Acasă › Clasa a 7-a › Raționalizarea numitorului unei fracții

Raționalizarea numitorului unei fracții

Amplificarea cu radicalul sau cu conjugatul pentru a elimina radicalul de la numitor.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

De ce raționalizăm

A raționaliza numitorul înseamnă a amplifica fracția astfel încât numitorul să devină un număr rațional (fără radicali).

a/√b = a√b/b
a/(√b + c) = a(√b − c)/(b − c²) a/(√b − √c) = a(√b + √c)/(b − c)

Exemplul 1. Raționalizează 6/√3.

Metoda 1 (prin amplificare). 6/√3 = 6√3/(√3·√3) = 6√3/3 = 2√3.

Metoda 2 (prin simplificare). 6 = 2·3 = 2·(√3)², deci 6/√3 = 2(√3)²/√3 = 2√3.

Exemplul 2. Raționalizează 1/(√3 + 1).

Rezolvare (conjugat). Amplificăm cu √3 − 1: (√3 − 1)/((√3)² − 1²) = (√3 − 1)/2.

Exemplul 3. Raționalizează 2/(√5 − √3).

Rezolvare. Conjugatul este √5 + √3: 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3.

Exemplul 4. Calculează 1/(√2 + 1) + 1/(√2 − 1).

Rezolvare. 1/(√2 + 1) = √2 − 1 și 1/(√2 − 1) = √2 + 1. Suma este 2√2.

Greșeli frecvente

Se amplifică numitorul, nu și numărătorul.
Se folosește „același semn” în loc de conjugat.
Se uită să se simplifice rezultatul.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Raționalizează numitorul fracției 3/√5.
Raționalizează numitorul fracției 3/√10.
Raționalizează numitorul fracției 10/√3.
Care este valoarea fracției 2/√5 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 7/√7.
Raționalizează numitorul fracției 10/√7.
Care este valoarea fracției 6/√3 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 1/√3.
Care este valoarea fracției 5/√3 cu numitorul rațional?
Care este valoarea fracției 4/√7 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 8/√13.
Raționalizează numitorul fracției 6/√13.
Raționalizează numitorul fracției 4/√11.
Raționalizează numitorul fracției 10/√13.
Raționalizează numitorul fracției 1/√2.
Raționalizează numitorul fracției 5/√11.
Care este valoarea fracției 5/√6 cu numitorul rațional?
Care este valoarea fracției 5/√7 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 10/√2.
Raționalizează numitorul fracției 9/√5.
Raționalizează numitorul fracției 4/√6.
Raționalizează numitorul fracției 3/√11.
Raționalizează numitorul fracției 6/√5.
Raționalizează numitorul fracției 5/√13.
Raționalizează numitorul fracției 4/√10.
Raționalizează numitorul fracției 8/√7.
Care este valoarea fracției 3/√2 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 10/√11.
Raționalizează numitorul fracției 5/√5.
Care este valoarea fracției 2/√2 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 6/√11.
Raționalizează numitorul fracției 4/√2.
Raționalizează numitorul fracției 12/√11.
Raționalizează numitorul fracției 4/√3.
Care este valoarea fracției 4/√6 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 12/√5.
Care este valoarea fracției 2/√3 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 2/√5.
Raționalizează numitorul fracției 1/√11.
Raționalizează numitorul fracției 3/√7.
Raționalizează numitorul fracției 5/√3.
Care este valoarea fracției 6/√2 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 2/√11.
Care este valoarea fracției 6/√7 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 12/√13.
Raționalizează numitorul fracției 4/√5.
Care este valoarea fracției 3/√3 cu numitorul rațional?
Raționalizează numitorul fracției 5/√10.
Raționalizează numitorul fracției 12/√10.
Care este valoarea fracției 4/√5 cu numitorul rațional?

