Acasă › Clasa a 8-a › Operații cu numere reale reprezentate prin litere; reducerea termenilor asemenea

Operații cu numere reale reprezentate prin litere; reducerea termenilor asemenea

Monoame, termeni asemenea, adunare, scădere, înmulțire, împărțire, puteri cu exponent întreg, valoarea numerică a unei expresii.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Monoame și termeni asemenea

Un monom este un produs dintre un număr (coeficient) și una sau mai multe litere ridicate la puteri (partea literală): 5x², −3xy, 7. Doi termeni sunt asemenea dacă au aceeași parte literală: 4x²y și −9x²y sunt asemenea; 4x²y și 4xy² nu.

ax + bx = (a + b)x (reducerea termenilor asemenea)
se adună coeficienții, partea literală rămâne neschimbată

Puteri: regulile de calcul

xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ    xᵐ : xⁿ = xᵐ⁻ⁿ (x ≠ 0)
(xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ    (xy)ⁿ = xⁿyⁿ
x⁰ = 1 (x ≠ 0)    x⁻ⁿ = 1/xⁿ

Exemplul 1. Reduce termenii asemenea: 5x² − 3x + 2x² + 7x − 4.

Metoda 1 (grupând termenii). x²: 5x² + 2x² = 7x². x: −3x + 7x = 4x. Rămâne −4. Rezultat: 7x² + 4x − 4.

Metoda 2 (pe coloane). Scriem termenii pe coloane după putere: x²: 5 și 2 → 7; x: −3 și 7 → 4; liberi: −4. Același rezultat.

Exemplul 2. Calculează (2x²y)³·xy².

Metoda 1 (puterea întâi). (2x²y)³ = 8x⁶y³. Apoi 8x⁶y³·xy² = 8x⁷y⁵.

Metoda 2 (pe factori). Coeficienți: 2³ = 8. Puterile lui x: 6 + 1 = 7. Ale lui y: 3 + 2 = 5. Rezultat: 8x⁷y⁵.

Adunarea, scăderea și înmulțirea expresiilor

La scădere cu paranteză, semnul minus din fața parantezei schimbă semnele tuturor termenilor din ea. La înmulțire se folosește distributivitatea: fiecare termen al primului factor se înmulțește cu fiecare termen al celui de-al doilea.

a(b + c) = ab + ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemplul 3. Calculează (3x² − 2x + 5) − (x² + 4x − 1).

Metoda 1 (cu schimbarea semnelor). −(x² + 4x − 1) = −x² − 4x + 1. Adunăm: 3x² − x² = 2x²; −2x − 4x = −6x; 5 + 1 = 6. Rezultat: 2x² − 6x + 6.

Metoda 2 (termen cu termen). x²: 3 − 1 = 2; x: −2 − 4 = −6; liberi: 5 − (−1) = 6. Rezultat: 2x² − 6x + 6.

Exemplul 4. Calculează (x + 3)(x + 5).

Metoda 1 (prin distributivitate). x·x + x·5 + 3·x + 3·5 = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.

Metoda 2 (cu aria unui dreptunghi). Un dreptunghi cu laturile x + 3 și x + 5 se împarte în patru zone: x², 5x, 3x și 15. Aria totală este x² + 8x + 15.

(x + 3)(x + 5): cele patru zone ale dreptunghiului sunt x², 5x, 3x și 3·5

Valoarea numerică a unei expresii

Pentru a calcula valoarea unei expresii pentru x = t, înlocuim x cu t și efectuăm calculele cu atenție la semne. Dacă expresia se poate simplifica, e mai ușor să o simplificăm mai întâi.

Exemplul 5. Calculează E = 2x² − 3x + 1 pentru x = −2.

Metoda 1 (înlocuire directă). E = 2·(−2)² − 3·(−2) + 1 = 2·4 + 6 + 1 = 15.

Metoda 2 (schema lui Horner). Pe coeficienții 2, −3, 1: 2 → 2·(−2) + (−3) = −7 → −7·(−2) + 1 = 15.

