Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Înălțimile unui triunghi

Înălțimile unui triunghi

Înălțimea unui triunghi, concurența înălțimilor, ortocentrul, aria triunghiului.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Înălțimea

Înălțimea dusă din vârful A este segmentul [AD], cu D piciorul perpendicularei din A pe dreapta BC. Deci AD ⟂ BC.

DABC
Cele trei înălțimi (sau prelungirile lor) sunt concurente în punctul H, numit ortocentru.
HABC

ascuțitunghic: H în interior

HABC

dreptunghic: H în vârful unghiului drept

HABC

obtuzunghic: H în exterior

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt înălțimi una pentru cealaltă. Într-un triunghi obtuzunghic, două dintre înălțimi cad în exterior (pe prelungirile laturilor).

Aria = (latura · înălțimea corespunzătoare) : 2
Aceeași arie se poate calcula cu oricare latură: a · ha = b · hb = c · hc.
Exemplul 1. AD este înălțimea din A, iar m(∠C) = 27°. Cât este m(∠CAD)?
Rezolvare. Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 27° = 63°.
Exemplul 2. Triunghiul ABC are BC = 14 cm și înălțimea din A de 9 cm. Află aria.
Metoda 1 (formula). Aria = (14 · 9) : 2 = 63 cm².
Metoda 2 (din dreptunghi). Dreptunghiul 14 cm × 9 cm are aria 126 cm², iar triunghiul are jumătate: 63 cm².
Exemplul 3. Aria unui triunghi este 60 cm², iar o latură are 12 cm. Care este înălțimea corespunzătoare?
Rezolvare. Aria = (b · h) : 2, deci 60 = (12 · h) : 2, de unde 12 · h = 120 și h = 10 cm.
Exemplul 4. În triunghiul ABC, BC = 12 cm, înălțimea din A are 8 cm, iar AC = 16 cm. Află înălțimea din B.
Metoda 1 (prin arie). Aria = (12 · 8) : 2 = 48 cm². Cu latura AC: (16 · hB) : 2 = 48, deci 16 · hB = 96 și hB = 6 cm.
Metoda 2 (egalitatea a·h). BC · hA = AC · hB: 12 · 8 = 16 · hB, deci hB = 96 : 16 = 6 cm.
Exemplul 5. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Află aria.
Rezolvare. AB ⟂ AC, deci AB este înălțimea pe latura AC. Aria = (8 · 6) : 2 = 24 cm².