Arată răspunsurile: nivel ușor

3√5/5 — Amplificăm cu √5: 3/√5 = 3·√5/(√5·√5) = 3√5/5.
3√10/10 — Amplificăm cu √10: 3/√10 = 3·√10/(√10·√10) = 3√10/10.
10√3/3 — Amplificăm cu √3: 10/√3 = 10·√3/(√3·√3) = 10√3/3.
2√5/5 — 2/√5 = 2√5/5.
√7 — Amplificăm cu √7: 7/√7 = 7·√7/(√7·√7) = 7√7/7 = √7.
10√7/7 — Amplificăm cu √7: 10/√7 = 10·√7/(√7·√7) = 10√7/7.
2√3 — 6/√3 = 6√3/3 = 2√3.
√3/3 — Amplificăm cu √3: 1/√3 = 1·√3/(√3·√3) = 1√3/3 = √3/3.
5√3/3 — 5/√3 = 5√3/3.
4√7/7 — 4/√7 = 4√7/7.
8√13/13 — Amplificăm cu √13: 8/√13 = 8·√13/(√13·√13) = 8√13/13.
6√13/13 — Amplificăm cu √13: 6/√13 = 6·√13/(√13·√13) = 6√13/13.
4√11/11 — Amplificăm cu √11: 4/√11 = 4·√11/(√11·√11) = 4√11/11.
10√13/13 — Amplificăm cu √13: 10/√13 = 10·√13/(√13·√13) = 10√13/13.
√2/2 — Amplificăm cu √2: 1/√2 = 1·√2/(√2·√2) = 1√2/2 = √2/2.
5√11/11 — Amplificăm cu √11: 5/√11 = 5·√11/(√11·√11) = 5√11/11.
5√6/6 — 5/√6 = 5√6/6.
5√7/7 — 5/√7 = 5√7/7.
5√2 — Amplificăm cu √2: 10/√2 = 10·√2/(√2·√2) = 10√2/2 = 5√2.
9√5/5 — Amplificăm cu √5: 9/√5 = 9·√5/(√5·√5) = 9√5/5.
2√6/3 — Amplificăm cu √6: 4/√6 = 4·√6/(√6·√6) = 4√6/6 = 2√6/3.
3√11/11 — Amplificăm cu √11: 3/√11 = 3·√11/(√11·√11) = 3√11/11.
6√5/5 — Amplificăm cu √5: 6/√5 = 6·√5/(√5·√5) = 6√5/5.
5√13/13 — Amplificăm cu √13: 5/√13 = 5·√13/(√13·√13) = 5√13/13.
2√10/5 — Amplificăm cu √10: 4/√10 = 4·√10/(√10·√10) = 4√10/10 = 2√10/5.
8√7/7 — Amplificăm cu √7: 8/√7 = 8·√7/(√7·√7) = 8√7/7.
3√2/2 — 3/√2 = 3√2/2.
10√11/11 — Amplificăm cu √11: 10/√11 = 10·√11/(√11·√11) = 10√11/11.
√5 — Amplificăm cu √5: 5/√5 = 5·√5/(√5·√5) = 5√5/5 = √5.
√2 — 2/√2 = 2√2/2 = √2.
6√11/11 — Amplificăm cu √11: 6/√11 = 6·√11/(√11·√11) = 6√11/11.
2√2 — Amplificăm cu √2: 4/√2 = 4·√2/(√2·√2) = 4√2/2 = 2√2.
12√11/11 — Amplificăm cu √11: 12/√11 = 12·√11/(√11·√11) = 12√11/11.
4√3/3 — Amplificăm cu √3: 4/√3 = 4·√3/(√3·√3) = 4√3/3.
2√6/3 — 4/√6 = 4√6/6 = 2√6/3.
12√5/5 — Amplificăm cu √5: 12/√5 = 12·√5/(√5·√5) = 12√5/5.
2√3/3 — 2/√3 = 2√3/3.
2√5/5 — Amplificăm cu √5: 2/√5 = 2·√5/(√5·√5) = 2√5/5.
√11/11 — Amplificăm cu √11: 1/√11 = 1·√11/(√11·√11) = 1√11/11 = √11/11.
3√7/7 — Amplificăm cu √7: 3/√7 = 3·√7/(√7·√7) = 3√7/7.
5√3/3 — Amplificăm cu √3: 5/√3 = 5·√3/(√3·√3) = 5√3/3.
3√2 — 6/√2 = 6√2/2 = 3√2.
2√11/11 — Amplificăm cu √11: 2/√11 = 2·√11/(√11·√11) = 2√11/11.