Greșeli frecvente

Se adună și exponenții la adunare: x² + x² = x⁴ (corect: 2x²).
Se uită schimbarea semnelor după un minus în fața parantezei.
(2x)² = 2x² (corect: 4x²).
La x·x² se scrie x² în loc de x³.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Calculează x · x².
Care dintre termenii următori este asemenea cu 8x?
Variante: A) 5x · B) 7x² · C) 8xy · D) xy · E) 6xy²
Calculează x³ · x.
Reduce termenii asemenea: −2x² − 9x².
Calculează (4x³) · (5x³).
Care este forma redusă a expresiei −x − 6 + 4x?
Care dintre termenii următori este asemenea cu 6x³?
Variante: A) 4x³y · B) 6xy³ · C) 4x⁴ · D) 2x³ · E) 9x³y²
Calculează x⁹ : x⁴, x ≠ 0.
Care este forma redusă a expresiei −x + 1 + 7x?
Calculează valoarea expresiei E = −4x + 1 pentru x = 3.
Calculează (−2x³) · (4x²).
Care este forma redusă a expresiei x + 4 + 6x?
Calculează valoarea expresiei E = −2x + 6 pentru x = −1.
Care dintre termenii următori este asemenea cu 9xy?
Variante: A) 4xy² · B) x³ · C) 8xy³ · D) 3x²y · E) 8xy
Calculează (−5x³) · (4x²).
Care este forma redusă a expresiei 7x + 4 − 2x?
Calculează valoarea expresiei E = 6x − 2 pentru x = −2.
Care dintre termenii următori este asemenea cu 2x²y?
Variante: A) 2x²y² · B) 8x²y · C) 6x²y³ · D) x³y · E) 8x²y²
Calculează (2x) · (−4x).
Calculează valoarea expresiei E = −4x − 2 pentru x = 4.
Calculează (5x³) · (2x).
Calculează valoarea expresiei E = 3x − 2 pentru x = −4.
Care dintre termenii următori este asemenea cu 8xy²?
Variante: A) 7x³y · B) xy³ · C) 9xy² · D) 9x²y² · E) 5xy⁴
Care este forma redusă a expresiei x − 1 + 7x?
Care este forma redusă a expresiei −x + 1 + 4x?
Calculează (−2x²) · (−2x²).
Care dintre termenii următori este asemenea cu 9x³y?
Variante: A) 5x³y³ · B) 4x⁴y · C) 8x³y · D) 8x³y² · E) 9x²y³
Calculează x⁶ · x.
Calculează x⁷ : x³, x ≠ 0.
Calculează x⁵ · x.
Calculează (3x²) · (5x³).
Care dintre termenii următori este asemenea cu 9x²y?
Variante: A) 9x²y² · B) 2x²y³ · C) 5x²y² · D) 5x²y · E) 7x³y
Calculează x³ : x², x ≠ 0.
Care este forma redusă a expresiei 4x + 5 + 2x?
Care dintre termenii următori este asemenea cu 6x²y?
Variante: A) 2x²y² · B) 4x²y² · C) 2x²y · D) 4x²y³ · E) 6x³y
Care dintre termenii următori este asemenea cu 6x²?
Variante: A) 6xy² · B) 8x²y · C) 7x² · D) 4x²y² · E) 6x³
Calculează x⁴ · x².
Care este forma redusă a expresiei 3x + 1 + 6x?
Calculează (5x) · (3x³).
Calculează x² · x.
Calculează x³ · x⁵.
Care dintre termenii următori este asemenea cu 4xy²?
Variante: A) 9x²y² · B) 6x³y · C) xy² · D) 9xy⁴ · E) 8xy³
Care dintre termenii următori este asemenea cu 2xy?
Variante: A) 6xy · B) 4xy² · C) 6x³ · D) 9xy³ · E) 6x²y
Care este forma redusă a expresiei 2x + 1 − 3x?
Care dintre termenii următori este asemenea cu 7x³y²?
Variante: A) 6x³y³ · B) 2x³y⁴ · C) 9x⁴y² · D) 3x³y³ · E) 5x³y²
Calculează (−4x) · (−3x²).
Calculează (4x²) · (3x³).
Calculează valoarea expresiei E = 5x + 3 pentru x = 4.
Calculează (5x) · (−3x³).
Care este forma redusă a expresiei x + 2 + x?