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Triunghiul ABC este ascuțitunghic. Unde se află ortocentrul (punctul de intersecție al înălțimilor)?HABC
  2. Înălțimea dintr-un vârf al unui triunghi este perpendiculara dusă din acel vârf pe
  3. În triunghiul ABC, BC = 30 cm, iar înălțimea din A are 10 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 30 cm10 cm
  4. Înălțimile unui triunghi sunt
  5. Triunghiul ABC este dreptunghic. Unde se află ortocentrul (punctul de intersecție al înălțimilor)?HABC
  6. În triunghiul ABC, BC = 12 cm, iar înălțimea din A are 13 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 12 cm13 cm
  7. În triunghiul ABC din figură, [AD este înălțimea din A. Cât este m(∠ADB)?DABC
  8. Câte înălțimi are un triunghi?
  9. Punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi se numește
  10. În triunghiul ABC, BC = 30 cm, iar înălțimea din A are 7 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 30 cm7 cm
  11. În triunghiul ABC, BC = 8 cm, iar înălțimea din A are 19 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 8 cm19 cm
  12. În triunghiul ABC, BC = 8 cm, iar înălțimea din A are 4 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 8 cm4 cm
  13. În triunghiul ABC, BC = 14 cm, iar înălțimea din A are 10 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 14 cm10 cm
  14. În triunghiul ABC, BC = 14 cm, iar înălțimea din A are 12 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 14 cm12 cm
  15. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 5 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm5 cm
  16. În triunghiul ABC, BC = 12 cm, iar înălțimea din A are 19 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 12 cm19 cm
  17. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 8 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm8 cm
  18. În triunghiul ABC, BC = 18 cm, iar înălțimea din A are 18 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 18 cm18 cm
  19. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 7 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm7 cm
  20. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 19 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm19 cm
  21. În triunghiul ABC, BC = 24 cm, iar înălțimea din A are 14 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 24 cm14 cm
  22. În triunghiul ABC, BC = 8 cm, iar înălțimea din A are 14 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 8 cm14 cm
  23. În triunghiul ABC, BC = 18 cm, iar înălțimea din A are 15 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 18 cm15 cm
  24. În triunghiul ABC, BC = 18 cm, iar înălțimea din A are 5 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 18 cm5 cm
  25. În triunghiul ABC, BC = 12 cm, iar înălțimea din A are 11 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 12 cm11 cm
  26. În triunghiul ABC, BC = 6 cm, iar înălțimea din A are 6 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 6 cm6 cm
  27. În triunghiul ABC, BC = 20 cm, iar înălțimea din A are 19 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 20 cm19 cm
  28. În triunghiul ABC, BC = 20 cm, iar înălțimea din A are 14 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 20 cm14 cm
  29. În triunghiul ABC, BC = 30 cm, iar înălțimea din A are 4 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 30 cm4 cm
  30. În triunghiul ABC, BC = 8 cm, iar înălțimea din A are 8 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 8 cm8 cm
  31. În triunghiul ABC, BC = 30 cm, iar înălțimea din A are 8 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 30 cm8 cm
  32. În triunghiul ABC, BC = 24 cm, iar înălțimea din A are 17 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 24 cm17 cm
  33. În triunghiul ABC, BC = 14 cm, iar înălțimea din A are 8 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 14 cm8 cm
  34. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 10 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm10 cm
  35. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 14 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm14 cm
  36. În triunghiul ABC, BC = 8 cm, iar înălțimea din A are 7 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 8 cm7 cm
  37. În triunghiul ABC, BC = 18 cm, iar înălțimea din A are 10 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 18 cm10 cm
  38. În triunghiul ABC, BC = 12 cm, iar înălțimea din A are 8 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 12 cm8 cm
  39. În triunghiul ABC, BC = 30 cm, iar înălțimea din A are 11 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 30 cm11 cm
  40. În triunghiul ABC, BC = 30 cm, iar înălțimea din A are 5 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 30 cm5 cm
  41. În triunghiul ABC, BC = 14 cm, iar înălțimea din A are 7 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 14 cm7 cm
  42. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 11 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm11 cm
  43. În triunghiul ABC, BC = 18 cm, iar înălțimea din A are 3 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 18 cm3 cm