6√7/7 — 6/√7 = 6√7/7.
12√13/13 — Amplificăm cu √13: 12/√13 = 12·√13/(√13·√13) = 12√13/13.
4√5/5 — Amplificăm cu √5: 4/√5 = 4·√5/(√5·√5) = 4√5/5.
√3 — 3/√3 = 3√3/3 = √3.
√10/2 — Amplificăm cu √10: 5/√10 = 5·√10/(√10·√10) = 5√10/10 = √10/2.
6√10/5 — Amplificăm cu √10: 12/√10 = 12·√10/(√10·√10) = 12√10/10 = 6√10/5.
4√5/5 — 4/√5 = 4√5/5.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Raționalizează numitorul: 8/(5√7).
Raționalizează numitorul: 3/(√2 + 1).
Raționalizează numitorul: 3/(√5 − 2).
Raționalizează numitorul: 2/(√5 + 1).
Raționalizează numitorul: 1/(√2 − 1).
Raționalizează numitorul: 2/(√10 − 2).
Raționalizează numitorul: 1/(√6 + 1).
Raționalizează numitorul: 4/(√7 + 1).
Raționalizează numitorul: 6/(√5 + 1).
Raționalizează numitorul: 4/(√10 − 1).
Raționalizează numitorul: 4/(4√6).
Raționalizează numitorul: 3/(4√3).
Raționalizează numitorul: 3/(2√5).
Raționalizează numitorul: 3/(3√5).
Raționalizează numitorul: 7/(4√3).
Raționalizează numitorul: 6/(2√6).
Raționalizează numitorul: 3/(√10 − 2).
Raționalizează numitorul: 1/(√6 − 1).
Raționalizează numitorul: 5/(6√5).
Raționalizează numitorul: 6/(4√2).
Raționalizează numitorul: 2/(√3 − 1).
Raționalizează numitorul: 1/(√10 − 3).
Raționalizează numitorul: 5/(6√3).
Raționalizează numitorul: 6/(6√7).
Raționalizează numitorul: 2/(√7 − 2).
Raționalizează numitorul: 8/(4√3).
Raționalizează numitorul: 2/(√10 + 1).
Raționalizează numitorul: 5/(√3 + 1).
Raționalizează numitorul: 3/(√5 + 1).
Raționalizează numitorul: 4/(√5 + 1).
Raționalizează numitorul: 3/(6√5).
Raționalizează numitorul: 2/(√2 − 1).
Raționalizează numitorul: 1/(√2 + 1).
Raționalizează numitorul: 3/(4√2).
Raționalizează numitorul: 6/(4√3).
Raționalizează numitorul: 4/(5√2).
Raționalizează numitorul: 1/(√3 + 1).
Raționalizează numitorul: 5/(√5 + 1).
Raționalizează numitorul: 6/(√3 + 1).
Raționalizează numitorul: 3/(4√6).
Raționalizează numitorul: 5/(3√7).
Raționalizează numitorul: 7/(2√5).
Raționalizează numitorul: 4/(√6 − 2).
Raționalizează numitorul: 2/(√10 − 1).
Raționalizează numitorul: 2/(√3 + 1).
Raționalizează numitorul: 4/(√2 + 1).
Raționalizează numitorul: 6/(√10 + 1).
Raționalizează numitorul: 5/(√2 + 1).
Raționalizează numitorul: 4/(√10 + 1).
Raționalizează numitorul: 4/(√5 − 2).

