Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 7-a › Produsul cartezian. Sistemul de axe ortogonale. Distanța dintre două puncte

Produsul cartezian. Sistemul de axe ortogonale. Distanța dintre două puncte

Perechi ordonate, produsul cartezian a două mulțimi, reprezentarea punctelor în plan, distanța dintre două puncte.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Produsul cartezian

Pentru mulțimile A și B, produsul cartezian este mulțimea perechilor ordonate (a, b) cu a ∈ A și b ∈ B.

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Numărul de elemente: |A × B| = |A|·|B|
În general A × B ≠ B × A

Sistemul de axe ortogonale

Două axe perpendiculare, Ox (abscisa) și Oy (ordonata), cu originea O. Punctul P(a, b) are abscisa a și ordonata b.

xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA(3, 2)B(−2, 3)C(−3, −2)D(2, −3)

Cele patru cadrane: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).

Simetricul lui P(a, b) față de Ox: (a, −b)
față de Oy: (−a, b)
față de origine: (−a, −b)

Distanța dintre două puncte

Pe aceeași orizontală: AB = |x₂ − x₁|
Pe aceeași verticală: AB = |y₂ − y₁|
În general: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OAB

AB este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 4 și 3, deci AB = 5. Formula de mai sus este teorema lui Pitagora.

Exemplul 1. Dacă A = {1, 2} și B = {x, y, z}, scrie A × B și B × A.
Rezolvare. A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)} (6 elemente). B × A are tot 6 elemente, dar sunt diferite: (x, 1), (x, 2), …
Exemplul 2. Calculează AB pentru A(−1, 2) și B(4, 14).
Metoda 1 (cu formula). AB = √(5² + 12²) = √169 = 13.
Metoda 2 (cu triunghiul). Catetele sunt 5 și 12; ipotenuza este 13.
Exemplul 3. Calculează AB pentru A(0, 1) și B(2, 3).
Rezolvare. AB = √(2² + 2²) = √8 = 2√2.
Exemplul 4. Arată că triunghiul cu vârfurile A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3) este dreptunghic și află perimetrul.
Rezolvare. AB = 4, AC = 3, BC = √(16 + 9) = 5. Cum 3² + 4² = 5², unghiul A este drept. Perimetrul este 12.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  2. Dacă A = {2, 7} și B = {a, y}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (2, a)  ·  B) (a, 2)  ·  C) (a, y)  ·  D) (2, 7)  ·  E) (9, a)
  3. Dacă A = {2, 8} și B = {b, a}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (2, 8)  ·  B) (b, a)  ·  C) (b, 2)  ·  D) (2, b)  ·  E) (10, b)
  4. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  5. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  6. Care este ordonata punctului A(−3, 5)?
  7. Care este abscisa punctului M(−1, 4)?
  8. Dacă A = {7, 8} și B = {c, x}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (7, 8)  ·  B) (c, x)  ·  C) (15, c)  ·  D) (c, 7)  ·  E) (7, c)
  9. Care este ordonata punctului A(−4, −2)?
  10. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  11. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  12. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  13. Punctul P(a, 0) se află pe
  14. Mulțimea A are 4 elemente, iar B are 2 elemente. Câte elemente are A × B?
  15. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  16. Care este ordonata punctului A(−3, −5)?
  17. Dacă A = {5, 8} și B = {d, c}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (5, 8)  ·  B) (5, d)  ·  C) (13, d)  ·  D) (d, 5)  ·  E) (d, c)
  18. Mulțimea A are 3 elemente, iar B are 2 elemente. Câte elemente are A × B?
  19. Dacă A = {2, 5} și B = {x, a}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (x, a)  ·  B) (2, 5)  ·  C) (2, x)  ·  D) (x, 2)  ·  E) (7, x)
  20. Mulțimea A are 3 elemente, iar B are 5 elemente. Câte elemente are A × B?
  21. Dacă A = {3, 4} și B = {c, a}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (7, c)  ·  B) (c, 3)  ·  C) (3, c)  ·  D) (3, 4)  ·  E) (c, a)
  22. Care este ordonata punctului A(3, −4)?
  23. Care este ordonata punctului A(3, 5)?
  24. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  25. Mulțimea A are 2 elemente, iar B are 5 elemente. Câte elemente are A × B?
  26. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  27. Mulțimea A are 4 elemente, iar B are 7 elemente. Câte elemente are A × B?
  28. Care este ordonata punctului A(−3, 4)?
  29. Mulțimea A are 5 elemente, iar B are 4 elemente. Câte elemente are A × B?
