Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Șir de rapoarte egale

Șir de rapoarte egale

Șir de rapoarte egale, proprietatea sumei, probleme cu numere date prin raport și sumă sau diferență.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Egalitățile a/b = c/d = e/f formează un șir de rapoarte egale. Valoarea comună k se numește raport comun.

a/b = c/d = e/f = k ⇒ a = bk, c = dk, e = fk
(a + c + e)/(b + d + f) = k   (dacă b + d + f ≠ 0)

Cum rezolvăm

  1. Notăm raportul comun cu k și scriem fiecare număr în funcție de k.
  2. Folosim condiția dată (sumă, diferență, produs) pentru a afla k.
  3. Calculăm numerele.
Exemplul 1. a/2 = b/3 = c/5 și a + b + c = 60: (a + b + c)/(2 + 3 + 5) = 60/10 = 6. Deci a = 12, b = 18, c = 30.
Exemplul 2. x/3 = y/4 = z/6 și 2x + y − z = 28. Notăm raportul cu k: x = 3k, y = 4k, z = 6k; 2·3k + 4k − 6k = 4k = 28 ⇒ k = 7; x = 21, y = 28, z = 42.
Exemplul 3. a/b = 2/3 și b/c = 4/5. Aducem la același b: a : b = 8 : 12 (amplificăm cu 4), b : c = 12 : 15 (amplificăm cu 3). Deci a : b : c = 8 : 12 : 15.
Exemplul 4. Dacă a/3 = b/5 și b − a = 18: (b − a)/(5 − 3) = 18/2 = 9, deci a = 27 și b = 45.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Află x din șirul de rapoarte egale 45/40 = 54/x.
