Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 7-a › Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Raportul a două segmente, proporții, segmente proporționale, paralele echidistante.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Raportul a două segmente

Raportul segmentelor AB și CD este numărul AB/CD, calculat cu aceeași unitate de măsură. Dacă AB = 6 cm și CD = 4 cm, atunci AB/CD = 6/4 = 3/2. Raportul nu are unitate de măsură.

Proporții

a/b = c/d ⇔ a·d = b·c (produsul mezilor = produsul extremilor)
a/b = c/d ⇒ (a + b)/b = (c + d)/d și (a − b)/b = (c − d)/d
Dacă a/b = c/d = k, atunci a = kb și c = kd

Spunem că segmentele a, b sunt proporționale cu segmentele c, d dacă a/b = c/d. Media geometrică a numerelor a și b este x cu x² = a·b, adică x = √(ab).

Teorema paralelelor echidistante

AA'BB'CC'mm
Dacă mai multe paralele determină pe o secantă segmente congruente (AB = BC), atunci determină segmente congruente pe orice altă secantă (A′B′ = B′C′)

Pe această proprietate se bazează împărțirea unui segment în părți egale: ducem o semidreaptă oarecare, marcăm pe ea n segmente egale și unim ultimul punct cu capătul segmentului; paralelele la această dreaptă împart segmentul în n părți egale.

Exemplul 1. Segmentele AB = 3 m și CD = 40 cm. Află AB/CD.
Rezolvare (la aceeași unitate). AB = 300 cm, AB/CD = 300/40 = 15/2.
Exemplul 2. Află x din 5/9 = 20/x.
Rezolvare (cu produsul mezilor). 5x = 9·20 ⇒ x = 36.
Exemplul 3. Punctul M ∈ AB, AB = 40 cm, AM/MB = 2/6. Află AM.
Metoda 1 (cu părți). AM = 2k, MB = 6k, 8k = 40 ⇒ k = 5, AM = 10 cm.
Metoda 2 (cu proporții derivate). AM/AB = 2/8 ⇒ AM = 40·2/8 = 10 cm.
Exemplul 4. Media geometrică a numerelor 4 și 9.
Rezolvare. x² = 36 ⇒ x = 6.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Segmentul AB are 5 m, iar CD are 86 cm. Care este raportul AB/CD?
  2. Care dintre egalitățile următoare este o proporție?
    Variante: A) 2/3 = 8/12  ·  B) 2/3 = 9/12  ·  C) 2/3 = 12/8  ·  D) 2/3 = 8/13  ·  E) 2/3 = 12/12
  3. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 40 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'40
  4. Segmentele de lungimi 2, 5, 14 și x sunt proporționale (2/5 = 14/x). Cât este x?
  5. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 20 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'20
  6. Segmentele AB și CD au lungimile 56 cm și 36 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  7. Segmentele de lungimi 6, 8, 54 și x sunt proporționale (6/8 = 54/x). Cât este x?
  8. Segmentele de lungimi 7, 2, 28 și x sunt proporționale (7/2 = 28/x). Cât este x?
  9. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 14 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'14
  10. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 10 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'10
  11. Segmentele de lungimi 2, 9, 14 și x sunt proporționale (2/9 = 14/x). Cât este x?
  12. Segmentele de lungimi 9, 4, 27 și x sunt proporționale (9/4 = 27/x). Cât este x?
  13. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 15 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'15
  14. Segmentul AB are 8 m, iar CD are 50 cm. Care este raportul AB/CD?
  15. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 4 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'4
  16. Segmentul AB are 3 m, iar CD are 23 cm. Care este raportul AB/CD?
  17. Segmentele AB și CD au lungimile 42 cm și 41 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  18. Segmentul AB are 9 m, iar CD are 70 cm. Care este raportul AB/CD?