  30. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  31. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  32. Dacă A = {1, 7} și B = {c, y}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (1, 7)  ·  B) (8, c)  ·  C) (c, y)  ·  D) (1, c)  ·  E) (c, 1)
  33. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  34. Mulțimea A are 3 elemente, iar B are 4 elemente. Câte elemente are A × B?
  35. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  36. Dacă A = {6, 8} și B = {a, x}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (a, x)  ·  B) (6, 8)  ·  C) (6, a)  ·  D) (14, a)  ·  E) (a, 6)
  37. Dacă A = {1, 2} și B = {x, b}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (x, b)  ·  B) (1, 2)  ·  C) (1, x)  ·  D) (3, x)  ·  E) (x, 1)
  38. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  39. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  40. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  41. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  42. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  43. Mulțimea A are 6 elemente, iar B are 2 elemente. Câte elemente are A × B?
  44. Care este ordonata punctului A(−5, −3)?
  45. Care este ordonata punctului A(−5, 3)?
  46. Dacă A = {1, 4} și B = {y, c}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (y, 1)  ·  B) (y, c)  ·  C) (1, y)  ·  D) (5, y)  ·  E) (1, 4)
  47. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
  48. Mulțimea A are 5 elemente, iar B are 2 elemente. Câte elemente are A × B?
  49. Dacă A = {1, 5} și B = {a, c}, care dintre perechile următoare aparține lui A × B?
    Variante: A) (1, a)  ·  B) (1, 5)  ·  C) (a, c)  ·  D) (6, a)  ·  E) (a, 1)
  50. Care sunt coordonatele punctului A din figură?xy−5−5−4−4−3−3−2−2−1−11122334455OA
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. (−3, 5) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −3, ordonata (pe Oy) este 5.
  2. (2, a) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (2, a).
  3. (2, b) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (2, b).
  4. (−1, −4) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −1, ordonata (pe Oy) este −4.
  5. (−3, 2) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −3, ordonata (pe Oy) este 2.
  6. 5 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este 5.
  7. −1 — Abscisa este prima coordonată: −1.
  8. (7, c) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (7, c).
  9. −2 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este −2.
  10. (−3, 4) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −3, ordonata (pe Oy) este 4.
  11. (−2, −5) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −2, ordonata (pe Oy) este −5.
  12. (2, −3) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 2, ordonata (pe Oy) este −3.
  13. axa Ox — Punctele cu ordonata 0 se află pe axa Ox.
  14. 8 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 4·2 = 8 elemente (perechi ordonate).
  15. (1, −5) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 1, ordonata (pe Oy) este −5.
  16. −5 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este −5.
  17. (5, d) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (5, d).
  18. 6 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 3·2 = 6 elemente (perechi ordonate).
  19. (2, x) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (2, x).
  20. 15 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 3·5 = 15 elemente (perechi ordonate).
  21. (3, c) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (3, c).
  22. −4 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este −4.
  23. 5 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este 5.
  24. (3, 4) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 3, ordonata (pe Oy) este 4.
  25. 10 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 2·5 = 10 elemente (perechi ordonate).
  26. (−5, −1) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −5, ordonata (pe Oy) este −1.
  27. 28 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 4·7 = 28 elemente (perechi ordonate).
  28. 4 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este 4.
  29. 20 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 5·4 = 20 elemente (perechi ordonate).
  30. (1, 5) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 1, ordonata (pe Oy) este 5.
  31. (−4, 1) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −4, ordonata (pe Oy) este 1.
