Teorema catetei

Teorema catetei, consecințe, legătura cu teorema înălțimii.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Enunțul

Teorema catetei: într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză
AB² = BD·BC AC² = CD·BC

Demonstrația

Triunghiurile ABC și DBA sunt asemenea (UU): ∠B comun și ∠BAC = ∠BDA = 90°. Atunci AB/DB = BC/BA, deci AB² = BD·BC. La fel pentru AC² = CD·BC cu ΔABC ~ ΔDAC.

Consecințe

Împărțind: AB²/AC² = BD/CD
Adunând: AB² + AC² = BC(BD + DC) = BC² (teorema lui Pitagora)
Aria în două moduri: AB·AC = BC·AD

Exemplul 1. BD = 4, BC = 9. Află AB.

Rezolvare. AB² = 4·9 = 36, AB = 6.

Exemplul 2. AB = 6, BC = 9. Află BD, DC și AC.

Rezolvare (în trepte). BD = AB²/BC = 36/9 = 4; DC = 9 − 4 = 5; AC² = DC·BC = 45, AC = 3√5.

Exemplul 3. Proiecțiile catetelor sunt 4 și 16. Află perimetrul.

Rezolvare. BC = 20. AB = √(4·20) = 4√5, AC = √(16·20) = 8√5. P = 20 + 12√5.

Exemplul 4. Arată că AB·AC = BC·AD.

Rezolvare (cu aria). Aria ΔABC = (AB·AC)/2 = (BC·AD)/2, deci AB·AC = BC·AD.

Greșeli frecvente

Se folosește proiecția catetei opuse: AB² = CD·BC (greșit).
Se uită că în teorema catetei apare ipotenuza întreagă, nu proiecția celeilalte catete.
Se aplică teoremele fără unghiul drept.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 1 cm și BC = 10 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 2 cm și BC = 52 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 8 cm și BC = 40 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 6 cm, YZ = 24 cm. Cât este XY (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 2 cm și BC = 34 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 1 cm, BC = 9 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP. Dacă NQ = 8 cm și NP = 26 cm, cât este MN (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 1 cm, BC = 4 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 8 cm, EF = 32 cm. Cât este DE (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF. Dacă EG = 18 cm și EF = 68 cm, cât este DE (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF. Dacă EG = 2 cm și EF = 10 cm, cât este DE (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 1 cm și BC = 26 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 4 cm, YZ = 9 cm. Cât este XY (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 15 cm, BC = 60 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP. Dacă NQ = 16 cm și NP = 41 cm, cât este MN (în cm)?
În triunghiul RST, dreptunghic în R, RU ⊥ ST. Dacă SU = 8 cm și ST = 40 cm, cât este RS (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 2 cm și BC = 20 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 18 cm, LM = 32 cm. Cât este KL (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 1 cm, LM = 4 cm. Cât este KL (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ. Dacă YT = 4 cm și YZ = 13 cm, cât este XY (în cm)?
În triunghiul RST, dreptunghic în R, RU ⊥ ST. Dacă SU = 8 cm și ST = 26 cm, cât este RS (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP. Dacă NQ = 8 cm și NP = 40 cm, cât este MN (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 10 cm, LM = 40 cm. Cât este KL (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 1 cm, EF = 9 cm. Cât este DE (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 8 cm, BC = 32 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul RST, dreptunghic în R, RU ⊥ ST, SU = 12 cm, ST = 75 cm. Cât este RS (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 5 cm, YZ = 20 cm. Cât este XY (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 8 cm și BC = 26 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 9 cm, BC = 25 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 15 cm, NP = 60 cm. Cât este MN (în cm)?
În triunghiul RST, dreptunghic în R, RU ⊥ ST, SU = 4 cm, ST = 36 cm. Cât este RS (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 2 cm, EF = 18 cm. Cât este DE (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM. Dacă LH = 4 cm și LM = 13 cm, cât este KL (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 4 cm, NP = 16 cm. Cât este MN (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 9 cm, BC = 36 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul RST, dreptunghic în R, RU ⊥ ST, SU = 12 cm, ST = 27 cm. Cât este RS (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 4 cm și BC = 13 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 1 cm și BC = 17 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 18 cm și BC = 68 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP. Dacă NQ = 1 cm și NP = 17 cm, cât este MN (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 2 cm, BC = 18 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF. Dacă EG = 32 cm și EF = 82 cm, cât este DE (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 24 cm, BC = 54 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Dacă BD = 8 cm și BC = 58 cm, cât este AB (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 24 cm, EF = 54 cm. Cât este DE (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 4 cm, BC = 16 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 3 cm, BC = 12 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 4 cm, BC = 25 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 18 cm, LM = 50 cm. Cât este KL (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 3 cm, EF = 12 cm. Cât este DE (în cm)?