Arată răspunsurile: nivel ușor

x³ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^1·x^2 = x^3.
5x — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 5x are partea literală x ca 8x.
x⁴ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^3·x^1 = x^4.
−11x² — Se adună coeficienții și se păstrează partea literală: (−2) + (−9) = −11, deci rezultatul este −11x².
20x⁶ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (4)·(5) = 20, x^3·x^3 = x^6.
3x − 6 — Termenii cu x se reduc: (−1 + 4)x = 3x; termenul liber −6 rămâne. Forma redusă: 3x − 6.
2x³ — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 2x³ are partea literală x³ ca 6x³.
x⁵ — La împărțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se scad: x^9 : x^4 = x^5.
6x + 1 — Termenii cu x se reduc: (−1 + 7)x = 6x; termenul liber 1 rămâne. Forma redusă: 6x + 1.
−11 — Pentru x = 3: E = −4·3 + 1 = −12 + 1 = −11.
−8x⁵ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (−2)·(4) = −8, x^3·x^2 = x^5.
7x + 4 — Termenii cu x se reduc: (1 + 6)x = 7x; termenul liber 4 rămâne. Forma redusă: 7x + 4.
8 — Pentru x = −1: E = −2·(−1) + 6 = 2 + 6 = 8.
8xy — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 8xy are partea literală xy ca 9xy.
−20x⁵ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (−5)·(4) = −20, x^3·x^2 = x^5.
5x + 4 — Termenii cu x se reduc: (7 − 2)x = 5x; termenul liber 4 rămâne. Forma redusă: 5x + 4.
−14 — Pentru x = −2: E = 6·(−2) + (−2) = −12 + (−2) = −14.
8x²y — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 8x²y are partea literală x²y ca 2x²y.
−8x² — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (2)·(−4) = −8, x^1·x^1 = x^2.
−18 — Pentru x = 4: E = −4·4 + (−2) = −16 + (−2) = −18.
10x⁴ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (5)·(2) = 10, x^3·x^1 = x^4.
−14 — Pentru x = −4: E = 3·(−4) + (−2) = −12 + (−2) = −14.
9xy² — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 9xy² are partea literală xy² ca 8xy².
8x − 1 — Termenii cu x se reduc: (1 + 7)x = 8x; termenul liber −1 rămâne. Forma redusă: 8x − 1.
3x + 1 — Termenii cu x se reduc: (−1 + 4)x = 3x; termenul liber 1 rămâne. Forma redusă: 3x + 1.
4x⁴ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (−2)·(−2) = 4, x^2·x^2 = x^4.
8x³y — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 8x³y are partea literală x³y ca 9x³y.
x⁷ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^6·x^1 = x^7.
x⁴ — La împărțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se scad: x^7 : x^3 = x^4.
x⁶ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^5·x^1 = x^6.
15x⁵ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (3)·(5) = 15, x^2·x^3 = x^5.
5x²y — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 5x²y are partea literală x²y ca 9x²y.
x — La împărțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se scad: x^3 : x^2 = x^1.
6x + 5 — Termenii cu x se reduc: (4 + 2)x = 6x; termenul liber 5 rămâne. Forma redusă: 6x + 5.
2x²y — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 2x²y are partea literală x²y ca 6x²y.
7x² — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 7x² are partea literală x² ca 6x².