  32. (1, c) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (1, c).
  33. (3, −1) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 3, ordonata (pe Oy) este −1.
  34. 12 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 3·4 = 12 elemente (perechi ordonate).
  35. (2, −1) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 2, ordonata (pe Oy) este −1.
  36. (6, a) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (6, a).
  37. (1, x) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (1, x).
  38. (−2, −4) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −2, ordonata (pe Oy) este −4.
  39. (1, 4) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 1, ordonata (pe Oy) este 4.
  40. (2, 5) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 2, ordonata (pe Oy) este 5.
  41. (−4, −1) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −4, ordonata (pe Oy) este −1.
  42. (3, 1) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este 3, ordonata (pe Oy) este 1.
  43. 12 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 6·2 = 12 elemente (perechi ordonate).
  44. −3 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este −3.
  45. 3 — În perechea (x, y), x este abscisa și y este ordonata. Ordonata este 3.
  46. (1, y) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (1, y).
  47. (−5, −2) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −5, ordonata (pe Oy) este −2.
  48. 10 — Produsul cartezian are |A|·|B| = 5·2 = 10 elemente (perechi ordonate).
  49. (1, a) — Un element din A × B are prima componentă din A și a doua din B: (1, a).
  50. (−5, 4) — Citim pe axe: abscisa (pe Ox) este −5, ordonata (pe Oy) este 4.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Care este simetricul punctului A(5, −4) față de axa Ox?
  2. Care este simetricul punctului A(−1, 2) față de origine?
  3. Care este distanța dintre punctele A(3, −2) și B(12, 10)?
  4. Care este simetricul punctului A(−5, −5) față de axa Ox?
  5. Care este simetricul punctului A(−5, −4) față de axa Ox?
  6. Care este simetricul punctului A(−3, −1) față de axa Ox?
  7. Care este simetricul punctului A(−4, −3) față de origine?
  8. Care este simetricul punctului A(−5, 1) față de origine?
  9. Care este simetricul punctului A(−2, −2) față de axa Ox?
  10. Care este simetricul punctului A(−2, 5) față de axa Ox?
  11. Care este simetricul punctului A(−2, −4) față de axa Ox?
  12. Care este simetricul punctului A(−3, 5) față de axa Ox?
  13. Care este simetricul punctului A(4, 1) față de axa Ox?
  14. Care este distanța dintre punctele A(3, −4) și B(12, 8)?
  15. Care este simetricul punctului A(−1, −1) față de axa Ox?
  16. Care este distanța dintre punctele A(−3, 0) și B(3, 8)?
  17. Care este simetricul punctului A(−3, −2) față de origine?
  18. Care este simetricul punctului A(2, −4) față de origine?
  19. Care este distanța dintre punctele A(2, 2) și B(5, 6)?
  20. Care este simetricul punctului A(−5, 1) față de axa Ox?
  21. Care este simetricul punctului A(3, −4) față de origine?
  22. Care este simetricul punctului A(5, 5) față de axa Ox?
  23. Care este simetricul punctului A(3, −5) față de axa Ox?
  24. Care este simetricul punctului A(1, 3) față de axa Ox?
  25. Care este simetricul punctului A(−4, −4) față de axa Ox?
  26. Care este simetricul punctului A(−4, 5) față de axa Ox?
  27. Care este distanța dintre punctele A(2, −4) și B(8, 4)?
  28. Care este simetricul punctului A(−1, 5) față de axa Ox?
  29. Care este simetricul punctului A(3, 1) față de origine?
  30. Care este simetricul punctului A(5, 4) față de axa Ox?
  31. Care este distanța dintre punctele A(2, −3) și B(5, 1)?
  32. Care este distanța dintre punctele A(−3, 0) și B(6, 12)?
  33. Care este simetricul punctului A(−4, 1) față de origine?
  34. Care este simetricul punctului A(3, 5) față de axa Ox?
  35. Care este simetricul punctului A(5, −2) față de axa Ox?
  36. Care este distanța dintre punctele A(1, −4) și B(10, 8)?
  37. Care este simetricul punctului A(−1, 3) față de axa Ox?
  38. Care este distanța dintre punctele A(−3, 1) și B(5, 16)?
  39. Care este distanța dintre punctele A(2, 1) și B(7, 13)?
  40. Care este distanța dintre punctele A(−1, −3) și B(7, 12)?
  41. Care este simetricul punctului A(−3, −3) față de axa Ox?
  42. Care este simetricul punctului A(−5, −3) față de origine?
  43. Care este simetricul punctului A(−4, 1) față de axa Ox?