Arată răspunsurile: nivel ușor

√10 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 1·10 = 10, deci AB = √10 cm.
2√26 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 2·52 = 104, deci AB = 2√26 cm.
8√5 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 8·40 = 320, deci AB = 8√5 cm.
12 — XY² = YT·YZ = 6·24 = 144, deci XY = 12 cm.
2√17 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 2·34 = 68, deci AB = 2√17 cm.
3 — AB² = BD·BC = 1·9 = 9, deci AB = 3 cm.
4√13 — Teorema catetei: MN² = NQ·NP = 8·26 = 208, deci MN = 4√13 cm.
2 — AB² = BD·BC = 1·4 = 4, deci AB = 2 cm.
16 — DE² = EG·EF = 8·32 = 256, deci DE = 16 cm.
6√34 — Teorema catetei: DE² = EG·EF = 18·68 = 1224, deci DE = 6√34 cm.
2√5 — Teorema catetei: DE² = EG·EF = 2·10 = 20, deci DE = 2√5 cm.
√26 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 1·26 = 26, deci AB = √26 cm.
6 — XY² = YT·YZ = 4·9 = 36, deci XY = 6 cm.
30 — AB² = BD·BC = 15·60 = 900, deci AB = 30 cm.
4√41 — Teorema catetei: MN² = NQ·NP = 16·41 = 656, deci MN = 4√41 cm.
8√5 — Teorema catetei: RS² = SU·ST = 8·40 = 320, deci RS = 8√5 cm.
2√10 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 2·20 = 40, deci AB = 2√10 cm.
24 — KL² = LH·LM = 18·32 = 576, deci KL = 24 cm.
2 — KL² = LH·LM = 1·4 = 4, deci KL = 2 cm.
2√13 — Teorema catetei: XY² = YT·YZ = 4·13 = 52, deci XY = 2√13 cm.
4√13 — Teorema catetei: RS² = SU·ST = 8·26 = 208, deci RS = 4√13 cm.
8√5 — Teorema catetei: MN² = NQ·NP = 8·40 = 320, deci MN = 8√5 cm.
20 — KL² = LH·LM = 10·40 = 400, deci KL = 20 cm.
3 — DE² = EG·EF = 1·9 = 9, deci DE = 3 cm.
16 — AB² = BD·BC = 8·32 = 256, deci AB = 16 cm.
30 — RS² = SU·ST = 12·75 = 900, deci RS = 30 cm.
10 — XY² = YT·YZ = 5·20 = 100, deci XY = 10 cm.
4√13 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 8·26 = 208, deci AB = 4√13 cm.
15 — AB² = BD·BC = 9·25 = 225, deci AB = 15 cm.
30 — MN² = NQ·NP = 15·60 = 900, deci MN = 30 cm.
12 — RS² = SU·ST = 4·36 = 144, deci RS = 12 cm.
6 — DE² = EG·EF = 2·18 = 36, deci DE = 6 cm.
2√13 — Teorema catetei: KL² = LH·LM = 4·13 = 52, deci KL = 2√13 cm.
8 — MN² = NQ·NP = 4·16 = 64, deci MN = 8 cm.
18 — AB² = BD·BC = 9·36 = 324, deci AB = 18 cm.
18 — RS² = SU·ST = 12·27 = 324, deci RS = 18 cm.
2√13 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 4·13 = 52, deci AB = 2√13 cm.
√17 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 1·17 = 17, deci AB = √17 cm.
6√34 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 18·68 = 1224, deci AB = 6√34 cm.
√17 — Teorema catetei: MN² = NQ·NP = 1·17 = 17, deci MN = √17 cm.
6 — AB² = BD·BC = 2·18 = 36, deci AB = 6 cm.
8√41 — Teorema catetei: DE² = EG·EF = 32·82 = 2624, deci DE = 8√41 cm.
36 — AB² = BD·BC = 24·54 = 1296, deci AB = 36 cm.
4√29 — Teorema catetei: AB² = BD·BC = 8·58 = 464, deci AB = 4√29 cm.
36 — DE² = EG·EF = 24·54 = 1296, deci DE = 36 cm.
8 — AB² = BD·BC = 4·16 = 64, deci AB = 8 cm.
6 — AB² = BD·BC = 3·12 = 36, deci AB = 6 cm.
10 — AB² = BD·BC = 4·25 = 100, deci AB = 10 cm.
30 — KL² = LH·LM = 18·50 = 900, deci KL = 30 cm.
6 — DE² = EG·EF = 3·12 = 36, deci DE = 6 cm.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB = 15 cm și BC = 25 cm. Cât este BD (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 3 cm și BC = 78 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 16 cm și BC = 41 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Triunghiul KLM este dreptunghic în K, KH ⊥ LM, KM = 20 cm și HM = 16 cm. Cât este LM (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 2 cm și BC = 10 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 9 cm și 16 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 1 cm și BC = 5 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 27 cm și BC = 102 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 1 cm și BC = 10 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 9 cm și 25 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 18 cm și 50 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 1 cm și 16 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 50 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 8 cm și 32 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 18 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 2 cm și BC = 34 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 1 cm și BC = 26 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Triunghiul MNP este dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, MP = 20 cm și QP = 16 cm. Cât este NP (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 8 cm și 18 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AC = 40 cm și DC = 32 cm. Cât este BC (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 8 cm și 50 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB = 30 cm și BC = 50 cm. Cât este BD (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 16 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 18 cm și 32 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Triunghiul XYZ este dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, XY = 15 cm și YZ = 25 cm. Cât este YT (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 12 cm și BC = 87 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 2 cm și BC = 20 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 8 cm și BC = 26 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 8 cm și BC = 40 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 25 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 32 cm și BC = 82 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 2 cm și BC = 52 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 3 cm și BC = 51 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 1 cm și 9 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 12 cm și BC = 60 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 9 cm și BC = 25 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 18 cm și BC = 68 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 1 cm și BC = 17 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 12 cm și BC = 39 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 9 cm și BC = 34 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 18 cm și BC = 50 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 1 cm și 4 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 4 cm și BC = 29 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Triunghiul RST este dreptunghic în R, RU ⊥ ST, RT = 40 cm și UT = 32 cm. Cât este ST (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 3 cm și BC = 15 cm. Cât este AB² (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 32 cm și 50 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 8 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 9 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 16 cm și 25 cm. Cât este raportul pătratelor catetelor (cateta mai mică la cateta mai mare)?
Într-un triunghi dreptunghic ABC (∠A = 90°) cu AD ⊥ BC, BD = 3 cm și BC = 30 cm. Cât este AB² (în cm²)?