  19. Segmentele de lungimi 3, 4, 21 și x sunt proporționale (3/4 = 21/x). Cât este x?
  20. Segmentele de lungimi 7, 5, 35 și x sunt proporționale (7/5 = 35/x). Cât este x?
  21. Segmentele AB și CD au lungimile 57 cm și 25 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  22. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 34 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'34
  23. Segmentele AB și CD au lungimile 15 cm și 39 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  24. Segmentele de lungimi 5, 9, 20 și x sunt proporționale (5/9 = 20/x). Cât este x?
  25. Segmentul AB are 7 m, iar CD are 21 cm. Care este raportul AB/CD?
  26. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 16 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'16
  27. Segmentele de lungimi 2, 8, 8 și x sunt proporționale (2/8 = 8/x). Cât este x?
  28. Segmentele de lungimi 3, 5, 21 și x sunt proporționale (3/5 = 21/x). Cât este x?
  29. Segmentele de lungimi 3, 8, 27 și x sunt proporționale (3/8 = 27/x). Cât este x?
  30. Segmentele AB și CD au lungimile 40 cm și 46 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  31. Segmentul AB are 2 m, iar CD are 10 cm. Care este raportul AB/CD?
  32. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 32 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'32
  33. Segmentele AB și CD au lungimile 24 cm și 33 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  34. Segmentele de lungimi 8, 2, 56 și x sunt proporționale (8/2 = 56/x). Cât este x?
  35. Segmentele AB și CD au lungimile 45 cm și 22 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  36. Segmentele AB și CD au lungimile 26 cm și 34 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  37. Segmentul AB are 3 m, iar CD are 37 cm. Care este raportul AB/CD?
  38. Segmentele de lungimi 6, 5, 12 și x sunt proporționale (6/5 = 12/x). Cât este x?
  39. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 11 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'11
  40. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 35 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'35
  41. Segmentele AB și CD au lungimile 56 cm și 22 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  42. Segmentul AB are 1 m, iar CD are 52 cm. Care este raportul AB/CD?
  43. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 18 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'18
  44. Segmentele de lungimi 5, 4, 40 și x sunt proporționale (5/4 = 40/x). Cât este x?
  45. Segmentul AB are 9 m, iar CD are 17 cm. Care este raportul AB/CD?
  46. Paralelele d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ sunt echidistante și taie secantele în A, B, C și A′, B′, C′. Dacă A′B′ = 19 cm, cât este B′C′?AA'BB'CC'19
  47. Segmentele de lungimi 7, 6, 35 și x sunt proporționale (7/6 = 35/x). Cât este x?
  48. Segmentele AB și CD au lungimile 11 cm și 57 cm. Care este raportul AB/CD (ca fracție ireductibilă)?
  49. Segmentul AB are 5 m, iar CD are 84 cm. Care este raportul AB/CD?
  50. Segmentele de lungimi 3, 5, 9 și x sunt proporționale (3/5 = 9/x). Cât este x?
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 250/43 — Aducem la aceeași unitate: 5 m = 500 cm. AB/CD = 500/86 = 250/43.
  2. 2/3 = 8/12 — 2·12 = 24 și 3·8 = 24: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.
  3. 40 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 40 cm.
  4. 35 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 2·x = 5·14 ⇒ x = 70:2 = 35.
  5. 20 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 20 cm.
  6. 14/9 — AB/CD = 56/36 = 14/9.
  7. 72 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 6·x = 8·54 ⇒ x = 432:6 = 72.
  8. 8 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 7·x = 2·28 ⇒ x = 56:7 = 8.
  9. 14 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 14 cm.
  10. 10 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 10 cm.
  11. 63 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 2·x = 9·14 ⇒ x = 126:2 = 63.
  12. 12 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 9·x = 4·27 ⇒ x = 108:9 = 12.
  13. 15 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 15 cm.
  14. 16 — Aducem la aceeași unitate: 8 m = 800 cm. AB/CD = 800/50 = 16.
  15. 4 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 4 cm.
  16. 300/23 — Aducem la aceeași unitate: 3 m = 300 cm. AB/CD = 300/23.
  17. 42/41 — AB/CD = 42/41.
  18. 90/7 — Aducem la aceeași unitate: 9 m = 900 cm. AB/CD = 900/70 = 90/7.