  2. Dacă 12/9 = 16/12 = 24/18, atunci raportul sumelor (12 + 16 + 24)/(9 + 12 + 18) este:
    Variante: A) 4/3  ·  B) 3/4  ·  C) 1  ·  D) 5/3  ·  E) 14/9
  3. Dacă 9/4 = 36/16 = 54/24, atunci raportul sumelor (9 + 36 + 54)/(4 + 16 + 24) este:
    Variante: A) 5/2  ·  B) 9/5  ·  C) 4/9  ·  D) 9/4  ·  E) 15/8
  4. Dacă 6/5 = 18/15 = 36/30, atunci raportul sumelor (6 + 18 + 36)/(5 + 15 + 30) este:
    Variante: A) 7/5  ·  B) 1  ·  C) 4/5  ·  D) 5/6  ·  E) 6/5
  5. Dacă a/2 = b/9 și a + b = 88, cât este b?
  6. Dacă 20/16 = 25/20 = 30/24, atunci raportul sumelor (20 + 25 + 30)/(16 + 20 + 24) este:
    Variante: A) 3/2  ·  B) 5/4  ·  C) 15/8  ·  D) 4/5  ·  E) 1
  7. Dacă 7/3 = 21/9 = 42/18, atunci raportul sumelor (7 + 21 + 42)/(3 + 9 + 18) este:
    Variante: A) 7/4  ·  B) 8/3  ·  C) 7/3  ·  D) 3/7  ·  E) 14/9
  8. Dacă a/1 = b/5 și a + b = 18, cât este b?
  9. Dacă a/7 = b/5 și a + b = 84, cât este a?
  10. Dacă a/1 = b/5 și a + b = 72, cât este b?
  11. Dacă 3/8 = 9/24 = 18/48, atunci raportul sumelor (3 + 9 + 18)/(8 + 24 + 48) este:
    Variante: A) 1/4  ·  B) 8/3  ·  C) 3/8  ·  D) 1/2  ·  E) 1/3
  12. Dacă a/7 = b/1 și a + b = 40, cât este a?
  13. Află x din șirul de rapoarte egale 20/8 = 15/x.
  14. Dacă 15/27 = 25/45 = 35/63, atunci raportul sumelor (15 + 25 + 35)/(27 + 45 + 63) este:
    Variante: A) 2/3  ·  B) 40/63  ·  C) 1/2  ·  D) 5/9  ·  E) 9/5
  15. Dacă a/8 = b/5 și a + b = 117, cât este a?
  16. Dacă a/8 = b/3 și a + b = 110, cât este a?
  17. Află x din șirul de rapoarte egale 18/15 = 24/x.
  18. Află x din șirul de rapoarte egale 28/32 = 14/x.
  19. Dacă a/5 = b/2 și a + b = 56, cât este a?
  20. Dacă a/5 = b/8 și a + b = 143, cât este a?
  21. Află x din șirul de rapoarte egale 10/45 = 4/x.
  22. Dacă a/5 = b/7 și a + b = 36, cât este a?
  23. Află x din șirul de rapoarte egale 16/10 = 24/x.
  24. Dacă a/7 = b/1 și a + b = 48, cât este a?
  25. Dacă a/4 = b/7 și a + b = 44, cât este b?
  26. Dacă a/4 = b/9 și a + b = 130, cât este a?
  27. Dacă a/7 = b/3 și a + b = 30, cât este b?
  28. Află x din șirul de rapoarte egale 24/42 = 12/x.
  29. Află x din șirul de rapoarte egale 45/20 = 27/x.
  30. Dacă a/3 = b/4 și a + b = 84, cât este a?
  31. Dacă a/4 = b/1 și a + b = 25, cât este a?
  32. Dacă a/8 = b/1 și a + b = 72, cât este b?
  33. Află x din șirul de rapoarte egale 27/21 = 45/x.
  34. Dacă a/9 = b/4 și a + b = 26, cât este b?
  35. Dacă 9/15 = 12/20 = 18/30, atunci raportul sumelor (9 + 12 + 18)/(15 + 20 + 30) este:
    Variante: A) 1/2  ·  B) 4/5  ·  C) 3/5  ·  D) 7/10  ·  E) 5/3
  36. Dacă 27/12 = 36/16 = 54/24, atunci raportul sumelor (27 + 36 + 54)/(12 + 16 + 24) este:
    Variante: A) 9/5  ·  B) 5/2  ·  C) 9/4  ·  D) 21/8  ·  E) 4/9
  37. Dacă a/4 = b/7 și a + b = 44, cât este a?
  38. Dacă 8/6 = 16/12 = 28/21, atunci raportul sumelor (8 + 16 + 28)/(6 + 12 + 21) este:
    Variante: A) 3/4  ·  B) 1  ·  C) 4/3  ·  D) 8/7  ·  E) 5/3
  39. Dacă a/5 = b/3 și a + b = 80, cât este b?
  40. Află x din șirul de rapoarte egale 25/45 = 15/x.
  41. Află x din șirul de rapoarte egale 4/10 = 8/x.
  42. Dacă a/1 = b/8 și a + b = 63, cât este b?
  43. Dacă a/7 = b/2 și a + b = 18, cât este a?
  44. Dacă 2/7 = 8/28 = 12/42, atunci raportul sumelor (2 + 8 + 12)/(7 + 28 + 42) este:
    Variante: A) 2/7  ·  B) 3/7  ·  C) 1/4  ·  D) 5/21  ·  E) 7/2
  45. Află x din șirul de rapoarte egale 21/15 = 35/x.
  46. Dacă a/9 = b/5 și a + b = 28, cât este b?
  47. Află x din șirul de rapoarte egale 24/18 = 20/x.
  48. Dacă 9/2 = 18/4 = 45/10, atunci raportul sumelor (9 + 18 + 45)/(2 + 4 + 10) este:
    Variante: A) 3  ·  B) 27/10  ·  C) 2/9  ·  D) 5  ·  E) 9/2
  49. Dacă a/9 = b/4 și a + b = 104, cât este a?
  50. Dacă 27/12 = 54/24 = 63/28, atunci raportul sumelor (27 + 54 + 63)/(12 + 24 + 28) este:
    Variante: A) 9/5  ·  B) 81/28  ·  C) 9/4  ·  D) 5/2  ·  E) 4/9
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 48 — 45/40 = 9/8, deci 54/x = 9/8 ⇒ x = 48.
  2. 4/3 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 4/3.
  3. 9/4 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 9/4.
  4. 6/5 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 6/5.
  5. 72 — (a + b)/(2 + 9) = 88/11 = 8; b = 9 · 8 = 72.
  6. 5/4 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 5/4.
  7. 7/3 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 7/3.
  8. 15 — (a + b)/(1 + 5) = 18/6 = 3; b = 5 · 3 = 15.
  9. 49 — (a + b)/(7 + 5) = 84/12 = 7; a = 7 · 7 = 49.
  10. 60 — (a + b)/(1 + 5) = 72/6 = 12; b = 5 · 12 = 60.
  11. 3/8 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 3/8.
  12. 35 — (a + b)/(7 + 1) = 40/8 = 5; a = 7 · 5 = 35.
  13. 6 — 20/8 = 5/2, deci 15/x = 5/2 ⇒ x = 6.
  14. 5/9 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 5/9.