  44. Care este simetricul punctului A(−5, −2) față de axa Ox?
  45. Care este distanța dintre punctele A(−3, 2) și B(2, 14)?
  46. Care este simetricul punctului A(2, −1) față de origine?
  47. Care este simetricul punctului A(−2, 4) față de axa Ox?
  48. Care este distanța dintre punctele A(−3, −4) și B(0, 0)?
  49. Care este distanța dintre punctele A(1, −3) și B(10, 9)?
  50. Care este simetricul punctului A(2, 3) față de axa Ox?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. (5, 4) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (5, 4).
  2. (1, −2) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (1, −2).
  3. 15 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(9² + 12²) = √225 = 15.
  4. (−5, 5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−5, 5).
  5. (−5, 4) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−5, 4).
  6. (−3, 1) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−3, 1).
  7. (4, 3) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (4, 3).
  8. (5, −1) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (5, −1).
  9. (−2, 2) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−2, 2).
  10. (−2, −5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−2, −5).
  11. (−2, 4) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−2, 4).
  12. (−3, −5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−3, −5).
  13. (4, −1) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (4, −1).
  14. 15 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(9² + 12²) = √225 = 15.
  15. (−1, 1) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−1, 1).
  16. 10 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(6² + 8²) = √100 = 10.
  17. (3, 2) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (3, 2).
  18. (−2, 4) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (−2, 4).
  19. 5 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(3² + 4²) = √25 = 5.
  20. (−5, −1) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−5, −1).
  21. (−3, 4) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (−3, 4).
  22. (5, −5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (5, −5).
  23. (3, 5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (3, 5).
  24. (1, −3) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (1, −3).
  25. (−4, 4) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−4, 4).
  26. (−4, −5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−4, −5).
  27. 10 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(6² + 8²) = √100 = 10.
  28. (−1, −5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−1, −5).
  29. (−3, −1) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (−3, −1).
  30. (5, −4) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (5, −4).
  31. 5 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(3² + 4²) = √25 = 5.
  32. 15 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(9² + 12²) = √225 = 15.
  33. (4, −1) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (4, −1).
  34. (3, −5) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (3, −5).
  35. (5, 2) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (5, 2).
  36. 15 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(9² + 12²) = √225 = 15.
  37. (−1, −3) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−1, −3).
  38. 17 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(8² + 15²) = √289 = 17.
  39. 13 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(5² + 12²) = √169 = 13.
  40. 17 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(8² + 15²) = √289 = 17.
  41. (−3, 3) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−3, 3).
  42. (5, 3) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (5, 3).
  43. (−4, −1) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−4, −1).
  44. (−5, 2) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−5, 2).
  45. 13 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(5² + 12²) = √169 = 13.
  46. (−2, 1) — Față de origine se schimbă semnul ambelor coordonate: (−2, 1).
  47. (−2, −4) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (−2, −4).
  48. 5 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(3² + 4²) = √25 = 5.
  49. 15 — AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] = √(9² + 12²) = √225 = 15.
  50. (2, −3) — Față de axa Ox se schimbă semnul ordonatei: (2, −3).