  19. 28 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 3·x = 4·21 ⇒ x = 84:3 = 28.
  20. 25 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 7·x = 5·35 ⇒ x = 175:7 = 25.
  21. 57/25 — AB/CD = 57/25.
  22. 34 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 34 cm.
  23. 5/13 — AB/CD = 15/39 = 5/13.
  24. 36 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 5·x = 9·20 ⇒ x = 180:5 = 36.
  25. 100/3 — Aducem la aceeași unitate: 7 m = 700 cm. AB/CD = 700/21 = 100/3.
  26. 16 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 16 cm.
  27. 32 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 2·x = 8·8 ⇒ x = 64:2 = 32.
  28. 35 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 3·x = 5·21 ⇒ x = 105:3 = 35.
  29. 72 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 3·x = 8·27 ⇒ x = 216:3 = 72.
  30. 20/23 — AB/CD = 40/46 = 20/23.
  31. 20 — Aducem la aceeași unitate: 2 m = 200 cm. AB/CD = 200/10 = 20.
  32. 32 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 32 cm.
  33. 8/11 — AB/CD = 24/33 = 8/11.
  34. 14 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 8·x = 2·56 ⇒ x = 112:8 = 14.
  35. 45/22 — AB/CD = 45/22.
  36. 13/17 — AB/CD = 26/34 = 13/17.
  37. 300/37 — Aducem la aceeași unitate: 3 m = 300 cm. AB/CD = 300/37.
  38. 10 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 6·x = 5·12 ⇒ x = 60:6 = 10.
  39. 11 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 11 cm.
  40. 35 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 35 cm.
  41. 28/11 — AB/CD = 56/22 = 28/11.
  42. 25/13 — Aducem la aceeași unitate: 1 m = 100 cm. AB/CD = 100/52 = 25/13.
  43. 18 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 18 cm.
  44. 32 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 5·x = 4·40 ⇒ x = 160:5 = 32.
  45. 900/17 — Aducem la aceeași unitate: 9 m = 900 cm. AB/CD = 900/17.
  46. 19 — Paralelele echidistante determină pe orice secantă segmente congruente: B′C′ = A′B′ = 19 cm.
  47. 30 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 7·x = 6·35 ⇒ x = 210:7 = 30.
  48. 11/57 — AB/CD = 11/57.
  49. 125/21 — Aducem la aceeași unitate: 5 m = 500 cm. AB/CD = 500/84 = 125/21.
  50. 15 — Produsul mezilor = produsul extremilor: 3·x = 5·9 ⇒ x = 45:3 = 15.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Punctul M se află pe segmentul AB = 48 cm astfel încât AM/MB = 1/7. Cât este AM?
  2. Dacă a/b = 1/8, cât este (a + b)/b?
  3. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 16 cm pe prima secantă și 14 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'14
  4. Punctul M se află pe segmentul AB = 80 cm astfel încât AM/MB = 7/3. Cât este AM?
  5. Două segmente au suma 180 cm și sunt în raportul 7:8. Care este lungimea celui mai lung?
  6. Punctul M se află pe segmentul AB = 128 cm astfel încât AM/MB = 7/9. Cât este AM?
  7. Dacă a/b = 2/6, cât este (a + b)/b?
  8. Dacă a/b = 4/5, cât este (a + b)/b?
  9. Punctul M se află pe segmentul AB = 22 cm astfel încât AM/MB = 5/6. Cât este AM?
  10. Punctul M se află pe segmentul AB = 72 cm astfel încât AM/MB = 7/5. Cât este AM?
  11. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 16 cm pe prima secantă și 6 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'6
  12. Două segmente au suma 36 cm și sunt în raportul 1:8. Care este lungimea celui mai lung?
  13. Punctul M se află pe segmentul AB = 54 cm astfel încât AM/MB = 2/7. Cât este AM?
  14. Dacă a/b = 5/6, cât este (a + b)/b?
  15. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 10 cm pe prima secantă și 14 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'14