Arată răspunsurile: nivel mediu

9 — AB² = BD·BC ⇒ 225 = BD·25 ⇒ BD = 225:25 = 9 cm.
234 — AB² = BD·BC = 3·78 = 234 cm².
656 — AB² = BD·BC = 16·41 = 656 cm².
25 — KM² = HM·LM ⇒ 400 = 16·LM ⇒ LM = 400:16 = 25 cm.
20 — AB² = BD·BC = 2·10 = 20 cm².
9/16 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 9/16.
5 — AB² = BD·BC = 1·5 = 5 cm².
2754 — AB² = BD·BC = 27·102 = 2754 cm².
10 — AB² = BD·BC = 1·10 = 10 cm².
9/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 9/25.
9/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 18/50 = 9/25.
1/16 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 1/16.
1/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 2/50 = 1/25.
1/4 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 8/32 = 1/4.
1/9 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 2/18 = 1/9.
68 — AB² = BD·BC = 2·34 = 68 cm².
26 — AB² = BD·BC = 1·26 = 26 cm².
25 — MP² = QP·NP ⇒ 400 = 16·NP ⇒ NP = 400:16 = 25 cm.
4/9 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 8/18 = 4/9.
50 — AC² = DC·BC ⇒ 1600 = 32·BC ⇒ BC = 1600:32 = 50 cm.
4/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 8/50 = 4/25.
18 — AB² = BD·BC ⇒ 900 = BD·50 ⇒ BD = 900:50 = 18 cm.
1/4 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 4/16 = 1/4.
9/16 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 18/32 = 9/16.
9 — XY² = YT·YZ ⇒ 225 = YT·25 ⇒ YT = 225:25 = 9 cm.
1044 — AB² = BD·BC = 12·87 = 1044 cm².
40 — AB² = BD·BC = 2·20 = 40 cm².
208 — AB² = BD·BC = 8·26 = 208 cm².
320 — AB² = BD·BC = 8·40 = 320 cm².
4/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 4/25.
2624 — AB² = BD·BC = 32·82 = 2624 cm².
104 — AB² = BD·BC = 2·52 = 104 cm².
153 — AB² = BD·BC = 3·51 = 153 cm².
1/9 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 1/9.
720 — AB² = BD·BC = 12·60 = 720 cm².
225 — AB² = BD·BC = 9·25 = 225 cm².
1224 — AB² = BD·BC = 18·68 = 1224 cm².
17 — AB² = BD·BC = 1·17 = 17 cm².
468 — AB² = BD·BC = 12·39 = 468 cm².
306 — AB² = BD·BC = 9·34 = 306 cm².
900 — AB² = BD·BC = 18·50 = 900 cm².
1/4 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 1/4.
116 — AB² = BD·BC = 4·29 = 116 cm².
50 — RT² = UT·ST ⇒ 1600 = 32·ST ⇒ ST = 1600:32 = 50 cm.
45 — AB² = BD·BC = 3·15 = 45 cm².
16/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 32/50 = 16/25.
1/4 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 2/8 = 1/4.
4/9 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 4/9.
16/25 — AB² = BD·BC și AC² = CD·BC, deci AB²/AC² = BD/CD = 16/25.
90 — AB² = BD·BC = 3·30 = 90 cm².