  15. 72 — (a + b)/(8 + 5) = 117/13 = 9; a = 8 · 9 = 72.
  16. 80 — (a + b)/(8 + 3) = 110/11 = 10; a = 8 · 10 = 80.
  17. 20 — 18/15 = 6/5, deci 24/x = 6/5 ⇒ x = 20.
  18. 16 — 28/32 = 7/8, deci 14/x = 7/8 ⇒ x = 16.
  19. 40 — (a + b)/(5 + 2) = 56/7 = 8; a = 5 · 8 = 40.
  20. 55 — (a + b)/(5 + 8) = 143/13 = 11; a = 5 · 11 = 55.
  21. 18 — 10/45 = 2/9, deci 4/x = 2/9 ⇒ x = 18.
  22. 15 — (a + b)/(5 + 7) = 36/12 = 3; a = 5 · 3 = 15.
  23. 15 — 16/10 = 8/5, deci 24/x = 8/5 ⇒ x = 15.
  24. 42 — (a + b)/(7 + 1) = 48/8 = 6; a = 7 · 6 = 42.
  25. 28 — (a + b)/(4 + 7) = 44/11 = 4; b = 7 · 4 = 28.
  26. 40 — (a + b)/(4 + 9) = 130/13 = 10; a = 4 · 10 = 40.
  27. 9 — (a + b)/(7 + 3) = 30/10 = 3; b = 3 · 3 = 9.
  28. 21 — 24/42 = 4/7, deci 12/x = 4/7 ⇒ x = 21.
  29. 12 — 45/20 = 9/4, deci 27/x = 9/4 ⇒ x = 12.
  30. 36 — (a + b)/(3 + 4) = 84/7 = 12; a = 3 · 12 = 36.
  31. 20 — (a + b)/(4 + 1) = 25/5 = 5; a = 4 · 5 = 20.
  32. 8 — (a + b)/(8 + 1) = 72/9 = 8; b = 1 · 8 = 8.
  33. 35 — 27/21 = 9/7, deci 45/x = 9/7 ⇒ x = 35.
  34. 8 — (a + b)/(9 + 4) = 26/13 = 2; b = 4 · 2 = 8.
  35. 3/5 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 3/5.
  36. 9/4 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 9/4.
  37. 16 — (a + b)/(4 + 7) = 44/11 = 4; a = 4 · 4 = 16.
  38. 4/3 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 4/3.
  39. 30 — (a + b)/(5 + 3) = 80/8 = 10; b = 3 · 10 = 30.
  40. 27 — 25/45 = 5/9, deci 15/x = 5/9 ⇒ x = 27.
  41. 20 — 4/10 = 2/5, deci 8/x = 2/5 ⇒ x = 20.
  42. 56 — (a + b)/(1 + 8) = 63/9 = 7; b = 8 · 7 = 56.
  43. 14 — (a + b)/(7 + 2) = 18/9 = 2; a = 7 · 2 = 14.
  44. 2/7 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 2/7.
  45. 25 — 21/15 = 7/5, deci 35/x = 7/5 ⇒ x = 25.
  46. 10 — (a + b)/(9 + 5) = 28/14 = 2; b = 5 · 2 = 10.
  47. 15 — 24/18 = 4/3, deci 20/x = 4/3 ⇒ x = 15.
  48. 9/2 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 9/2.
  49. 72 — (a + b)/(9 + 4) = 104/13 = 8; a = 9 · 8 = 72.
  50. 9/4 — Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu raportul comun: 9/4.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Numerele a, b, c verifică a/8 = b/3 = c/5 și a + b + c = 32. Cât este c?
  2. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/3 = c/6 și a + b + c = 77. Cât este b?
  3. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/4 = c/8 și a + b + c = 126. Cât este b?
  4. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/3 = c/9 și a + b + c = 48. Cât este b?
  5. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/8 = c/2 și a + b + c = 190. Cât este b?
  6. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/9 = c/6 și a + b + c = 112. Cât este a?
  7. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/8 = c/4 și a + b + c = 28. Cât este c?
  8. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/3 = c/8 și a + b + c = 180. Cât este a?
  9. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/5 = c/8 și a + b + c = 170. Cât este a?
  10. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/4 = c/6 și a + b + c = 78. Cât este c?
  11. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/8 = c/2 și a + b + c = 68. Cât este c?
  12. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/6 = c/9 și a + b + c = 170. Cât este b?
  13. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/6 = c/4 și a + b + c = 65. Cât este c?