x⁶ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^4·x^2 = x^6.
9x + 1 — Termenii cu x se reduc: (3 + 6)x = 9x; termenul liber 1 rămâne. Forma redusă: 9x + 1.
15x⁴ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (5)·(3) = 15, x^1·x^3 = x^4.
x³ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^2·x^1 = x^3.
x⁸ — La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: x^3·x^5 = x^8.
xy² — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. xy² are partea literală xy² ca 4xy².
6xy — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 6xy are partea literală xy ca 2xy.
−x + 1 — Termenii cu x se reduc: (2 − 3)x = −1x; termenul liber 1 rămâne. Forma redusă: −x + 1.
5x³y² — Termenii sunt asemenea dacă au aceeași parte literală, adică aceleași litere cu aceiași exponenți. 5x³y² are partea literală x³y² ca 7x³y².
12x³ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (−4)·(−3) = 12, x^1·x^2 = x^3.
12x⁵ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (4)·(3) = 12, x^2·x^3 = x^5.
23 — Pentru x = 4: E = 5·4 + 3 = 20 + 3 = 23.
−15x⁴ — Se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții: (5)·(−3) = −15, x^1·x^3 = x^4.
2x + 2 — Termenii cu x se reduc: (1 + 1)x = 2x; termenul liber 2 rămâne. Forma redusă: 2x + 2.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Calculează (7x² + x − 2) + (−4x² − 2x − 1).
Calculează (x − 1)(x − 5).
Scrie sub formă de putere cu exponent întreg: x³ · x⁻⁷.
Calculează valoarea expresiei E = 3x² + x − 6 pentru x = 3.
Calculează (−x + 5)(3x − 1).
Calculează (x − 2)(x − 1).
Calculează (3x − 1)(−5x + 5).
Calculează −3(−2x + 5).
Calculează −3(−2x + 8).
Calculează (−2x − 4)(x − 2).
Scrie sub formă de putere cu exponent întreg: x⁵ · x⁻⁷.
Calculează (5x² − 5x + 7) − (2x² − 3x − 3).
Calculează (4x + 3)(−4x + 3).
Scrie sub formă de putere cu exponent întreg: x⁴ · x⁻⁶.
Calculează −5(6x + 3).
Calculează (x² − 2x − 5) − (2x² + 3x − 1).
Calculează (−x² + 2x + 6) + (6x² + 3x + 5).
Calculează (−5x² + x + 5) + (−5x² − 4x − 1).
Calculează (3x² − x − 4) − (7x² − 6x − 4).
Calculează (7x² − x + 1) + (4x² − 4x − 2).
Calculează (x − 4)(x − 5).
Calculează −3(−2x + 4).
Calculează (−x² − x + 6) − (−4x² + 6x + 5).
Calculează −6(−x − 7).
Calculează (3x + 1)(3x − 3).
Calculează (x − 4)(x − 7).
Calculează (4x + 3)(6x − 4).
Calculează (−2x − 3)(x − 4).
Calculează valoarea expresiei E = −3x² + 2x pentru x = −2.
Calculează (x − 2)(x − 2).
Calculează (x² + 7x + 5) + (4x² + 6x − 2).
Calculează valoarea expresiei E = −x² + x − 2 pentru x = 4.
Calculează (4x² − 4x − 1) − (−x² + 6x + 1).
Calculează (2xy²)³.
Calculează (−2x − 1)(−x − 2).
Calculează (x − 4)(x − 6).
Calculează (x − 4)(x − 1).
Calculează (−2x − 3)(5x − 3).
Calculează (x − 7)(x + 4).
Calculează (x + 1)(x + 7).
Calculează (x + 7)(x − 7).
Calculează (−3x² + 2x − 6) − (4x² + x + 6).
Calculează (4x² − 3x − 2) − (−3x² − 2x + 6).
Calculează (2x² − x + 2) + (3x² + 5x + 1).
Scrie sub formă de putere cu exponent întreg: x⁵ · x⁻⁶.
Calculează (x − 5)(x − 7).
Scrie sub formă de putere cu exponent întreg: x³ · x⁻⁸.
Calculează (−3x − 2)(6x − 2).
Calculează (−4x² + 2x + 1) − (−2x² + 2x − 5).
Calculează valoarea expresiei E = 4x² − 5x + 3 pentru x = 4.