Nivel dificil (50 de exerciții)

În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 17 și AC² = 272. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 8 cm și 18 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 32 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 80 și AC² = 320. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 1 cm și 9 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 1 cm și 16 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 9 cm și 25 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 3 cm și DC = 75 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 2 cm și DC = 50 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 2 cm și DC = 8 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 27 cm și DC = 75 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 104 și AC² = 2600. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 306 și AC² = 850. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 27 cm și DC = 48 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 25 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 18 cm și DC = 50 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 50 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 16 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 208 și AC² = 468. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 8 cm și DC = 32 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 20 și AC² = 80. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 1 cm și 25 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 40 și AC² = 360. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 32 cm și DC = 50 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 3 cm și DC = 12 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 1 cm și DC = 4 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 320 și AC² = 1280. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 1 cm și DC = 16 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 8 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 9 cm și DC = 25 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 9 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 12 cm și DC = 48 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 10 și AC² = 90. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 18 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 2624 și AC² = 4100. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 5 și AC² = 20. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 116 și AC² = 725. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 18 cm și 50 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 4 cm și DC = 9 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 1 cm și DC = 25 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 68 și AC² = 1088. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 1224 și AC² = 3400. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 8 cm și DC = 50 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 2 cm și DC = 32 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 3 cm și DC = 48 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AB² = 225 și AC² = 400. Cât este ipotenuza BC? (Indicație: BC² = AB² + AC².)
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 8 cm și DC = 18 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 32 cm și 50 cm. Care este perimetrul triunghiului (în cm)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 12 cm și DC = 27 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?
Din teorema catetei și teorema înălțimii: dacă BD = 2 cm și DC = 18 cm (AD ⊥ BC, ∠A = 90°), cât este AB·AC (în cm²)?