  16. Dacă a/b = 3/7, cât este (a + b)/b?
  17. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 8 cm pe prima secantă și 18 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'18
  18. Punctul M se află pe segmentul AB = 54 cm astfel încât AM/MB = 6/3. Cât este AM?
  19. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 10 cm pe prima secantă și 16 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'16
  20. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 10 cm pe prima secantă și 12 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'12
  21. Două segmente au suma 30 cm și sunt în raportul 6:9. Care este lungimea celui mai lung?
  22. Punctul M se află pe segmentul AB = 14 cm astfel încât AM/MB = 1/6. Cât este AM?
  23. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 16 cm pe prima secantă și 4 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'4
  24. Punctul M se află pe segmentul AB = 88 cm astfel încât AM/MB = 5/6. Cât este AM?
  25. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 6 cm pe prima secantă și 16 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'16
  26. Două segmente au suma 9 cm și sunt în raportul 1:2. Care este lungimea celui mai lung?
  27. Dacă a/b = 1/7, cât este (a + b)/b?
  28. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 6 cm pe prima secantă și 6 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'6
  29. Dacă a/b = 5/2, cât este (a + b)/b?
  30. Punctul M se află pe segmentul AB = 30 cm astfel încât AM/MB = 4/6. Cât este AM?
  31. Dacă a/b = 7/6, cât este (a + b)/b?
  32. Punctul M se află pe segmentul AB = 28 cm astfel încât AM/MB = 6/8. Cât este AM?
  33. Două segmente au suma 42 cm și sunt în raportul 1:6. Care este lungimea celui mai lung?
  34. Punctul M se află pe segmentul AB = 98 cm astfel încât AM/MB = 6/8. Cât este AM?
  35. Două segmente au suma 60 cm și sunt în raportul 6:9. Care este lungimea celui mai lung?
  36. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 14 cm pe prima secantă și 12 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'12
  37. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 12 cm pe prima secantă și 12 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'12
  38. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 8 cm pe prima secantă și 14 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'14
  39. Punctul M se află pe segmentul AB = 48 cm astfel încât AM/MB = 5/7. Cât este AM?
  40. Două segmente au suma 117 cm și sunt în raportul 6:7. Care este lungimea celui mai lung?
  41. Două segmente au suma 154 cm și sunt în raportul 5:9. Care este lungimea celui mai lung?
  42. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 14 cm pe prima secantă și 6 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'6
  43. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 6 cm pe prima secantă și 14 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'14
  44. Punctul M se află pe segmentul AB = 40 cm astfel încât AM/MB = 2/6. Cât este AM?
  45. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 18 cm pe prima secantă și 4 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'4
  46. Trei paralele echidistante taie două secante. Segmentul dintre prima și ultima paralelă are 8 cm pe prima secantă și 10 cm pe a doua. Cât are segmentul dintre două paralele consecutive de pe a doua secantă?AA'BB'CC'10
  47. Dacă a/b = 6/5, cât este (a + b)/b?
  48. Punctul M se află pe segmentul AB = 48 cm astfel încât AM/MB = 3/5. Cât este AM?
  49. Punctul M se află pe segmentul AB = 24 cm astfel încât AM/MB = 4/8. Cât este AM?
  50. Punctul M se află pe segmentul AB = 77 cm astfel încât AM/MB = 7/4. Cât este AM?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 6 — AM = 1k, MB = 7k, AB = 8k = 48 ⇒ k = 6. AM = 1·6 = 6 cm.
  2. 9/8 — (a + b)/b = a/b + 1 = 1/8 + 1 = 9/8.
  3. 7 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 14:2 = 7 cm.
  4. 56 — AM = 7k, MB = 3k, AB = 10k = 80 ⇒ k = 8. AM = 7·8 = 56 cm.
  5. 96 — Părțile: 7 și 8, în total 15. O parte: 180:15 = 12. Cel mai lung: 8·12 = 96 cm.
  6. 56 — AM = 7k, MB = 9k, AB = 16k = 128 ⇒ k = 8. AM = 7·8 = 56 cm.