Arată răspunsurile: nivel mediu

8√7/35 — Amplificăm cu √7: 8√7/(5·7) = 8√7/35.
3√2 − 3 — Amplificăm cu conjugatul (√2 − 1): 3(√2 − 1)/((2) − 1) = 3(√2 − 1)/1 = 3√2 − 3.
6 + 3√5 — Conjugatul lui √5 − 2 este √5 + 2: 3(√5 + 2)/(5 − 4) = 3(√5 + 2)/1 = 6 + 3√5.
(√5 − 1)/2 — Amplificăm cu conjugatul (√5 − 1): 2(√5 − 1)/((5) − 1) = 2(√5 − 1)/4 = (√5 − 1)/2.
1 + √2 — Conjugatul lui √2 − 1 este √2 + 1: 1(√2 + 1)/(2 − 1) = 1(√2 + 1)/1 = 1 + √2.
(2 + √10)/3 — Conjugatul lui √10 − 2 este √10 + 2: 2(√10 + 2)/(10 − 4) = 2(√10 + 2)/6 = (2 + √10)/3.
(√6 − 1)/5 — Amplificăm cu conjugatul (√6 − 1): 1(√6 − 1)/((6) − 1) = 1(√6 − 1)/5 = (√6 − 1)/5.
(2√7 − 2)/3 — Amplificăm cu conjugatul (√7 − 1): 4(√7 − 1)/((7) − 1) = 4(√7 − 1)/6 = (2√7 − 2)/3.
(3√5 − 3)/2 — Amplificăm cu conjugatul (√5 − 1): 6(√5 − 1)/((5) − 1) = 6(√5 − 1)/4 = (3√5 − 3)/2.
(4 + 4√10)/9 — Conjugatul lui √10 − 1 este √10 + 1: 4(√10 + 1)/(10 − 1) = 4(√10 + 1)/9 = (4 + 4√10)/9.
√6/6 — Amplificăm cu √6: 4√6/(4·6) = √6/6.
√3/4 — Amplificăm cu √3: 3√3/(4·3) = √3/4.
3√5/10 — Amplificăm cu √5: 3√5/(2·5) = 3√5/10.
√5/5 — Amplificăm cu √5: 3√5/(3·5) = √5/5.
7√3/12 — Amplificăm cu √3: 7√3/(4·3) = 7√3/12.
√6/2 — Amplificăm cu √6: 6√6/(2·6) = √6/2.
(2 + √10)/2 — Conjugatul lui √10 − 2 este √10 + 2: 3(√10 + 2)/(10 − 4) = 3(√10 + 2)/6 = (2 + √10)/2.
(1 + √6)/5 — Conjugatul lui √6 − 1 este √6 + 1: 1(√6 + 1)/(6 − 1) = 1(√6 + 1)/5 = (1 + √6)/5.
√5/6 — Amplificăm cu √5: 5√5/(6·5) = √5/6.
3√2/4 — Amplificăm cu √2: 6√2/(4·2) = 3√2/4.
1 + √3 — Conjugatul lui √3 − 1 este √3 + 1: 2(√3 + 1)/(3 − 1) = 2(√3 + 1)/2 = 1 + √3.
3 + √10 — Conjugatul lui √10 − 3 este √10 + 3: 1(√10 + 3)/(10 − 9) = 1(√10 + 3)/1 = 3 + √10.
5√3/18 — Amplificăm cu √3: 5√3/(6·3) = 5√3/18.
√7/7 — Amplificăm cu √7: 6√7/(6·7) = √7/7.
(4 + 2√7)/3 — Conjugatul lui √7 − 2 este √7 + 2: 2(√7 + 2)/(7 − 4) = 2(√7 + 2)/3 = (4 + 2√7)/3.
2√3/3 — Amplificăm cu √3: 8√3/(4·3) = 2√3/3.
(2√10 − 2)/9 — Amplificăm cu conjugatul (√10 − 1): 2(√10 − 1)/((10) − 1) = 2(√10 − 1)/9 = (2√10 − 2)/9.
(5√3 − 5)/2 — Amplificăm cu conjugatul (√3 − 1): 5(√3 − 1)/((3) − 1) = 5(√3 − 1)/2 = (5√3 − 5)/2.
(3√5 − 3)/4 — Amplificăm cu conjugatul (√5 − 1): 3(√5 − 1)/((5) − 1) = 3(√5 − 1)/4 = (3√5 − 3)/4.
√5 − 1 — Amplificăm cu conjugatul (√5 − 1): 4(√5 − 1)/((5) − 1) = 4(√5 − 1)/4 = √5 − 1.
√5/10 — Amplificăm cu √5: 3√5/(6·5) = √5/10.
2 + 2√2 — Conjugatul lui √2 − 1 este √2 + 1: 2(√2 + 1)/(2 − 1) = 2(√2 + 1)/1 = 2 + 2√2.
√2 − 1 — Amplificăm cu conjugatul (√2 − 1): 1(√2 − 1)/((2) − 1) = 1(√2 − 1)/1 = √2 − 1.
3√2/8 — Amplificăm cu √2: 3√2/(4·2) = 3√2/8.
√3/2 — Amplificăm cu √3: 6√3/(4·3) = √3/2.
2√2/5 — Amplificăm cu √2: 4√2/(5·2) = 2√2/5.
(√3 − 1)/2 — Amplificăm cu conjugatul (√3 − 1): 1(√3 − 1)/((3) − 1) = 1(√3 − 1)/2 = (√3 − 1)/2.
(5√5 − 5)/4 — Amplificăm cu conjugatul (√5 − 1): 5(√5 − 1)/((5) − 1) = 5(√5 − 1)/4 = (5√5 − 5)/4.
3√3 − 3 — Amplificăm cu conjugatul (√3 − 1): 6(√3 − 1)/((3) − 1) = 6(√3 − 1)/2 = 3√3 − 3.
√6/8 — Amplificăm cu √6: 3√6/(4·6) = √6/8.
5√7/21 — Amplificăm cu √7: 5√7/(3·7) = 5√7/21.
7√5/10 — Amplificăm cu √5: 7√5/(2·5) = 7√5/10.