  44. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 16 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm16 cm
  45. În triunghiul ABC, BC = 16 cm, iar înălțimea din A are 6 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 16 cm6 cm
  46. În triunghiul ABC, BC = 10 cm, iar înălțimea din A are 11 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 10 cm11 cm
  47. În triunghiul ABC, BC = 14 cm, iar înălțimea din A are 9 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 14 cm9 cm
  48. În triunghiul ABC, BC = 10 cm, iar înălțimea din A are 5 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 10 cm5 cm
  49. În triunghiul ABC, BC = 6 cm, iar înălțimea din A are 13 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 6 cm13 cm
  50. În triunghiul ABC, BC = 14 cm, iar înălțimea din A are 5 cm. Care este aria triunghiului?ABCHBC = 14 cm5 cm
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. în interiorul triunghiului — Înălțimile unui triunghi ascuțitunghic se întâlnesc în interior.
  2. dreapta care conține latura opusă — Înălțimea unește vârful cu piciorul perpendicularei pe dreapta laturii opuse.
  3. 150 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (30 · 10) : 2 = 150 cm².
  4. concurente — Cele trei înălțimi (sau prelungirile lor) se intersectează într-un singur punct, ortocentrul H.
  5. în vârful unghiului drept — În triunghiul dreptunghic, catetele sunt înălțimi și se întâlnesc în vârful unghiului drept: ortocentrul este acel vârf.
  6. 78 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (12 · 13) : 2 = 78 cm².
  7. 90° — Înălțimea este perpendiculară pe latura opusă: m(∠ADB) = 90°.
  8. 3 — Câte una din fiecare vârf: 3 înălțimi.
  9. ortocentru — Intersecția înălțimilor se numește ortocentru.
  10. 105 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (30 · 7) : 2 = 105 cm².
  11. 76 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (8 · 19) : 2 = 76 cm².
  12. 16 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (8 · 4) : 2 = 16 cm².
  13. 70 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (14 · 10) : 2 = 70 cm².
  14. 84 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (14 · 12) : 2 = 84 cm².
  15. 40 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 5) : 2 = 40 cm².
  16. 114 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (12 · 19) : 2 = 114 cm².
  17. 64 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 8) : 2 = 64 cm².
  18. 162 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (18 · 18) : 2 = 162 cm².
  19. 56 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 7) : 2 = 56 cm².
  20. 152 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 19) : 2 = 152 cm².
  21. 168 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (24 · 14) : 2 = 168 cm².
  22. 56 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (8 · 14) : 2 = 56 cm².
  23. 135 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (18 · 15) : 2 = 135 cm².
  24. 45 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (18 · 5) : 2 = 45 cm².
  25. 66 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (12 · 11) : 2 = 66 cm².
  26. 18 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (6 · 6) : 2 = 18 cm².
  27. 190 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (20 · 19) : 2 = 190 cm².
  28. 140 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (20 · 14) : 2 = 140 cm².
  29. 60 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (30 · 4) : 2 = 60 cm².
  30. 32 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (8 · 8) : 2 = 32 cm².
  31. 120 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (30 · 8) : 2 = 120 cm².
  32. 204 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (24 · 17) : 2 = 204 cm².
  33. 56 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (14 · 8) : 2 = 56 cm².
  34. 80 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 10) : 2 = 80 cm².
  35. 112 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 14) : 2 = 112 cm².
  36. 28 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (8 · 7) : 2 = 28 cm².
  37. 90 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (18 · 10) : 2 = 90 cm².
  38. 48 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (12 · 8) : 2 = 48 cm².
  39. 165 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (30 · 11) : 2 = 165 cm².
  40. 75 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (30 · 5) : 2 = 75 cm².
  41. 49 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (14 · 7) : 2 = 49 cm².
  42. 88 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 11) : 2 = 88 cm².
  43. 27 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (18 · 3) : 2 = 27 cm².
  44. 128 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 16) : 2 = 128 cm².
  45. 48 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (16 · 6) : 2 = 48 cm².
  46. 55 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (10 · 11) : 2 = 55 cm².
  47. 63 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (14 · 9) : 2 = 63 cm².
  48. 25 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (10 · 5) : 2 = 25 cm².
  49. 39 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (6 · 13) : 2 = 39 cm².
  50. 35 cm² — Aria = (baza · înălțimea) : 2 = (14 · 5) : 2 = 35 cm².