  7. 4/3 — (a + b)/b = a/b + 1 = 2/6 + 1 = 4/3.
  8. 9/5 — (a + b)/b = a/b + 1 = 4/5 + 1 = 9/5.
  9. 10 — AM = 5k, MB = 6k, AB = 11k = 22 ⇒ k = 2. AM = 5·2 = 10 cm.
  10. 42 — AM = 7k, MB = 5k, AB = 12k = 72 ⇒ k = 6. AM = 7·6 = 42 cm.
  11. 3 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 6:2 = 3 cm.
  12. 32 — Părțile: 1 și 8, în total 9. O parte: 36:9 = 4. Cel mai lung: 8·4 = 32 cm.
  13. 12 — AM = 2k, MB = 7k, AB = 9k = 54 ⇒ k = 6. AM = 2·6 = 12 cm.
  14. 11/6 — (a + b)/b = a/b + 1 = 5/6 + 1 = 11/6.
  15. 7 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 14:2 = 7 cm.
  16. 10/7 — (a + b)/b = a/b + 1 = 3/7 + 1 = 10/7.
  17. 9 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 18:2 = 9 cm.
  18. 36 — AM = 6k, MB = 3k, AB = 9k = 54 ⇒ k = 6. AM = 6·6 = 36 cm.
  19. 8 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 16:2 = 8 cm.
  20. 6 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 12:2 = 6 cm.
  21. 18 — Părțile: 6 și 9, în total 15. O parte: 30:15 = 2. Cel mai lung: 9·2 = 18 cm.
  22. 2 — AM = 1k, MB = 6k, AB = 7k = 14 ⇒ k = 2. AM = 1·2 = 2 cm.
  23. 2 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 4:2 = 2 cm.
  24. 40 — AM = 5k, MB = 6k, AB = 11k = 88 ⇒ k = 8. AM = 5·8 = 40 cm.
  25. 8 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 16:2 = 8 cm.
  26. 6 — Părțile: 1 și 2, în total 3. O parte: 9:3 = 3. Cel mai lung: 2·3 = 6 cm.
  27. 8/7 — (a + b)/b = a/b + 1 = 1/7 + 1 = 8/7.
  28. 3 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 6:2 = 3 cm.
  29. 7/2 — (a + b)/b = a/b + 1 = 5/2 + 1 = 7/2.
  30. 12 — AM = 4k, MB = 6k, AB = 10k = 30 ⇒ k = 3. AM = 4·3 = 12 cm.
  31. 13/6 — (a + b)/b = a/b + 1 = 7/6 + 1 = 13/6.
  32. 12 — AM = 6k, MB = 8k, AB = 14k = 28 ⇒ k = 2. AM = 6·2 = 12 cm.
  33. 36 — Părțile: 1 și 6, în total 7. O parte: 42:7 = 6. Cel mai lung: 6·6 = 36 cm.
  34. 42 — AM = 6k, MB = 8k, AB = 14k = 98 ⇒ k = 7. AM = 6·7 = 42 cm.
  35. 36 — Părțile: 6 și 9, în total 15. O parte: 60:15 = 4. Cel mai lung: 9·4 = 36 cm.
  36. 6 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 12:2 = 6 cm.
  37. 6 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 12:2 = 6 cm.
  38. 7 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 14:2 = 7 cm.
  39. 20 — AM = 5k, MB = 7k, AB = 12k = 48 ⇒ k = 4. AM = 5·4 = 20 cm.
  40. 63 — Părțile: 6 și 7, în total 13. O parte: 117:13 = 9. Cel mai lung: 7·9 = 63 cm.
  41. 99 — Părțile: 5 și 9, în total 14. O parte: 154:14 = 11. Cel mai lung: 9·11 = 99 cm.
  42. 3 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 6:2 = 3 cm.
  43. 7 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 14:2 = 7 cm.
  44. 10 — AM = 2k, MB = 6k, AB = 8k = 40 ⇒ k = 5. AM = 2·5 = 10 cm.
  45. 2 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 4:2 = 2 cm.