4 + 2√6 — Conjugatul lui √6 − 2 este √6 + 2: 4(√6 + 2)/(6 − 4) = 4(√6 + 2)/2 = 4 + 2√6.
(2 + 2√10)/9 — Conjugatul lui √10 − 1 este √10 + 1: 2(√10 + 1)/(10 − 1) = 2(√10 + 1)/9 = (2 + 2√10)/9.
√3 − 1 — Amplificăm cu conjugatul (√3 − 1): 2(√3 − 1)/((3) − 1) = 2(√3 − 1)/2 = √3 − 1.
4√2 − 4 — Amplificăm cu conjugatul (√2 − 1): 4(√2 − 1)/((2) − 1) = 4(√2 − 1)/1 = 4√2 − 4.
(2√10 − 2)/3 — Amplificăm cu conjugatul (√10 − 1): 6(√10 − 1)/((10) − 1) = 6(√10 − 1)/9 = (2√10 − 2)/3.
5√2 − 5 — Amplificăm cu conjugatul (√2 − 1): 5(√2 − 1)/((2) − 1) = 5(√2 − 1)/1 = 5√2 − 5.
(4√10 − 4)/9 — Amplificăm cu conjugatul (√10 − 1): 4(√10 − 1)/((10) − 1) = 4(√10 − 1)/9 = (4√10 − 4)/9.
8 + 4√5 — Conjugatul lui √5 − 2 este √5 + 2: 4(√5 + 2)/(5 − 4) = 4(√5 + 2)/1 = 8 + 4√5.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Raționalizează numitorul: 1/(4 − √2).
Calculează 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√6 + √7).
Raționalizează numitorul: 1/(6 − √10).
Calculează 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√5 + √6).
Calculează 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√2 + √3).
Raționalizează numitorul: 3/(√7 − √3).
Calculează 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√4 + √5).
Calculează 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√8 + √9).
Raționalizează numitorul: 2/(√5 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(2 − √2).
Calculează 1/(√5 + 1) + 1/(√5 − 1).
Calculează 1/(√7 + 1) + 1/(√7 − 1).
Calculează 1/(√6 + 1) + 1/(√6 − 1).
Raționalizează numitorul: 1/(5 − √5).
Calculează 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√7 + √8).
Raționalizează numitorul: 1/(6 − √5).
Raționalizează numitorul: 3/(√7 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(6 − √2).
Calculează 1/(√3 + 1) + 1/(√3 − 1).
Raționalizează numitorul: 1/(6 − √7).
Calculează 1/(√2 + 1) + 1/(√2 − 1).
Raționalizează numitorul: 1/(4 − √10).
Raționalizează numitorul: 2/(√7 − √2).
Raționalizează numitorul: 2/(√3 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(5 − √10).
Raționalizează numitorul: 1/(3 − √5).
Raționalizează numitorul: 1/(3 − √7).
Raționalizează numitorul: 4/(√7 − √2).
Raționalizează numitorul: 3/(√3 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(3 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(6 − √3).
Raționalizează numitorul: 3/(√5 − √3).
Raționalizează numitorul: 1/(3 − √3).
Raționalizează numitorul: 1/(4 − √3).
Raționalizează numitorul: 2/(√7 − √5).
Raționalizează numitorul: 1/(2 − √3).
Raționalizează numitorul: 1/(5 − √7).
Raționalizează numitorul: 2/(√7 − √3).
Raționalizează numitorul: 1/(√5 − √2).
Raționalizează numitorul: 6/(√3 − √2).
Raționalizează numitorul: 5/(√5 − √3).
Raționalizează numitorul: 6/(√5 − √2).
Raționalizează numitorul: 4/(√7 − √5).
Raționalizează numitorul: 5/(√7 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(4 − √5).
Raționalizează numitorul: 1/(5 − √2).
Raționalizează numitorul: 5/(√5 − √2).
Raționalizează numitorul: 4/(√5 − √3).
Raționalizează numitorul: 4/(√5 − √2).
Raționalizează numitorul: 1/(5 − √3).