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Într-un triunghi obtuzunghic, înălțimile duse din vârfurile unghiurilor ascuțite
  2. Triunghiul ABC este obtuzunghic. Unde se află ortocentrul (punctul de intersecție al înălțimilor)?HABC
  3. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 20°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  4. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 28°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  5. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 9 cm. Care este aria lui?
  6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A. Care este înălțimea din B?
  7. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 19 cm și AC = 6 cm. Care este aria lui?
  8. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 27°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  9. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 19 cm și AC = 20 cm. Care este aria lui?
  10. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 54°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  11. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 30°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  12. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 67°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  13. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 14 cm și AC = 10 cm. Care este aria lui?
  14. Un triunghi are aria de 76 cm², iar o latură de 4 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  15. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 70°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  16. Un triunghi are aria de 62 cm², iar o latură de 4 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  17. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 10 cm și AC = 8 cm. Care este aria lui?
  18. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 18 cm și AC = 13 cm. Care este aria lui?
  19. Triunghiul ABC este dreptunghic în A. Care este înălțimea din C?
  20. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 66°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  21. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 78°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  22. Un triunghi are aria de 54 cm², iar o latură de 6 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  23. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 25°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  24. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 11 cm și AC = 20 cm. Care este aria lui?
  25. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 54°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  26. Un triunghi are aria de 71 cm², iar o latură de 2 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  27. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 14 cm și AC = 12 cm. Care este aria lui?
  28. Un triunghi are aria de 48 cm², iar o latură de 12 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  29. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 48°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  30. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 50°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  31. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 61°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  32. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 10 cm și AC = 13 cm. Care este aria lui?
  33. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 4 cm și AC = 20 cm. Care este aria lui?
  34. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 20 cm și AC = 15 cm. Care este aria lui?
  35. Un triunghi are aria de 77 cm², iar o latură de 11 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  36. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 70°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  37. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 17 cm și AC = 16 cm. Care este aria lui?
  38. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠B) = 61°. Cât este m(∠BAD)?DABC
  39. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 14 cm și AC = 19 cm. Care este aria lui?
  40. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 19 cm și AC = 10 cm. Care este aria lui?
  41. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 40°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  42. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 15 cm. Care este aria lui?
  43. Un triunghi are aria de 46 cm², iar o latură de 2 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  44. Un triunghi are aria de 21 cm², iar o latură de 2 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  45. În triunghiul ascuțitunghic ABC din figură, [AD este înălțimea din A și m(∠C) = 50°. Cât este m(∠CAD)?DABC
  46. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 8 cm și AC = 11 cm. Care este aria lui?
  47. În triunghiul dreptunghic ortocentrul este
  48. Un triunghi are aria de 61 cm², iar o latură de 2 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
  49. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 20 cm și AC = 17 cm. Care este aria lui?
  50. Un triunghi are aria de 70 cm², iar o latură de 35 cm. Care este înălțimea corespunzătoare acestei laturi?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. cad în exteriorul triunghiului — Piciorul înălțimii se află pe prelungirea laturii opuse, în afara triunghiului.
  2. în exteriorul triunghiului — În triunghiul obtuzunghic înălțimile (sau prelungirile lor) se întâlnesc în exteriorul triunghiului.