  14. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/6 = c/4 și a + b + c = 119. Cât este c?
  15. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/6 = c/8 și a + b + c = 165. Cât este c?
  16. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/8 = c/6 și a + b + c = 135. Cât este c?
  17. Numerele a, b, c verifică a/5 = b/4 = c/9 și a + b + c = 54. Cât este b?
  18. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/1 = c/6 și a + b + c = 168. Cât este c?
  19. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/8 = c/3 și a + b + c = 48. Cât este b?
  20. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/6 = c/4 și a + b + c = 24. Cât este c?
  21. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/1 = c/5 și a + b + c = 156. Cât este b?
  22. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/6 = c/3 și a + b + c = 90. Cât este c?
  23. Numerele a, b, c verifică a/6 = b/1 = c/5 și a + b + c = 84. Cât este b?
  24. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/2 = c/4 și a + b + c = 28. Cât este a?
  25. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/1 = c/5 și a + b + c = 60. Cât este a?
  26. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/6 = c/8 și a + b + c = 63. Cât este c?
  27. Numerele a, b, c verifică a/8 = b/9 = c/4 și a + b + c = 252. Cât este b?
  28. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/4 = c/8 și a + b + c = 143. Cât este b?
  29. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/7 = c/4 și a + b + c = 70. Cât este b?
  30. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/3 = c/7 și a + b + c = 98. Cât este c?
  31. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/6 = c/2 și a + b + c = 27. Cât este b?
  32. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/8 = c/7 și a + b + c = 51. Cât este b?
  33. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/4 = c/7 și a + b + c = 24. Cât este b?
  34. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/4 = c/1 și a + b + c = 70. Cât este c?
  35. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/4 = c/8 și a + b + c = 63. Cât este a?
  36. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/5 = c/9 și a + b + c = 176. Cât este b?
  37. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/2 = c/9 și a + b + c = 112. Cât este c?
  38. Numerele a, b, c verifică a/6 = b/3 = c/1 și a + b + c = 50. Cât este c?
  39. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/3 = c/9 și a + b + c = 96. Cât este c?
  40. Numerele a, b, c verifică a/8 = b/1 = c/9 și a + b + c = 126. Cât este b?
  41. Numerele a, b, c verifică a/1 = b/9 = c/8 și a + b + c = 162. Cât este a?
  42. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/8 = c/9 și a + b + c = 84. Cât este a?
  43. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/1 = c/9 și a + b + c = 104. Cât este c?
  44. Numerele a, b, c verifică a/8 = b/2 = c/1 și a + b + c = 33. Cât este b?
  45. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/6 = c/7 și a + b + c = 96. Cât este b?
  46. Numerele a, b, c verifică a/8 = b/7 = c/6 și a + b + c = 168. Cât este c?
  47. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/3 = c/5 și a + b + c = 102. Cât este c?
  48. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/6 = c/4 și a + b + c = 85. Cât este c?
  49. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/8 = c/5 și a + b + c = 198. Cât este c?
  50. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/8 = c/3 și a + b + c = 135. Cât este b?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 10 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(8 + 3 + 5) = 32/16 = 2. Deci c = 5·2 = 10.
  2. 21 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 3 + 6) = 77/11 = 7. Deci b = 3·7 = 21.
  3. 36 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 4 + 8) = 126/14 = 9. Deci b = 4·9 = 36.
  4. 9 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 3 + 9) = 48/16 = 3. Deci b = 3·3 = 9.
  5. 80 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(9 + 8 + 2) = 190/19 = 10. Deci b = 8·10 = 80.
  6. 7 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 9 + 6) = 112/16 = 7. Deci a = 1·7 = 7.
  7. 8 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 8 + 4) = 28/14 = 2. Deci c = 4·2 = 8.
  8. 48 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 3 + 8) = 180/15 = 12. Deci a = 4·12 = 48.
  9. 40 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 5 + 8) = 170/17 = 10. Deci a = 4·10 = 40.
  10. 36 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(3 + 4 + 6) = 78/13 = 6. Deci c = 6·6 = 36.
  11. 8 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(7 + 8 + 2) = 68/17 = 4. Deci c = 2·4 = 8.
  12. 60 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 6 + 9) = 170/17 = 10. Deci b = 6·10 = 60.
  13. 20 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(3 + 6 + 4) = 65/13 = 5. Deci c = 4·5 = 20.
  14. 28 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(7 + 6 + 4) = 119/17 = 7. Deci c = 4·7 = 28.
  15. 88 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 6 + 8) = 165/15 = 11. Deci c = 8·11 = 88.