Arată răspunsurile: nivel mediu

3x² − x − 3 — Adunăm termenii asemenea: x²: 7+(−4); x: 1+(−2); numere: −2+(−1). Rezultat: 3x² − x − 3.
x² − 6x + 5 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−5) + (−1)·x + (−1)(−5) = x² − 6x + 5.
x⁻⁴ — x^3 · x^(−7) = x^(3−7) = x^(-4) = 1/x^4.
24 — Pentru x = 3: E = 3·3² + 1·3 + (−6) = 27 + 3 − 6 = 24.
−3x² + 16x − 5 — (−x + 5)(3x − 1) = −3x² + x + 15x − 5, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −3x² + 16x − 5.
x² − 3x + 2 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−1) + (−2)·x + (−2)(−1) = x² − 3x + 2.
−15x² + 20x − 5 — (3x − 1)(−5x + 5) = −15x² + 15x + 5x − 5, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −15x² + 20x − 5.
6x − 15 — Înmulțim fiecare termen din paranteză cu −3: −3·(−2)x și −3·5. Rezultat: 6x − 15.
6x − 24 — Înmulțim fiecare termen din paranteză cu −3: −3·(−2)x și −3·8. Rezultat: 6x − 24.
−2x² + 8 — (−2x − 4)(x − 2) = −2x² + 4x − 4x + 8, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −2x² + 8.
x⁻² — x^5 · x^(−7) = x^(5−7) = x^(-2) = 1/x^2.
3x² − 2x + 10 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(2x² − 3x − 3) = −2x² + 3x + 3. Apoi reducem: 3x² − 2x + 10.
−16x² + 9 — (4x + 3)(−4x + 3) = −16x² + 12x − 12x + 9, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −16x² + 9.
x⁻² — x^4 · x^(−6) = x^(4−6) = x^(-2) = 1/x^2.
−30x − 15 — Înmulțim fiecare termen din paranteză cu −5: −5·6x și −5·3. Rezultat: −30x − 15.
−x² − 5x − 4 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(2x² + 3x − 1) = −2x² − 3x + 1. Apoi reducem: −x² − 5x − 4.
5x² + 5x + 11 — Adunăm termenii asemenea: x²: −1+(6); x: 2+(3); numere: 6+(5). Rezultat: 5x² + 5x + 11.
−10x² − 3x + 4 — Adunăm termenii asemenea: x²: −5+(−5); x: 1+(−4); numere: 5+(−1). Rezultat: −10x² − 3x + 4.
−4x² + 5x — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(7x² − 6x − 4) = −7x² + 6x + 4. Apoi reducem: −4x² + 5x.
11x² − 5x − 1 — Adunăm termenii asemenea: x²: 7+(4); x: −1+(−4); numere: 1+(−2). Rezultat: 11x² − 5x − 1.
x² − 9x + 20 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−5) + (−4)·x + (−4)(−5) = x² − 9x + 20.
6x − 12 — Înmulțim fiecare termen din paranteză cu −3: −3·(−2)x și −3·4. Rezultat: 6x − 12.
3x² − 7x + 1 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(−4x² + 6x + 5) = 4x² − 6x − 5. Apoi reducem: 3x² − 7x + 1.
6x + 42 — Înmulțim fiecare termen din paranteză cu −6: −6·(−1)x și −6·(−7). Rezultat: 6x + 42.
9x² − 6x − 3 — (3x + 1)(3x − 3) = 9x² − 9x + 3x − 3, iar după reducerea termenilor asemenea obținem 9x² − 6x − 3.
x² − 11x + 28 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−7) + (−4)·x + (−4)(−7) = x² − 11x + 28.
24x² + 2x − 12 — (4x + 3)(6x − 4) = 24x² − 16x + 18x − 12, iar după reducerea termenilor asemenea obținem 24x² + 2x − 12.
−2x² + 5x + 12 — (−2x − 3)(x − 4) = −2x² + 8x − 3x + 12, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −2x² + 5x + 12.
−16 — Pentru x = −2: E = −3·(−2)² + 2·(−2) + 0 = −12 − 4 + 0 = −16.
x² − 4x + 4 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−2) + (−2)·x + (−2)(−2) = x² − 4x + 4.
5x² + 13x + 3 — Adunăm termenii asemenea: x²: 1+(4); x: 7+(6); numere: 5+(−2). Rezultat: 5x² + 13x + 3.
−14 — Pentru x = 4: E = −1·4² + 1·4 + (−2) = −16 + 4 − 2 = −14.
5x² − 10x − 2 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(−x² + 6x + 1) = x² − 6x − 1. Apoi reducem: 5x² − 10x − 2.
8x³y⁶ — Se ridică la putere fiecare factor: (2)^3 = 8, x^3, y^6. Rezultat: 8x³y⁶.
2x² + 5x + 2 — (−2x − 1)(−x − 2) = 2x² + 4x + x + 2, iar după reducerea termenilor asemenea obținem 2x² + 5x + 2.
x² − 10x + 24 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−6) + (−4)·x + (−4)(−6) = x² − 10x + 24.
