 8x + 7). Apoi trinomul se descompune: 4(x + 1)(x + 7).
  19. (x − y)(x + 3) — Grupăm: (x² − xy) + (3x − 3y) = x(x − y) + 3(x − y) = (x − y)(x + 3).
  20. (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − (4)² = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
  21. 22 — x² − y² = (x − y)(x + y) = 2·11 = 22.
  22. (x − y)(x + 5) — Grupăm: (x² − xy) + (5x − 5y) = x(x − y) + 5(x − y) = (x − y)(x + 5).
  23. 3(x − 1)(x − 5) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² − 6x + 5). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 1)(x − 5).
  24. 3(x + 6)(x − 3) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² + 3x − 18). Apoi trinomul se descompune: 3(x + 6)(x − 3).
  25. (x − 4 − 4y)(x − 4 + 4y) — x² − 8x + 16 = (x − 4)², deci expresia este (x − 4)² − (4y)² = (x − 4 − 4y)(x − 4 + 4y).
  26. 384 — 2ⁿ·9 + 2ⁿ·3 = 2ⁿ(9 + 3) = 32·12 = 384.
  27. 448 — 2ⁿ·8 + 2ⁿ·6 = 2ⁿ(8 + 6) = 32·14 = 448.
  28. 24 — x² − y² = (x − y)(x + y) = 2·12 = 24.
  29. 384 — 2ⁿ·7 + 2ⁿ·5 = 2ⁿ(7 + 5) = 32·12 = 384.
  30. x(x − 9)(x + 9) — Scoatem x: x(x² − 81) = x(x − 9)(x + 9).
  31. (x − 6 − y)(x − 6 + y) — x² − 12x + 36 = (x − 6)², deci expresia este (x − 6)² − (y)² = (x − 6 − y)(x − 6 + y).
  32. 3(x + 6)(x + 2) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² + 8x + 12). Apoi trinomul se descompune: 3(x + 6)(x + 2).
  33. 2(x + 4)(x − 2) — Scoatem factorul comun 2: 2(x² + 2x − 8). Apoi trinomul se descompune: 2(x + 4)(x − 2).
  34. (x − y)(x + 1) — Grupăm: (x² − xy) + (1x − 1y) = x(x − y) + 1(x − y) = (x − y)(x + 1).
  35. (x − 6 − 5y)(x − 6 + 5y) — x² − 12x + 36 = (x − 6)², deci expresia este (x − 6)² − (5y)² = (x − 6 − 5y)(x − 6 + 5y).
  36. 2(x + 1)(x − 2) — Scoatem factorul comun 2: 2(x² − x − 2). Apoi trinomul se descompune: 2(x + 1)(x − 2).
  37. 8 — 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ = 7ⁿ(1 + 7) = 8·7ⁿ. Este multiplu de 8 pentru orice n; pentru n = 0 valoarea este 8, deci niciun alt număr din listă nu divide toate valorile.
  38. 224 — 2ⁿ·2 + 2ⁿ·5 = 2ⁿ(2 + 5) = 32·7 = 224.
  39. (x − 3 − y)(x − 3 + y) — x² − 6x + 9 = (x − 3)², deci expresia este (x − 3)² − (y)² = (x − 3 − y)(x − 3 + y).
  40. 3(x − 2)(x + 2) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² − 4). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 2)(x + 2).
  41. 544 — 2ⁿ·8 + 2ⁿ·9 = 2ⁿ(8 + 9) = 32·17 = 544.
  42. (x − 3 − 5y)(x − 3 + 5y) — x² − 6x + 9 = (x − 3)², deci expresia este (x − 3)² − (5y)² = (x − 3 − 5y)(x − 3 + 5y).
  43. 160 — 2ⁿ·3 + 2ⁿ·2 = 2ⁿ(3 + 2) = 32·5 = 160.
  44. 3(x + 5)(x + 4) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² + 9x + 20). Apoi trinomul se descompune: 3(x + 5)(x + 4).
  45. 3(x − 1)(x − 4) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² − 5x + 4). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 1)(x − 4).
  46. (x − 6 − 4y)(x − 6 + 4y) — x² − 12x + 36 = (x − 6)², deci expresia este (x − 6)² − (4y)² = (x − 6 − 4y)(x − 6 + 4y).
  47. (x − 5 − 6y)(x − 5 + 6y) — x² − 10x + 25 = (x − 5)², deci expresia este (x − 5)² − (6y)² = (x − 5 − 6y)(x − 5 + 6y).
  48. 384 — 2ⁿ·8 + 2ⁿ·4 = 2ⁿ(8 + 4) = 32·12 = 384.
  49. 3(x − 4)(x − 5) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² − 9x + 20). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 4)(x − 5).
  50. 3(x − 7)(x − 2) — Scoatem factorul comun 3: 3(x² − 9x + 14). Apoi trinomul se descompune: 3(x − 7)(x − 2).

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a