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Calculează distanța dintre A(3, 0) și B(4, 5).
  2. Dacă A are 6 elemente și B are 3 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  3. Calculează distanța dintre A(−4, 0) și B(1, 3).
  4. Triunghiul ABC are A(−1, −4), B(1, −4), C(−1, −1). Care este aria lui?
  5. Triunghiul ABC are A(−2, −4), B(−1, −4), C(−2, 0). Care este aria lui?
  6. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−2, 0), B(3, 0), C(3, 2), D(−2, 2). Cât este perimetrul?
  7. Calculează distanța dintre A(−3, 3) și B(1, 5).
  8. Triunghiul ABC are A(0, 4), B(1, 4), C(0, 9). Care este aria lui?
  9. Triunghiul ABC are A(−2, 4), B(3, 4), C(−2, 5). Care este aria lui?
  10. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−2, −1), B(2, −1), C(2, 5), D(−2, 5). Cât este perimetrul?
  11. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−2, −2), B(3, −2), C(3, 3), D(−2, 3). Cât este perimetrul?
  12. Triunghiul ABC are A(−2, −3), B(2, −3), C(−2, −1). Care este aria lui?
  13. Dacă A are 4 elemente și B are 2 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  14. Dacă A are 4 elemente și B are 3 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  15. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−1, −2), B(4, −2), C(4, 3), D(−1, 3). Cât este perimetrul?
  16. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−1, −2), B(3, −2), C(3, 0), D(−1, 0). Cât este perimetrul?
  17. Triunghiul ABC are A(2, 0), B(4, 0), C(2, 3). Care este aria lui?
  18. Triunghiul ABC are A(4, −4), B(7, −4), C(4, −3). Care este aria lui?
  19. Triunghiul ABC are A(2, −4), B(6, −4), C(2, −3). Care este aria lui?
  20. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−3, −1), B(1, −1), C(1, 1), D(−3, 1). Cât este perimetrul?
  21. Dacă A are 3 elemente și B are 5 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  22. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−2, −3), B(0, −3), C(0, 2), D(−2, 2). Cât este perimetrul?
  23. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−1, −3), B(5, −3), C(5, 3), D(−1, 3). Cât este perimetrul?
  24. Calculează distanța dintre A(−3, 3) și B(−2, 6).
  25. Calculează distanța dintre A(2, 4) și B(3, 8).
  26. Triunghiul ABC are A(4, −4), B(9, −4), C(4, 1). Care este aria lui?
  27. Calculează distanța dintre A(4, 1) și B(7, 4).
  28. Dacă A are 3 elemente și B are 4 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  29. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−2, −1), B(4, −1), C(4, 4), D(−2, 4). Cât este perimetrul?
  30. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−2, −1), B(1, −1), C(1, 2), D(−2, 2). Cât este perimetrul?
  31. Calculează distanța dintre A(−1, −2) și B(1, −1).
  32. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(0, 0), B(6, 0), C(6, 6), D(0, 6). Cât este perimetrul?
  33. Dacă A are 3 elemente și B are 2 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  34. Triunghiul ABC are A(4, 1), B(8, 1), C(4, 2). Care este aria lui?
  35. Dacă A are 2 elemente și B are 4 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  36. Calculează distanța dintre A(0, 0) și B(2, 3).
  37. Calculează distanța dintre A(1, −4) și B(5, −2).
  38. Calculează distanța dintre A(3, −2) și B(8, 2).
  39. Triunghiul ABC are A(0, −1), B(1, −1), C(0, 2). Care este aria lui?
  40. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−3, 0), B(−1, 0), C(−1, 4), D(−3, 4). Cât este perimetrul?
  41. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−1, −2), B(4, −2), C(4, 1), D(−1, 1). Cât este perimetrul?
  42. Calculează distanța dintre A(0, −3) și B(5, −2).
  43. Triunghiul ABC are A(4, 2), B(8, 2), C(4, 7). Care este aria lui?
  44. Dreptunghiul ABCD are vârfurile A(−1, 0), B(1, 0), C(1, 4), D(−1, 4). Cât este perimetrul?
  45. Calculează distanța dintre A(−4, −2) și B(1, 2).
  46. Dacă A are 6 elemente și B are 2 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
  47. Calculează distanța dintre A(0, −4) și B(1, −3).
  48. Calculează distanța dintre A(2, 3) și B(3, 8).
  49. Calculează distanța dintre A(4, −4) și B(8, −3).