  16. 54 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 8 + 6) = 135/15 = 9. Deci c = 6·9 = 54.
  17. 12 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(5 + 4 + 9) = 54/18 = 3. Deci b = 4·3 = 12.
  18. 72 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(7 + 1 + 6) = 168/14 = 12. Deci c = 6·12 = 72.
  19. 32 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 8 + 3) = 48/12 = 4. Deci b = 8·4 = 32.
  20. 8 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 6 + 4) = 24/12 = 2. Deci c = 4·2 = 8.
  21. 12 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(7 + 1 + 5) = 156/13 = 12. Deci b = 1·12 = 12.
  22. 15 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(9 + 6 + 3) = 90/18 = 5. Deci c = 3·5 = 15.
  23. 7 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(6 + 1 + 5) = 84/12 = 7. Deci b = 1·7 = 7.
  24. 4 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 2 + 4) = 28/7 = 4. Deci a = 1·4 = 4.
  25. 36 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(9 + 1 + 5) = 60/15 = 4. Deci a = 9·4 = 36.
  26. 24 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(7 + 6 + 8) = 63/21 = 3. Deci c = 8·3 = 24.
  27. 108 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(8 + 9 + 4) = 252/21 = 12. Deci b = 9·12 = 108.
  28. 44 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 4 + 8) = 143/13 = 11. Deci b = 4·11 = 44.
  29. 35 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(3 + 7 + 4) = 70/14 = 5. Deci b = 7·5 = 35.
  30. 49 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 3 + 7) = 98/14 = 7. Deci c = 7·7 = 49.
  31. 18 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 6 + 2) = 27/9 = 3. Deci b = 6·3 = 18.
  32. 24 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 8 + 7) = 51/17 = 3. Deci b = 8·3 = 24.
  33. 8 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 4 + 7) = 24/12 = 2. Deci b = 4·2 = 8.
  34. 10 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 4 + 1) = 70/7 = 10. Deci c = 1·10 = 10.
  35. 27 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(9 + 4 + 8) = 63/21 = 3. Deci a = 9·3 = 27.
  36. 55 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(2 + 5 + 9) = 176/16 = 11. Deci b = 5·11 = 55.
  37. 72 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(3 + 2 + 9) = 112/14 = 8. Deci c = 9·8 = 72.
  38. 5 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(6 + 3 + 1) = 50/10 = 5. Deci c = 1·5 = 5.
  39. 54 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 3 + 9) = 96/16 = 6. Deci c = 9·6 = 54.
  40. 7 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(8 + 1 + 9) = 126/18 = 7. Deci b = 1·7 = 7.
  41. 9 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(1 + 9 + 8) = 162/18 = 9. Deci a = 1·9 = 9.
  42. 16 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 8 + 9) = 84/21 = 4. Deci a = 4·4 = 16.
  43. 72 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(3 + 1 + 9) = 104/13 = 8. Deci c = 9·8 = 72.
  44. 6 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(8 + 2 + 1) = 33/11 = 3. Deci b = 2·3 = 6.
  45. 36 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(3 + 6 + 7) = 96/16 = 6. Deci b = 6·6 = 36.
  46. 48 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(8 + 7 + 6) = 168/21 = 8. Deci c = 6·8 = 48.
  47. 30 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(9 + 3 + 5) = 102/17 = 6. Deci c = 5·6 = 30.
  48. 20 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(7 + 6 + 4) = 85/17 = 5. Deci c = 4·5 = 20.
  49. 45 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(9 + 8 + 5) = 198/22 = 9. Deci c = 5·9 = 45.
  50. 72 — Din șirul de rapoarte egale: (a + b + c)/(4 + 8 + 3) = 135/15 = 9. Deci b = 8·9 = 72.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Numerele naturale a și b verifică a/b = 7/6 și a · b = 3402. Cât este a?
  2. Numerele a, b, c verifică a/7 = b/4 = c/3. Dacă a − c = 24, cât este b?
  3. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/8 = c/4. Dacă c − a = 4, cât este b?