Arată răspunsurile: nivel dificil

17 — BC² = 17 + 272 = 289, deci BC = 17. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 17:17 = 1.)
26 + 10√13 — Ipotenuza = 26. Catetele: √(8·26) = 4√13 și √(18·26) = 6√13. P = 4√13 + 6√13 + 26 = 26 + 10√13 cm.
34 + 10√17 — Ipotenuza = 34. Catetele: √(2·34) = 2√17 și √(32·34) = 8√17. P = 2√17 + 8√17 + 34 = 34 + 10√17 cm.
20 — BC² = 80 + 320 = 400, deci BC = 20. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 80:20 = 4.)
10 + 4√10 — Ipotenuza = 10. Catetele: √(1·10) = √10 și √(9·10) = 3√10. P = √10 + 3√10 + 10 = 10 + 4√10 cm.
17 + 5√17 — Ipotenuza = 17. Catetele: √(1·17) = √17 și √(16·17) = 4√17. P = √17 + 4√17 + 17 = 17 + 5√17 cm.
34 + 8√34 — Ipotenuza = 34. Catetele: √(9·34) = 3√34 și √(25·34) = 5√34. P = 3√34 + 5√34 + 34 = 34 + 8√34 cm.
1170 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 78·15 = 1170. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 225·6084, deci AB·AC = 15·78.)
520 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 52·10 = 520. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 100·2704, deci AB·AC = 10·52.)
40 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 10·4 = 40. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 16·100, deci AB·AC = 4·10.)
4590 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 102·45 = 4590. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 2025·10404, deci AB·AC = 45·102.)
52 — BC² = 104 + 2600 = 2704, deci BC = 52. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 104:52 = 2.)
34 — BC² = 306 + 850 = 1156, deci BC = 34. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 306:34 = 9.)
2700 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 75·36 = 2700. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 1296·5625, deci AB·AC = 36·75.)
29 + 7√29 — Ipotenuza = 29. Catetele: √(4·29) = 2√29 și √(25·29) = 5√29. P = 2√29 + 5√29 + 29 = 29 + 7√29 cm.
2040 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 68·30 = 2040. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 900·4624, deci AB·AC = 30·68.)
52 + 12√26 — Ipotenuza = 52. Catetele: √(2·52) = 2√26 și √(50·52) = 10√26. P = 2√26 + 10√26 + 52 = 52 + 12√26 cm.
20 + 12√5 — Ipotenuza = 20. Catetele: √(4·20) = 4√5 și √(16·20) = 8√5. P = 4√5 + 8√5 + 20 = 20 + 12√5 cm.
26 — BC² = 208 + 468 = 676, deci BC = 26. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 208:26 = 8.)
640 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 40·16 = 640. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 256·1600, deci AB·AC = 16·40.)
10 — BC² = 20 + 80 = 100, deci BC = 10. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 20:10 = 2.)
26 + 6√26 — Ipotenuza = 26. Catetele: √(1·26) = √26 și √(25·26) = 5√26. P = √26 + 5√26 + 26 = 26 + 6√26 cm.
20 — BC² = 40 + 360 = 400, deci BC = 20. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 40:20 = 2.)
3280 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 82·40 = 3280. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 1600·6724, deci AB·AC = 40·82.)
90 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 15·6 = 90. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 36·225, deci AB·AC = 6·15.)
10 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 5·2 = 10. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 4·25, deci AB·AC = 2·5.)
40 — BC² = 320 + 1280 = 1600, deci BC = 40. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 320:40 = 8.)
68 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 17·4 = 68. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 16·289, deci AB·AC = 4·17.)
10 + 6√5 — Ipotenuza = 10. Catetele: √(2·10) = 2√5 și √(8·10) = 4√5. P = 2√5 + 4√5 + 10 = 10 + 6√5 cm.
510 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 34·15 = 510. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 225·1156, deci AB·AC = 15·34.)
13 + 5√13 — Ipotenuza = 13. Catetele: √(4·13) = 2√13 și √(9·13) = 3√13. P = 2√13 + 3√13 + 13 = 13 + 5√13 cm.
1440 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 60·24 = 1440. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 576·3600, deci AB·AC = 24·60.)
10 — BC² = 10 + 90 = 100, deci BC = 10. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 10:10 = 1.)
20 + 8√10 — Ipotenuza = 20. Catetele: √(2·20) = 2√10 și √(18·20) = 6√10. P = 2√10 + 6√10 + 20 = 20 + 8√10 cm.
82 — BC² = 2624 + 4100 = 6724, deci BC = 82. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 2624:82 = 32.)
5 — BC² = 5 + 20 = 25, deci BC = 5. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 5:5 = 1.)
29 — BC² = 116 + 725 = 841, deci BC = 29. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 116:29 = 4.)
68 + 16√34 — Ipotenuza = 68. Catetele: √(18·68) = 6√34 și √(50·68) = 10√34. P = 6√34 + 10√34 + 68 = 68 + 16√34 cm.
78 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 13·6 = 78. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 36·169, deci AB·AC = 6·13.)
130 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 26·5 = 130. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 25·676, deci AB·AC = 5·26.)
34 — BC² = 68 + 1088 = 1156, deci BC = 34. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 68:34 = 2.)
68 — BC² = 1224 + 3400 = 4624, deci BC = 68. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 1224:68 = 18.)
1160 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 58·20 = 1160. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 400·3364, deci AB·AC = 20·58.)
272 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 34·8 = 272. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 64·1156, deci AB·AC = 8·34.)
612 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 51·12 = 612. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 144·2601, deci AB·AC = 12·51.)
25 — BC² = 225 + 400 = 625, deci BC = 25. (Verificare: AB² = BD·BC ⇒ BD = 225:25 = 9.)
312 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 26·12 = 312. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 144·676, deci AB·AC = 12·26.)
82 + 18√41 — Ipotenuza = 82. Catetele: √(32·82) = 8√41 și √(50·82) = 10√41. P = 8√41 + 10√41 + 82 = 82 + 18√41 cm.
702 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 39·18 = 702. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 324·1521, deci AB·AC = 18·39.)
120 — AB·AC = BC·AD (aria în două moduri) = 20·6 = 120. (Sau AB² ·AC² = BD·DC·BC² = 36·400, deci AB·AC = 6·20.)

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a