x² − 5x + 4 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−1) + (−4)·x + (−4)(−1) = x² − 5x + 4.
−10x² − 9x + 9 — (−2x − 3)(5x − 3) = −10x² + 6x − 15x + 9, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −10x² − 9x + 9.
x² − 3x − 28 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(4) + (−7)·x + (−7)(4) = x² − 3x − 28.
x² + 8x + 7 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(7) + (1)·x + (1)(7) = x² + 8x + 7.
x² − 49 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−7) + (7)·x + (7)(−7) = x² − 49.
−7x² + x − 12 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(4x² + x + 6) = −4x² − x − 6. Apoi reducem: −7x² + x − 12.
7x² − x − 8 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(−3x² − 2x + 6) = 3x² + 2x − 6. Apoi reducem: 7x² − x − 8.
5x² + 4x + 3 — Adunăm termenii asemenea: x²: 2+(3); x: −1+(5); numere: 2+(1). Rezultat: 5x² + 4x + 3.
x⁻¹ — x^5 · x^(−6) = x^(5−6) = x^(-1) = 1/x^1.
x² − 12x + 35 — Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua: x·x + x·(−7) + (−5)·x + (−5)(−7) = x² − 12x + 35.
x⁻⁵ — x^3 · x^(−8) = x^(3−8) = x^(-5) = 1/x^5.
−18x² − 6x + 4 — (−3x − 2)(6x − 2) = −18x² + 6x − 12x + 4, iar după reducerea termenilor asemenea obținem −18x² − 6x + 4.
−2x² + 6 — Parantezele cu minus în față schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză: −(−2x² + 2x − 5) = 2x² − 2x + 5. Apoi reducem: −2x² + 6.
47 — Pentru x = 4: E = 4·4² + (−5)·4 + 3 = 64 − 20 + 3 = 47.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Calculează (x − 4)(x + 5) − (x − 1)(x + 5).
Calculează 4(x − 5) + 6(x − 3) − 3(x − 1).
Calculează valoarea expresiei E = (x + 2)(x + 5) − x² pentru x = 3.
Simplifică (x³)³ · x² : x, x ≠ 0.
Calculează (x − 2)(x − 1) − (x + 1)(x + 3).
Calculează (x + 6)(x − 3) − (x + 5)(x − 3).
Calculează (x + 3)(x² − 3x + 9).
Calculează (3x − 3)(x − 4) − 5·x(x + 2).
Pentru ce valoare a lui m expresia E = (m + 5)x + 6 nu depinde de x?
Calculează 4(x + 4) + 4(x + 2) + 2(x − 4).
Calculează (−3x + 5)(x + 3) − 4·x(x − 2).
Calculează −5(x + 4) − 2(x + 4) − 5(x − 4).
Calculează (x + 4)(x − 4) − (x + 5)(x + 3).
Calculează (−x + 1)(−x − 1) − 5(x + 1).
Calculează (x + 1)(x² − 1x + 1).
Calculează (−2x + 2)(x − 1) − 2·x(x + 4).
Pentru ce valoare a lui m expresia E = (m − 3)x − 1 nu depinde de x?
Simplifică (x²)⁴ · x⁴ : x³, x ≠ 0.
Simplifică (x³)⁴ · x⁴ : x, x ≠ 0.
Calculează (4x − 4)(x + 3) − 3·x(x − 3).
Simplifică (x⁴)³ · x⁴ : x, x ≠ 0.
Calculează valoarea expresiei E = (5x + 5)(x + 2) − 5x² pentru x = 3.
Calculează (−4x + 3)(−4x − 3) − (−5)(x + 1).
Calculează (x + 4)(x − 4) − (−1)(x + 1).
Calculează (−2x − 3)(−2x + 3) − 5(x + 1).
Calculează 5(x + 3) − 1(x + 6) + 4(x − 2).
Pentru ce valoare a lui m expresia E = (m + 5)x + 4 nu depinde de x?
Calculează (x + 6)(x + 3) − (x + 4)(x − 5).
Calculează (x + 3)(x − 3) − 3(x + 1).
Calculează valoarea expresiei E = (2x + 5)(x + 5) − 2x² pentru x = 3.
Calculează (3x − 2)(3x + 2) − (−5)(x + 1).
Calculează (−2x + 4)(−2x − 4) − 3(x + 1).
Calculează (2x − 1)(x − 2) − 3·x(x − 2).
Simplifică (x⁴)³ · x⁴ : x³, x ≠ 0.
Calculează (2x − 3)(x + 5) − 4·x(x + 1).
Calculează (x − 3)(x² + 3x + 9).
Simplifică (x⁴)² · x³ : x³, x ≠ 0.
Calculează (x − 4)(x² + 4x + 16).
Calculează (4x − 3)(4x + 3) − 3(x + 1).
Calculează (x + 6)(x + 5) − (x − 1)(x − 5).
Calculează (x − 5)(x + 4) − (x + 4)(x + 5).
Calculează valoarea expresiei E = (x + 1)(x + 2) − x² pentru x = 2.
Simplifică (x⁴)³ · x² : x³, x ≠ 0.
Calculează (−2x + 4)(−2x − 4) − (−3)(x + 1).
Calculează 4(x + 2) + 4(x − 5) + 3(x − 1).
Calculează (−3x − 3)(x − 1) − 3·x(x + 4).
Calculează (x + 2)(x + 4) − (x + 4)(x + 5).
Calculează 4(x + 3) − 1(x − 1) − 5(x − 6).
Pentru ce valoare a lui m expresia E = (m − 3)x + 4 nu depinde de x?
Calculează (x − 4)(x − 2) − (x + 6)(x − 2).