  4. Numerele a, b, c verifică a/3 = b/6 = c/2. Dacă a − c = 4, cât este b?
  5. Numerele a, b, c verifică a/6 = b/3 = c/1. Dacă a − c = 25, cât este b?
  6. Numerele a, b, c verifică a/b = 3/4, b/c = 3/2 și a + b + c = 174. Cât este c?
  7. Numerele naturale a și b verifică a/b = 9/4 și a · b = 900. Cât este a?
  8. Numerele a, b, c verifică a/6 = b/9 = c/4. Dacă a − c = 8, cât este b?
  9. Numerele a, b, c verifică a/b = 3/2, b/c = 3/4 și a + b + c = 69. Cât este b?
  10. Numerele x, y, z verifică x/2 = y/6 = z/5 și 2x + y − z = 30. Cât este y?
  11. Numerele a, b, c verifică a/8 = b/1 = c/4. Dacă a − c = 12, cât este b?
  12. Numerele naturale a și b verifică a/b = 1/3 și a · b = 108. Cât este a?
  13. Numerele naturale a și b verifică a/b = 9/1 și a · b = 36. Cât este a?
  14. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/9 = c/4. Dacă c − a = 8, cât este b?
  15. Numerele naturale a și b verifică a/b = 5/8 și a · b = 3240. Cât este a?
  16. Numerele naturale a și b verifică a/b = 1/6 și a · b = 384. Cât este a?
  17. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/3 = c/8. Dacă c − a = 20, cât este b?
  18. Numerele naturale a și b verifică a/b = 2/3 și a · b = 384. Cât este a?
  19. Numerele naturale a și b verifică a/b = 7/1 și a · b = 28. Cât este a?
  20. Numerele a, b, c verifică a/b = 5/3, b/c = 5/3 și a + b + c = 245. Cât este a?
  21. Numerele a, b, c verifică a/b = 6/5, b/c = 4/3 și a + b + c = 236. Cât este c?
  22. Numerele a, b, c verifică a/b = 3/2, b/c = 6/5 și a + b + c = 160. Cât este c?
  23. Numerele a, b, c verifică a/b = 2/3, b/c = 3/4 și a + b + c = 162. Cât este a?
  24. Numerele a, b, c verifică a/5 = b/4 = c/3. Dacă a − c = 16, cât este b?
  25. Numerele a, b, c verifică a/4 = b/6 = c/7. Dacă c − a = 27, cât este b?
  26. Numerele a, b, c verifică a/b = 4/5, b/c = 3/4 și a + b + c = 94. Cât este a?
  27. Numerele x, y, z verifică x/2 = y/8 = z/4 și 2x + y − z = 72. Cât este x?
  28. Numerele x, y, z verifică x/4 = y/6 = z/1 și 2x + y − z = 91. Cât este y?
  29. Numerele x, y, z verifică x/6 = y/3 = z/9 și 2x + y − z = 54. Cât este z?
  30. Numerele naturale a și b verifică a/b = 4/9 și a · b = 324. Cât este a?
  31. Numerele naturale a și b verifică a/b = 8/1 și a · b = 72. Cât este a?
  32. Numerele a, b, c verifică a/6 = b/4 = c/5. Dacă a − c = 9, cât este b?
  33. Numerele a, b, c verifică a/b = 5/3, b/c = 4/3 și a + b + c = 164. Cât este c?
  34. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/1 = c/6. Dacă c − a = 24, cât este b?
  35. Numerele a, b, c verifică a/b = 2/5, b/c = 6/5 și a + b + c = 268. Cât este c?
  36. Numerele a, b, c verifică a/5 = b/8 = c/4. Dacă a − c = 2, cât este b?
  37. Numerele x, y, z verifică x/8 = y/9 = z/2 și 2x + y − z = 115. Cât este y?
  38. Numerele a, b, c verifică a/b = 5/2, b/c = 3/2 și a + b + c = 125. Cât este c?
  39. Numerele a, b, c verifică a/b = 6/5, b/c = 2/5 și a + b + c = 282. Cât este c?
  40. Numerele naturale a și b verifică a/b = 5/8 și a · b = 2560. Cât este a?
  41. Numerele a, b, c verifică a/b = 6/5, b/c = 5/6 și a + b + c = 340. Cât este c?
  42. Numerele a, b, c verifică a/9 = b/4 = c/2. Dacă a − c = 21, cât este b?
  43. Numerele x, y, z verifică x/3 = y/5 = z/4 și 2x + y − z = 63. Cât este z?
  44. Numerele a, b, c verifică a/2 = b/1 = c/6. Dacă c − a = 28, cât este b?
  45. Numerele naturale a și b verifică a/b = 8/1 și a · b = 512. Cât este a?
  46. Numerele naturale a și b verifică a/b = 3/4 și a · b = 432. Cât este a?
  47. Numerele a, b, c verifică a/b = 5/6, b/c = 3/2 și a + b + c = 180. Cât este b?
  48. Numerele naturale a și b verifică a/b = 7/4 și a · b = 448. Cât este a?
  49. Numerele x, y, z verifică x/9 = y/7 = z/3 și 2x + y − z = 88. Cât este y?
  50. Numerele a, b, c verifică a/b = 2/3, b/c = 5/6 și a + b + c = 86. Cât este a?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 63 — a = 7k, b = 6k ⇒ 42k2 = 3402 ⇒ k2 = 81 ⇒ k = 9, deci a = 63.