  46. 5 — Cele două intervale sunt congruente. Pe a doua secantă: 10:2 = 5 cm.
  47. 11/5 — (a + b)/b = a/b + 1 = 6/5 + 1 = 11/5.
  48. 18 — AM = 3k, MB = 5k, AB = 8k = 48 ⇒ k = 6. AM = 3·6 = 18 cm.
  49. 8 — AM = 4k, MB = 8k, AB = 12k = 24 ⇒ k = 2. AM = 4·2 = 8 cm.
  50. 49 — AM = 7k, MB = 4k, AB = 11k = 77 ⇒ k = 7. AM = 7·7 = 49 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 7 și 4?
  2. Trei segmente cu suma 90 cm sunt proporționale cu 1, 3 și 6. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  3. Segmentele a și b sunt în raportul 4:8, iar b − a = 12 cm. Cât este a + b (în cm)?
  4. Segmentele a și b sunt în raportul 5:7, iar b − a = 18 cm. Cât este a + b (în cm)?
  5. Segmentele a și b sunt în raportul 3:4, iar b − a = 8 cm. Cât este a + b (în cm)?
  6. Segmentele a și b sunt în raportul 5:9, iar b − a = 12 cm. Cât este a + b (în cm)?
  7. Segmentele a și b sunt în raportul 7:9, iar b − a = 6 cm. Cât este a + b (în cm)?
  8. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 12 și 4?
  9. Segmentele a și b sunt în raportul 6:7, iar b − a = 2 cm. Cât este a + b (în cm)?
  10. Segmentele a și b sunt în raportul 2:5, iar b − a = 12 cm. Cât este a + b (în cm)?
  11. Segmentele a și b sunt în raportul 4:5, iar b − a = 2 cm. Cât este a + b (în cm)?
  12. Segmentele a și b sunt în raportul 3:5, iar b − a = 14 cm. Cât este a + b (în cm)?
  13. Segmentele a și b sunt în raportul 2:8, iar b − a = 36 cm. Cât este a + b (în cm)?
  14. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 11 și 10?
  15. Segmentele a și b sunt în raportul 3:8, iar b − a = 15 cm. Cât este a + b (în cm)?
  16. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 3 și 10?
  17. Segmentele a și b sunt în raportul 2:5, iar b − a = 24 cm. Cât este a + b (în cm)?
  18. Segmentele a și b sunt în raportul 4:8, iar b − a = 8 cm. Cât este a + b (în cm)?
  19. Segmentele a și b sunt în raportul 5:9, iar b − a = 8 cm. Cât este a + b (în cm)?
  20. Trei segmente cu suma 66 cm sunt proporționale cu 1, 2 și 8. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  21. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 11 și 9?
  22. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 10 și 2?
  23. Segmentele a și b sunt în raportul 5:8, iar b − a = 6 cm. Cât este a + b (în cm)?
  24. Segmentele a și b sunt în raportul 6:9, iar b − a = 9 cm. Cât este a + b (în cm)?
  25. Segmentele a și b sunt în raportul 4:8, iar b − a = 32 cm. Cât este a + b (în cm)?
  26. Trei segmente cu suma 32 cm sunt proporționale cu 1, 6 și 9. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  27. Segmentele a și b sunt în raportul 6:9, iar b − a = 24 cm. Cât este a + b (în cm)?
  28. Trei segmente cu suma 108 cm sunt proporționale cu 1, 2 și 9. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  29. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 5 și 10?
  30. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 7 și 6?
  31. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 7 și 8?
  32. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 5 și 2?
  33. Segmentele a și b sunt în raportul 5:8, iar b − a = 21 cm. Cât este a + b (în cm)?
  34. Segmentele a și b sunt în raportul 4:6, iar b − a = 8 cm. Cât este a + b (în cm)?
  35. Trei segmente cu suma 26 cm sunt proporționale cu 1, 3 și 9. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  36. Segmentele a și b sunt în raportul 5:8, iar b − a = 27 cm. Cât este a + b (în cm)?