  3. 70° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 20° = 70°.
    (Altfel: 180° − 90° − 20° = 70°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  4. 62° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 28° = 62°.
    (Altfel: 180° − 90° − 28° = 62°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  5. 27 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (6 · 9) : 2 = 27 cm².
  6. [BA] — Cateta BA este perpendiculară pe AC (unghiul drept este în A), deci BA este înălțimea din B pe dreapta AC.
  7. 57 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (19 · 6) : 2 = 57 cm².
  8. 63° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 27° = 63°.
  9. 190 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (19 · 20) : 2 = 190 cm².
  10. 36° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 54° = 36°.
    (Altfel: 180° − 90° − 54° = 36°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  11. 60° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 30° = 60°.
  12. 23° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 67° = 23°.
  13. 70 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (14 · 10) : 2 = 70 cm².
  14. 38 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 76 = (4 · h) : 2, de unde b · h = 152 și h = 152 : 4 = 38 cm.
  15. 20° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 70° = 20°.
  16. 31 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 62 = (4 · h) : 2, de unde b · h = 124 și h = 124 : 4 = 31 cm.
  17. 40 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (10 · 8) : 2 = 40 cm².
  18. 117 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (18 · 13) : 2 = 117 cm².
  19. [CA] — Cateta CA este perpendiculară pe AB, deci CA este înălțimea din C.
  20. 24° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 66° = 24°.
    (Altfel: 180° − 90° − 66° = 24°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  21. 12° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 78° = 12°.
  22. 18 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 54 = (6 · h) : 2, de unde b · h = 108 și h = 108 : 6 = 18 cm.
  23. 65° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 25° = 65°.
  24. 110 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (11 · 20) : 2 = 110 cm².
  25. 36° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 54° = 36°.
  26. 71 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 71 = (2 · h) : 2, de unde b · h = 142 și h = 142 : 2 = 71 cm.
  27. 84 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (14 · 12) : 2 = 84 cm².
  28. 8 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 48 = (12 · h) : 2, de unde b · h = 96 și h = 96 : 12 = 8 cm.
  29. 42° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 48° = 42°.
    (Altfel: 180° − 90° − 48° = 42°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  30. 40° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 50° = 40°.
    (Altfel: 180° − 90° − 50° = 40°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  31. 29° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 61° = 29°.
  32. 65 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (10 · 13) : 2 = 65 cm².
  33. 40 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (4 · 20) : 2 = 40 cm².
  34. 150 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (20 · 15) : 2 = 150 cm².
  35. 14 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 77 = (11 · h) : 2, de unde b · h = 154 și h = 154 : 11 = 14 cm.
  36. 20° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 70° = 20°.
    (Altfel: 180° − 90° − 70° = 20°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  37. 136 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (17 · 16) : 2 = 136 cm².
  38. 29° — Triunghiul ABD este dreptunghic în D, deci m(∠BAD) = 90° − m(∠B) = 90° − 61° = 29°.
    (Altfel: 180° − 90° − 61° = 29°, din suma unghiurilor în triunghiul ABD.)
  39. 133 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (14 · 19) : 2 = 133 cm².
  40. 95 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (19 · 10) : 2 = 95 cm².
  41. 50° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 40° = 50°.
  42. 45 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (6 · 15) : 2 = 45 cm².
  43. 46 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 46 = (2 · h) : 2, de unde b · h = 92 și h = 92 : 2 = 46 cm.
  44. 21 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 21 = (2 · h) : 2, de unde b · h = 42 și h = 42 : 2 = 21 cm.
  45. 40° — Triunghiul ADC este dreptunghic în D, deci m(∠CAD) = 90° − 50° = 40°.
  46. 44 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (8 · 11) : 2 = 44 cm².
  47. vârful unghiului drept — Catetele sunt înălțimi și se întâlnesc în vârful unghiului drept.
  48. 61 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 61 = (2 · h) : 2, de unde b · h = 122 și h = 122 : 2 = 61 cm.
  49. 170 cm² — Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțime pentru cealaltă. Aria = (AB · AC) : 2 = (20 · 17) : 2 = 170 cm².