  2. 24 — Diferența se scrie ca (c − a)/(7 − 3) = 24/4 = 6. Atunci b = 4·6 = 24.
  3. 16 — Diferența se scrie ca (c − a)/(4 − 2) = 4/2 = 2. Atunci b = 8·2 = 16.
  4. 24 — Diferența se scrie ca (c − a)/(3 − 2) = 4/1 = 4. Atunci b = 6·4 = 24.
  5. 15 — Diferența se scrie ca (c − a)/(6 − 1) = 25/5 = 5. Atunci b = 3·5 = 15.
  6. 48 — Aducem la același b: a : b = 9 : 12, b : c = 12 : 8. Deci a : b : c = 9 : 12 : 8, de unde suma părților este 29 și o parte este 6. c = 48.
  7. 45 — a = 9k, b = 4k ⇒ 36k2 = 900 ⇒ k2 = 25 ⇒ k = 5, deci a = 45.
  8. 36 — Diferența se scrie ca (c − a)/(6 − 4) = 8/2 = 4. Atunci b = 9·4 = 36.
  9. 18 — Aducem la același b: a : b = 9 : 6, b : c = 6 : 8. Deci a : b : c = 9 : 6 : 8, de unde suma părților este 23 și o parte este 3. b = 18.
  10. 36 — Fie x/2 = y/6 = z/5 = k. Atunci x = 2k, y = 6k, z = 5k și 2x + y − z = (2·2 + 6 − 5)k = 5k = 30 ⇒ k = 6. Deci y = 36.
  11. 3 — Diferența se scrie ca (c − a)/(8 − 4) = 12/4 = 3. Atunci b = 1·3 = 3.
  12. 6 — a = 1k, b = 3k ⇒ 3k2 = 108 ⇒ k2 = 36 ⇒ k = 6, deci a = 6.
  13. 18 — a = 9k, b = 1k ⇒ 9k2 = 36 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2, deci a = 18.
  14. 36 — Diferența se scrie ca (c − a)/(4 − 2) = 8/2 = 4. Atunci b = 9·4 = 36.
  15. 45 — a = 5k, b = 8k ⇒ 40k2 = 3240 ⇒ k2 = 81 ⇒ k = 9, deci a = 45.
  16. 8 — a = 1k, b = 6k ⇒ 6k2 = 384 ⇒ k2 = 64 ⇒ k = 8, deci a = 8.
  17. 15 — Diferența se scrie ca (c − a)/(8 − 4) = 20/4 = 5. Atunci b = 3·5 = 15.
  18. 16 — a = 2k, b = 3k ⇒ 6k2 = 384 ⇒ k2 = 64 ⇒ k = 8, deci a = 16.
  19. 14 — a = 7k, b = 1k ⇒ 7k2 = 28 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2, deci a = 14.
  20. 125 — Aducem la același b: a : b = 25 : 15, b : c = 15 : 9. Deci a : b : c = 25 : 15 : 9, de unde suma părților este 49 și o parte este 5. a = 125.
  21. 60 — Aducem la același b: a : b = 24 : 20, b : c = 20 : 15. Deci a : b : c = 24 : 20 : 15, de unde suma părților este 59 și o parte este 4. c = 60.
  22. 40 — Aducem la același b: a : b = 18 : 12, b : c = 12 : 10. Deci a : b : c = 18 : 12 : 10, de unde suma părților este 40 și o parte este 4. c = 40.
  23. 36 — Aducem la același b: a : b = 6 : 9, b : c = 9 : 12. Deci a : b : c = 6 : 9 : 12, de unde suma părților este 27 și o parte este 6. a = 36.
  24. 32 — Diferența se scrie ca (c − a)/(5 − 3) = 16/2 = 8. Atunci b = 4·8 = 32.
  25. 54 — Diferența se scrie ca (c − a)/(7 − 4) = 27/3 = 9. Atunci b = 6·9 = 54.
  26. 24 — Aducem la același b: a : b = 12 : 15, b : c = 15 : 20. Deci a : b : c = 12 : 15 : 20, de unde suma părților este 47 și o parte este 2. a = 24.