  37. Segmentele a și b sunt în raportul 5:7, iar b − a = 4 cm. Cât este a + b (în cm)?
  38. Trei segmente cu suma 96 cm sunt proporționale cu 1, 2 și 9. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  39. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 6 și 9?
  40. Segmentele a și b sunt în raportul 2:4, iar b − a = 18 cm. Cât este a + b (în cm)?
  41. Segmentele a și b sunt în raportul 3:9, iar b − a = 42 cm. Cât este a + b (în cm)?
  42. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 5 și 12?
  43. Trei segmente cu suma 48 cm sunt proporționale cu 2, 4 și 6. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  44. Trei segmente cu suma 78 cm sunt proporționale cu 1, 4 și 8. Care este lungimea celui mai scurt (în cm)?
  45. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 11 și 12?
  46. Care este media geometrică (segmentul mediu proporțional) a numerelor 3 și 6?
  47. Segmentele a și b sunt în raportul 3:9, iar b − a = 18 cm. Cât este a + b (în cm)?
  48. Segmentele a și b sunt în raportul 4:6, iar b − a = 12 cm. Cât este a + b (în cm)?
  49. Segmentele a și b sunt în raportul 3:9, iar b − a = 48 cm. Cât este a + b (în cm)?
  50. Segmentele a și b sunt în raportul 2:4, iar b − a = 14 cm. Cât este a + b (în cm)?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 2√7 — x² = 7·4 = 28 ⇒ x = √28 = 2√7.
  2. 9 — Suma părților: 10; o parte: 90:10 = 9. Cel mai scurt: 1·9 = 9 cm.
  3. 36 — Părțile: a = 4k, b = 8k, b − a = 4k = 12 ⇒ k = 3. a + b = 12·3 = 36 cm.
  4. 108 — Părțile: a = 5k, b = 7k, b − a = 2k = 18 ⇒ k = 9. a + b = 12·9 = 108 cm.
  5. 56 — Părțile: a = 3k, b = 4k, b − a = 1k = 8 ⇒ k = 8. a + b = 7·8 = 56 cm.
  6. 42 — Părțile: a = 5k, b = 9k, b − a = 4k = 12 ⇒ k = 3. a + b = 14·3 = 42 cm.
  7. 48 — Părțile: a = 7k, b = 9k, b − a = 2k = 6 ⇒ k = 3. a + b = 16·3 = 48 cm.
  8. 4√3 — x² = 12·4 = 48 ⇒ x = √48 = 4√3.
  9. 26 — Părțile: a = 6k, b = 7k, b − a = 1k = 2 ⇒ k = 2. a + b = 13·2 = 26 cm.
  10. 28 — Părțile: a = 2k, b = 5k, b − a = 3k = 12 ⇒ k = 4. a + b = 7·4 = 28 cm.
  11. 18 — Părțile: a = 4k, b = 5k, b − a = 1k = 2 ⇒ k = 2. a + b = 9·2 = 18 cm.
  12. 56 — Părțile: a = 3k, b = 5k, b − a = 2k = 14 ⇒ k = 7. a + b = 8·7 = 56 cm.
  13. 60 — Părțile: a = 2k, b = 8k, b − a = 6k = 36 ⇒ k = 6. a + b = 10·6 = 60 cm.
  14. √110 — x² = 11·10 = 110 ⇒ x = √110.
  15. 33 — Părțile: a = 3k, b = 8k, b − a = 5k = 15 ⇒ k = 3. a + b = 11·3 = 33 cm.
  16. √30 — x² = 3·10 = 30 ⇒ x = √30.
  17. 56 — Părțile: a = 2k, b = 5k, b − a = 3k = 24 ⇒ k = 8. a + b = 7·8 = 56 cm.
  18. 24 — Părțile: a = 4k, b = 8k, b − a = 4k = 8 ⇒ k = 2. a + b = 12·2 = 24 cm.
  19. 28 — Părțile: a = 5k, b = 9k, b − a = 4k = 8 ⇒ k = 2. a + b = 14·2 = 28 cm.