Arată răspunsurile: nivel dificil

−3x − 15 — Primul produs: x² + x − 20; al doilea: x² + 4x − 5. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne −3x − 15.
7x − 35 — Desfacem parantezele: 4x − 20 + … și reducem termenii asemenea. Rezultat: 7x − 35.
31 — E = 7x + 10. Pentru x = 3 obținem 31.
x¹⁰ — (x^3)^3 = x^9. Apoi x^9·x^2 = x^11. În final x^11 : x^1 = x^10.
−7x − 1 — Primul produs: x² − 3x + 2; al doilea: x² + 4x + 3. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne −7x − 1.
x − 3 — Primul produs: x² + 3x − 18; al doilea: x² + 2x − 15. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne x − 3.
x³ + 27 — Înmulțim fiecare termen: x³ − 3x² + 9x + 3x² … Termenii în x² și în x se reduc, rămâne x³ + 27.
−2x² − 25x + 12 — Desfacem: (3x − 3)(x − 4) = 3x² − 15x + 12 și 5·x(x + 2) = 5x² + 10x. După scădere: −2x² − 25x + 12.
−5 — Expresia nu depinde de x când coeficientul lui x este 0: m + 5 = 0, deci m = −5.
10x + 16 — Desfacem parantezele: 4x + 16 + … și reducem termenii asemenea. Rezultat: 10x + 16.
−7x² + 4x + 15 — Desfacem: (−3x + 5)(x + 3) = −3x² − 4x + 15 și 4·x(x − 2) = 4x² − 8x. După scădere: −7x² + 4x + 15.
−12x − 8 — Desfacem parantezele: −5x − 20 − … și reducem termenii asemenea. Rezultat: −12x − 8.
−8x − 31 — Primul produs: x² − 16; al doilea: x² + 8x + 15. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne −8x − 31.
x² − 5x − 6 — Primul produs: x² − 1; al doilea: 5x + 5. Rezultat după scădere: x² − 5x − 6.
x³ + 1 — Înmulțim fiecare termen: x³ − 1x² + 1x + 1x² … Termenii în x² și în x se reduc, rămâne x³ + 1.
−4x² − 4x − 2 — Desfacem: (−2x + 2)(x − 1) = −2x² + 4x − 2 și 2·x(x + 4) = 2x² + 8x. După scădere: −4x² − 4x − 2.
3 — Expresia nu depinde de x când coeficientul lui x este 0: m − 3 = 0, deci m = 3.
x⁹ — (x^2)^4 = x^8. Apoi x^8·x^4 = x^12. În final x^12 : x^3 = x^9.
x¹⁵ — (x^3)^4 = x^12. Apoi x^12·x^4 = x^16. În final x^16 : x^1 = x^15.
x² + 17x − 12 — Desfacem: (4x − 4)(x + 3) = 4x² + 8x − 12 și 3·x(x − 3) = 3x² − 9x. După scădere: x² + 17x − 12.
x¹⁵ — (x^4)^3 = x^12. Apoi x^12·x^4 = x^16. În final x^16 : x^1 = x^15.
55 — E = 15x + 10. Pentru x = 3 obținem 55.
16x² + 5x − 4 — Primul produs: 16x² − 9; al doilea: −5x − 5. Rezultat după scădere: 16x² + 5x − 4.
x² + x − 15 — Primul produs: x² − 16; al doilea: −x − 1. Rezultat după scădere: x² + x − 15.
4x² − 5x − 14 — Primul produs: 4x² − 9; al doilea: 5x + 5. Rezultat după scădere: 4x² − 5x − 14.