Arată răspunsurile: nivel dificil

(4 + √2)/14 — Conjugatul este 4 + √2: (1·(4 + √2))/(4² − 2) = (4 + √2)/14.
√7 − 1 — Raționalizăm fiecare fracție: 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k. Suma devine telescopică: √7 − √1 = √7 − 1.
(6 + √10)/26 — Conjugatul este 6 + √10: (1·(6 + √10))/(6² − 10) = (6 + √10)/26.
√6 − 1 — Raționalizăm fiecare fracție: 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k. Suma devine telescopică: √6 − √1 = √6 − 1.
√3 − 1 — Raționalizăm fiecare fracție: 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k. Suma devine telescopică: √3 − √1 = √3 − 1.
(3√3 + 3√7)/4 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √3: 3(√7 + √3)/(7 − 3) = 3(√7 + √3)/4 = (3√3 + 3√7)/4.
√5 − 1 — Raționalizăm fiecare fracție: 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k. Suma devine telescopică: √5 − √1 = √5 − 1.
2 — Raționalizăm fiecare fracție: 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k. Suma devine telescopică: √9 − √1 = 2.
(2√2 + 2√5)/3 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √2: 2(√5 + √2)/(5 − 2) = 2(√5 + √2)/3 = (2√2 + 2√5)/3.
(2 + √2)/2 — Conjugatul este 2 + √2: (1·(2 + √2))/(2² − 2) = (2 + √2)/2.
√5/2 — Raționalizăm: 1/(√5+1) = (√5−1)/4 și 1/(√5−1) = (√5+1)/4. Suma: 2√5/4 = √5/2.
√7/3 — Raționalizăm: 1/(√7+1) = (√7−1)/6 și 1/(√7−1) = (√7+1)/6. Suma: 2√7/6 = √7/3.
2√6/5 — Raționalizăm: 1/(√6+1) = (√6−1)/5 și 1/(√6−1) = (√6+1)/5. Suma: 2√6/5 = 2√6/5.
(5 + √5)/20 — Conjugatul este 5 + √5: (1·(5 + √5))/(5² − 5) = (5 + √5)/20.
2√2 − 1 — Raționalizăm fiecare fracție: 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k. Suma devine telescopică: √8 − √1 = 2√2 − 1.
(6 + √5)/31 — Conjugatul este 6 + √5: (1·(6 + √5))/(6² − 5) = (6 + √5)/31.
(3√2 + 3√7)/5 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √2: 3(√7 + √2)/(7 − 2) = 3(√7 + √2)/5 = (3√2 + 3√7)/5.
(6 + √2)/34 — Conjugatul este 6 + √2: (1·(6 + √2))/(6² − 2) = (6 + √2)/34.
√3 — Raționalizăm: 1/(√3+1) = (√3−1)/2 și 1/(√3−1) = (√3+1)/2. Suma: 2√3/2 = √3.
(6 + √7)/29 — Conjugatul este 6 + √7: (1·(6 + √7))/(6² − 7) = (6 + √7)/29.
2√2 — Raționalizăm: 1/(√2+1) = (√2−1)/1 și 1/(√2−1) = (√2+1)/1. Suma: 2√2/1 = 2√2.
(4 + √10)/6 — Conjugatul este 4 + √10: (1·(4 + √10))/(4² − 10) = (4 + √10)/6.
(2√2 + 2√7)/5 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √2: 2(√7 + √2)/(7 − 2) = 2(√7 + √2)/5 = (2√2 + 2√7)/5.
2√2 + 2√3 — Amplificăm cu conjugatul √3 + √2: 2(√3 + √2)/(3 − 2) = 2(√3 + √2)/1 = 2√2 + 2√3.