  27. 18 — Fie x/2 = y/8 = z/4 = k. Atunci x = 2k, y = 8k, z = 4k și 2x + y − z = (2·2 + 8 − 4)k = 8k = 72 ⇒ k = 9. Deci x = 18.
  28. 42 — Fie x/4 = y/6 = z/1 = k. Atunci x = 4k, y = 6k, z = 1k și 2x + y − z = (2·4 + 6 − 1)k = 13k = 91 ⇒ k = 7. Deci y = 42.
  29. 81 — Fie x/6 = y/3 = z/9 = k. Atunci x = 6k, y = 3k, z = 9k și 2x + y − z = (2·6 + 3 − 9)k = 6k = 54 ⇒ k = 9. Deci z = 81.
  30. 12 — a = 4k, b = 9k ⇒ 36k2 = 324 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = 3, deci a = 12.
  31. 24 — a = 8k, b = 1k ⇒ 8k2 = 72 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = 3, deci a = 24.
  32. 36 — Diferența se scrie ca (c − a)/(6 − 5) = 9/1 = 9. Atunci b = 4·9 = 36.
  33. 36 — Aducem la același b: a : b = 20 : 12, b : c = 12 : 9. Deci a : b : c = 20 : 12 : 9, de unde suma părților este 41 și o parte este 4. c = 36.
  34. 6 — Diferența se scrie ca (c − a)/(6 − 2) = 24/4 = 6. Atunci b = 1·6 = 6.
  35. 100 — Aducem la același b: a : b = 12 : 30, b : c = 30 : 25. Deci a : b : c = 12 : 30 : 25, de unde suma părților este 67 și o parte este 4. c = 100.
  36. 16 — Diferența se scrie ca (c − a)/(5 − 4) = 2/1 = 2. Atunci b = 8·2 = 16.
  37. 45 — Fie x/8 = y/9 = z/2 = k. Atunci x = 8k, y = 9k, z = 2k și 2x + y − z = (2·8 + 9 − 2)k = 23k = 115 ⇒ k = 5. Deci y = 45.
  38. 20 — Aducem la același b: a : b = 15 : 6, b : c = 6 : 4. Deci a : b : c = 15 : 6 : 4, de unde suma părților este 25 și o parte este 5. c = 20.
  39. 150 — Aducem la același b: a : b = 12 : 10, b : c = 10 : 25. Deci a : b : c = 12 : 10 : 25, de unde suma părților este 47 și o parte este 6. c = 150.
  40. 40 — a = 5k, b = 8k ⇒ 40k2 = 2560 ⇒ k2 = 64 ⇒ k = 8, deci a = 40.
  41. 120 — Aducem la același b: a : b = 30 : 25, b : c = 25 : 30. Deci a : b : c = 30 : 25 : 30, de unde suma părților este 85 și o parte este 4. c = 120.
  42. 12 — Diferența se scrie ca (c − a)/(9 − 2) = 21/7 = 3. Atunci b = 4·3 = 12.
  43. 36 — Fie x/3 = y/5 = z/4 = k. Atunci x = 3k, y = 5k, z = 4k și 2x + y − z = (2·3 + 5 − 4)k = 7k = 63 ⇒ k = 9. Deci z = 36.
  44. 7 — Diferența se scrie ca (c − a)/(6 − 2) = 28/4 = 7. Atunci b = 1·7 = 7.
  45. 64 — a = 8k, b = 1k ⇒ 8k2 = 512 ⇒ k2 = 64 ⇒ k = 8, deci a = 64.
  46. 18 — a = 3k, b = 4k ⇒ 12k2 = 432 ⇒ k2 = 36 ⇒ k = 6, deci a = 18.
  47. 72 — Aducem la același b: a : b = 15 : 18, b : c = 18 : 12. Deci a : b : c = 15 : 18 : 12, de unde suma părților este 45 și o parte este 4. b = 72.
  48. 28 — a = 7k, b = 4k ⇒ 28k2 = 448 ⇒ k2 = 16 ⇒ k = 4, deci a = 28.
  49. 28 — Fie x/9 = y/7 = z/3 = k. Atunci x = 9k, y = 7k, z = 3k și 2x + y − z = (2·9 + 7 − 3)k = 22k = 88 ⇒ k = 4. Deci y = 28.
  50. 20 — Aducem la același b: a : b = 10 : 15, b : c = 15 : 18. Deci a : b : c = 10 : 15 : 18, de unde suma părților este 43 și o parte este 2. a = 20.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a