8x + 1 — Desfacem parantezele: 5x + 15 − … și reducem termenii asemenea. Rezultat: 8x + 1.
−5 — Expresia nu depinde de x când coeficientul lui x este 0: m + 5 = 0, deci m = −5.
10x + 38 — Primul produs: x² + 9x + 18; al doilea: x² − x − 20. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne 10x + 38.
x² − 3x − 12 — Primul produs: x² − 9; al doilea: 3x + 3. Rezultat după scădere: x² − 3x − 12.
70 — E = 15x + 25. Pentru x = 3 obținem 70.
9x² + 5x + 1 — Primul produs: 9x² − 4; al doilea: −5x − 5. Rezultat după scădere: 9x² + 5x + 1.
4x² − 3x − 19 — Primul produs: 4x² − 16; al doilea: 3x + 3. Rezultat după scădere: 4x² − 3x − 19.
−x² + x + 2 — Desfacem: (2x − 1)(x − 2) = 2x² − 5x + 2 și 3·x(x − 2) = 3x² − 6x. După scădere: −x² + x + 2.
x¹³ — (x^4)^3 = x^12. Apoi x^12·x^4 = x^16. În final x^16 : x^3 = x^13.
−2x² + 3x − 15 — Desfacem: (2x − 3)(x + 5) = 2x² + 7x − 15 și 4·x(x + 1) = 4x² + 4x. După scădere: −2x² + 3x − 15.
x³ − 27 — Înmulțim fiecare termen: x³ + 3x² + 9x − 3x² … Termenii în x² și în x se reduc, rămâne x³ − 27.
x⁸ — (x^4)^2 = x^8. Apoi x^8·x^3 = x^11. În final x^11 : x^3 = x^8.
x³ − 64 — Înmulțim fiecare termen: x³ + 4x² + 16x − 4x² … Termenii în x² și în x se reduc, rămâne x³ − 64.
16x² − 3x − 12 — Primul produs: 16x² − 9; al doilea: 3x + 3. Rezultat după scădere: 16x² − 3x − 12.
17x + 25 — Primul produs: x² + 11x + 30; al doilea: x² − 6x + 5. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne 17x + 25.
−10x − 40 — Primul produs: x² − x − 20; al doilea: x² + 9x + 20. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne −10x − 40.
8 — E = 3x + 2. Pentru x = 2 obținem 8.
x¹¹ — (x^4)^3 = x^12. Apoi x^12·x^2 = x^14. În final x^14 : x^3 = x^11.
4x² + 3x − 13 — Primul produs: 4x² − 16; al doilea: −3x − 3. Rezultat după scădere: 4x² + 3x − 13.
11x − 15 — Desfacem parantezele: 4x + 8 + … și reducem termenii asemenea. Rezultat: 11x − 15.
−6x² − 12x + 3 — Desfacem: (−3x − 3)(x − 1) = −3x² + 3 și 3·x(x + 4) = 3x² + 12x. După scădere: −6x² − 12x + 3.
−3x − 12 — Primul produs: x² + 6x + 8; al doilea: x² + 9x + 20. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne −3x − 12.
−2x + 43 — Desfacem parantezele: 4x + 12 − … și reducem termenii asemenea. Rezultat: −2x + 43.
3 — Expresia nu depinde de x când coeficientul lui x este 0: m − 3 = 0, deci m = 3.
−10x + 20 — Primul produs: x² − 6x + 8; al doilea: x² + 4x − 12. Scădem: termenii în x² se reduc, rămâne −10x + 20.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a