(5 + √10)/15 — Conjugatul este 5 + √10: (1·(5 + √10))/(5² − 10) = (5 + √10)/15.
(3 + √5)/4 — Conjugatul este 3 + √5: (1·(3 + √5))/(3² − 5) = (3 + √5)/4.
(3 + √7)/2 — Conjugatul este 3 + √7: (1·(3 + √7))/(3² − 7) = (3 + √7)/2.
(4√2 + 4√7)/5 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √2: 4(√7 + √2)/(7 − 2) = 4(√7 + √2)/5 = (4√2 + 4√7)/5.
3√2 + 3√3 — Amplificăm cu conjugatul √3 + √2: 3(√3 + √2)/(3 − 2) = 3(√3 + √2)/1 = 3√2 + 3√3.
(3 + √2)/7 — Conjugatul este 3 + √2: (1·(3 + √2))/(3² − 2) = (3 + √2)/7.
(6 + √3)/33 — Conjugatul este 6 + √3: (1·(6 + √3))/(6² − 3) = (6 + √3)/33.
(3√3 + 3√5)/2 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √3: 3(√5 + √3)/(5 − 3) = 3(√5 + √3)/2 = (3√3 + 3√5)/2.
(3 + √3)/6 — Conjugatul este 3 + √3: (1·(3 + √3))/(3² − 3) = (3 + √3)/6.
(4 + √3)/13 — Conjugatul este 4 + √3: (1·(4 + √3))/(4² − 3) = (4 + √3)/13.
√5 + √7 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √5: 2(√7 + √5)/(7 − 5) = 2(√7 + √5)/2 = √5 + √7.
2 + √3 — Conjugatul este 2 + √3: (1·(2 + √3))/(2² − 3) = (2 + √3)/1 = 2 + √3.
(5 + √7)/18 — Conjugatul este 5 + √7: (1·(5 + √7))/(5² − 7) = (5 + √7)/18.
(√3 + √7)/2 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √3: 2(√7 + √3)/(7 − 3) = 2(√7 + √3)/4 = (√3 + √7)/2.
(√2 + √5)/3 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √2: 1(√5 + √2)/(5 − 2) = 1(√5 + √2)/3 = (√2 + √5)/3.
6√2 + 6√3 — Amplificăm cu conjugatul √3 + √2: 6(√3 + √2)/(3 − 2) = 6(√3 + √2)/1 = 6√2 + 6√3.
(5√3 + 5√5)/2 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √3: 5(√5 + √3)/(5 − 3) = 5(√5 + √3)/2 = (5√3 + 5√5)/2.
2√2 + 2√5 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √2: 6(√5 + √2)/(5 − 2) = 6(√5 + √2)/3 = 2√2 + 2√5.
2√5 + 2√7 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √5: 4(√7 + √5)/(7 − 5) = 4(√7 + √5)/2 = 2√5 + 2√7.
√2 + √7 — Amplificăm cu conjugatul √7 + √2: 5(√7 + √2)/(7 − 2) = 5(√7 + √2)/5 = √2 + √7.
(4 + √5)/11 — Conjugatul este 4 + √5: (1·(4 + √5))/(4² − 5) = (4 + √5)/11.
(5 + √2)/23 — Conjugatul este 5 + √2: (1·(5 + √2))/(5² − 2) = (5 + √2)/23.
(5√2 + 5√5)/3 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √2: 5(√5 + √2)/(5 − 2) = 5(√5 + √2)/3 = (5√2 + 5√5)/3.
2√3 + 2√5 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √3: 4(√5 + √3)/(5 − 3) = 4(√5 + √3)/2 = 2√3 + 2√5.
(4√2 + 4√5)/3 — Amplificăm cu conjugatul √5 + √2: 4(√5 + √2)/(5 − 2) = 4(√5 + √2)/3 = (4√2 + 4√5)/3.
(5 + √3)/22 — Conjugatul este 5 + √3: (1·(5 + √3))/(5² − 3) = (5 + √3)/22.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a