  50. Dacă A are 2 elemente și B are 5 elemente, câte elemente are (A × B) ∪ (B × A) dacă A ∩ B = ∅?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. √26 — AB = √((1)² + (5)²) = √(1 + 25) = √26.
  2. 36 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 18 + 18 = 36.
  3. √34 — AB = √((5)² + (3)²) = √(25 + 9) = √34.
  4. 3 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 2 și AC = 3. Aria = (2·3)/2 = 3.
  5. 2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 1 și AC = 4. Aria = (1·4)/2 = 2.
  6. 14 — AB = 5 și BC = 2 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(5 + 2) = 14.
  7. 2√5 — AB = √((4)² + (2)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.
  8. 5/2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 1 și AC = 5. Aria = (1·5)/2 = 5/2.
  9. 5/2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 5 și AC = 1. Aria = (5·1)/2 = 5/2.
  10. 20 — AB = 4 și BC = 6 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(4 + 6) = 20.
  11. 20 — AB = 5 și BC = 5 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(5 + 5) = 20.
  12. 4 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 4 și AC = 2. Aria = (4·2)/2 = 4.
  13. 16 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 8 + 8 = 16.
  14. 24 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 12 + 12 = 24.
  15. 20 — AB = 5 și BC = 5 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(5 + 5) = 20.
  16. 12 — AB = 4 și BC = 2 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(4 + 2) = 12.
  17. 3 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 2 și AC = 3. Aria = (2·3)/2 = 3.
  18. 3/2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 3 și AC = 1. Aria = (3·1)/2 = 3/2.
  19. 2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 4 și AC = 1. Aria = (4·1)/2 = 2.
  20. 12 — AB = 4 și BC = 2 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(4 + 2) = 12.
  21. 30 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 15 + 15 = 30.
  22. 14 — AB = 2 și BC = 5 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(2 + 5) = 14.
  23. 24 — AB = 6 și BC = 6 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(6 + 6) = 24.
  24. √10 — AB = √((1)² + (3)²) = √(1 + 9) = √10.
  25. √17 — AB = √((1)² + (4)²) = √(1 + 16) = √17.
  26. 25/2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 5 și AC = 5. Aria = (5·5)/2 = 25/2.
  27. 3√2 — AB = √((3)² + (3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.
  28. 24 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 12 + 12 = 24.
  29. 22 — AB = 6 și BC = 5 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(6 + 5) = 22.
  30. 12 — AB = 3 și BC = 3 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(3 + 3) = 12.
  31. √5 — AB = √((2)² + (1)²) = √(4 + 1) = √5.
  32. 24 — AB = 6 și BC = 6 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(6 + 6) = 24.
  33. 12 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 6 + 6 = 12.
  34. 2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 4 și AC = 1. Aria = (4·1)/2 = 2.
  35. 16 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 8 + 8 = 16.
  36. √13 — AB = √((2)² + (3)²) = √(4 + 9) = √13.
  37. 2√5 — AB = √((4)² + (2)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.
  38. √41 — AB = √((5)² + (4)²) = √(25 + 16) = √41.
  39. 3/2 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 1 și AC = 3. Aria = (1·3)/2 = 3/2.
  40. 12 — AB = 2 și BC = 4 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(2 + 4) = 12.
  41. 16 — AB = 5 și BC = 3 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(5 + 3) = 16.
  42. √26 — AB = √((5)² + (1)²) = √(25 + 1) = √26.
  43. 10 — Triunghiul este dreptunghic în A, cu catetele AB = 4 și AC = 5. Aria = (4·5)/2 = 10.
  44. 12 — AB = 2 și BC = 4 (latura orizontală și cea verticală). P = 2(2 + 4) = 12.
  45. √41 — AB = √((5)² + (4)²) = √(25 + 16) = √41.
  46. 24 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 12 + 12 = 24.
  47. √2 — AB = √((1)² + (1)²) = √(1 + 1) = √2.
  48. √26 — AB = √((1)² + (5)²) = √(1 + 25) = √26.
  49. √17 — AB = √((4)² + (1)²) = √(16 + 1) = √17.
  50. 20 — Dacă mulțimile sunt disjuncte, A × B și B × A nu au perechi comune. Deci |(A × B) ∪ (B × A)| = 10 + 10 = 20.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a