  20. 6 — Suma părților: 11; o parte: 66:11 = 6. Cel mai scurt: 1·6 = 6 cm.
  21. 3√11 — x² = 11·9 = 99 ⇒ x = √99 = 3√11.
  22. 2√5 — x² = 10·2 = 20 ⇒ x = √20 = 2√5.
  23. 26 — Părțile: a = 5k, b = 8k, b − a = 3k = 6 ⇒ k = 2. a + b = 13·2 = 26 cm.
  24. 45 — Părțile: a = 6k, b = 9k, b − a = 3k = 9 ⇒ k = 3. a + b = 15·3 = 45 cm.
  25. 96 — Părțile: a = 4k, b = 8k, b − a = 4k = 32 ⇒ k = 8. a + b = 12·8 = 96 cm.
  26. 2 — Suma părților: 16; o parte: 32:16 = 2. Cel mai scurt: 1·2 = 2 cm.
  27. 120 — Părțile: a = 6k, b = 9k, b − a = 3k = 24 ⇒ k = 8. a + b = 15·8 = 120 cm.
  28. 9 — Suma părților: 12; o parte: 108:12 = 9. Cel mai scurt: 1·9 = 9 cm.
  29. 5√2 — x² = 5·10 = 50 ⇒ x = √50 = 5√2.
  30. √42 — x² = 7·6 = 42 ⇒ x = √42.
  31. 2√14 — x² = 7·8 = 56 ⇒ x = √56 = 2√14.
  32. √10 — x² = 5·2 = 10 ⇒ x = √10.
  33. 91 — Părțile: a = 5k, b = 8k, b − a = 3k = 21 ⇒ k = 7. a + b = 13·7 = 91 cm.
  34. 40 — Părțile: a = 4k, b = 6k, b − a = 2k = 8 ⇒ k = 4. a + b = 10·4 = 40 cm.
  35. 2 — Suma părților: 13; o parte: 26:13 = 2. Cel mai scurt: 1·2 = 2 cm.
  36. 117 — Părțile: a = 5k, b = 8k, b − a = 3k = 27 ⇒ k = 9. a + b = 13·9 = 117 cm.
  37. 24 — Părțile: a = 5k, b = 7k, b − a = 2k = 4 ⇒ k = 2. a + b = 12·2 = 24 cm.
  38. 8 — Suma părților: 12; o parte: 96:12 = 8. Cel mai scurt: 1·8 = 8 cm.
  39. 3√6 — x² = 6·9 = 54 ⇒ x = √54 = 3√6.
  40. 54 — Părțile: a = 2k, b = 4k, b − a = 2k = 18 ⇒ k = 9. a + b = 6·9 = 54 cm.
  41. 84 — Părțile: a = 3k, b = 9k, b − a = 6k = 42 ⇒ k = 7. a + b = 12·7 = 84 cm.
  42. 2√15 — x² = 5·12 = 60 ⇒ x = √60 = 2√15.
  43. 8 — Suma părților: 12; o parte: 48:12 = 4. Cel mai scurt: 2·4 = 8 cm.
  44. 6 — Suma părților: 13; o parte: 78:13 = 6. Cel mai scurt: 1·6 = 6 cm.
  45. 2√33 — x² = 11·12 = 132 ⇒ x = √132 = 2√33.
  46. 3√2 — x² = 3·6 = 18 ⇒ x = √18 = 3√2.
  47. 36 — Părțile: a = 3k, b = 9k, b − a = 6k = 18 ⇒ k = 3. a + b = 12·3 = 36 cm.
  48. 60 — Părțile: a = 4k, b = 6k, b − a = 2k = 12 ⇒ k = 6. a + b = 10·6 = 60 cm.
  49. 96 — Părțile: a = 3k, b = 9k, b − a = 6k = 48 ⇒ k = 8. a + b = 12·8 = 96 cm.
  50. 42 — Părțile: a = 2k, b = 4k, b − a = 2k = 14 ⇒ k = 7. a + b = 6·7 = 42 cm.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a