  50. 4 cm — Aria = (b · h) : 2, deci 70 = (35 · h) : 2, de unde b · h = 140 și h = 140 : 35 = 4 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. În triunghiul ABC, m(∠B) = 62° și m(∠C) = 42°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  2. În triunghiul ABC, m(∠B) = 42° și m(∠C) = 30°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  3. În triunghiul ABC, BC = 8 cm și înălțimea din A are 17 cm. Dacă AC = 2 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  4. În triunghiul ABC, m(∠B) = 76° și m(∠C) = 44°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  5. În triunghiul ABC, m(∠B) = 50° și m(∠C) = 36°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  6. În triunghiul ABC, m(∠B) = 86° și m(∠C) = 54°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  7. În triunghiul ABC, m(∠B) = 84° și m(∠C) = 74°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  8. În triunghiul ABC, m(∠B) = 74° și m(∠C) = 32°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  9. În triunghiul ABC, m(∠B) = 88° și m(∠C) = 68°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  10. În triunghiul ABC, m(∠B) = 50° și m(∠C) = 48°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  11. În triunghiul ABC, BC = 15 cm și înălțimea din A are 14 cm. Dacă AC = 5 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  12. În triunghiul ABC, m(∠B) = 54° și m(∠C) = 40°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  13. În triunghiul ABC, BC = 20 cm și înălțimea din A are 15 cm. Dacă AC = 3 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  14. În triunghiul ABC, m(∠B) = 70° și m(∠C) = 58°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  15. În triunghiul ABC, m(∠B) = 58° și m(∠C) = 52°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  16. În triunghiul ABC, m(∠B) = 82° și m(∠C) = 40°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  17. În triunghiul ABC, m(∠B) = 56° și m(∠C) = 52°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  18. În triunghiul ABC, m(∠B) = 88° și m(∠C) = 64°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  19. În triunghiul ABC, m(∠B) = 78° și m(∠C) = 62°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  20. În triunghiul ABC, m(∠B) = 82° și m(∠C) = 66°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  21. În triunghiul ABC, BC = 14 cm și înălțimea din A are 12 cm. Dacă AC = 24 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  22. În triunghiul ABC, m(∠B) = 60° și m(∠C) = 48°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  23. În triunghiul ABC, m(∠B) = 64° și m(∠C) = 42°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  24. În triunghiul ABC, BC = 10 cm și înălțimea din A are 6 cm. Dacă AC = 5 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  25. În triunghiul ABC, m(∠B) = 52° și m(∠C) = 40°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  26. În triunghiul ABC, m(∠B) = 48° și m(∠C) = 42°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  27. În triunghiul ABC, m(∠B) = 64° și m(∠C) = 32°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  28. În triunghiul ABC, m(∠B) = 76° și m(∠C) = 56°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  29. În triunghiul ABC, m(∠B) = 64° și m(∠C) = 36°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  30. În triunghiul ABC, m(∠B) = 58° și m(∠C) = 46°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  31. În triunghiul ABC, m(∠B) = 80° și m(∠C) = 40°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  32. În triunghiul ABC, m(∠B) = 46° și m(∠C) = 30°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  33. În triunghiul ABC, m(∠B) = 68° și m(∠C) = 42°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  34. În triunghiul ABC, BC = 8 cm și înălțimea din A are 12 cm. Dacă AC = 24 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  35. În triunghiul ABC, BC = 19 cm și înălțimea din A are 4 cm. Dacă AC = 38 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  36. În triunghiul ABC, m(∠B) = 74° și m(∠C) = 44°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  37. În triunghiul ABC, BC = 12 cm și înălțimea din A are 16 cm. Dacă AC = 32 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  38. În triunghiul ABC, m(∠B) = 82° și m(∠C) = 64°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  39. În triunghiul ABC, m(∠B) = 54° și m(∠C) = 30°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  40. În triunghiul ABC, m(∠B) = 80° și m(∠C) = 32°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  41. În triunghiul ABC, m(∠B) = 74° și m(∠C) = 66°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  42. În triunghiul ABC, m(∠B) = 74° și m(∠C) = 56°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  43. În triunghiul ABC, m(∠B) = 48° și m(∠C) = 30°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  44. În triunghiul ABC, BC = 6 cm și înălțimea din A are 20 cm. Dacă AC = 2 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  45. În triunghiul ABC, BC = 6 cm și înălțimea din A are 18 cm. Dacă AC = 27 cm, cât este înălțimea din B (pe latura AC)?
  46. În triunghiul ABC, m(∠B) = 52° și m(∠C) = 48°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  47. În triunghiul ABC, m(∠B) = 58° și m(∠C) = 42°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  48. În triunghiul ABC, m(∠B) = 86° și m(∠C) = 52°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  49. În triunghiul ABC, m(∠B) = 58° și m(∠C) = 32°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
  50. În triunghiul ABC, m(∠B) = 60° și m(∠C) = 30°. [AD este înălțimea din A, iar [AE este bisectoarea unghiului A. Cât este m(∠DAE)?DABC
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 10° — m(∠A) = 180° − 62° − 42° = 76°, deci m(∠BAE) = 38°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 62° = 28° (în valoare absolută 28°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |38° − 28°| = 10°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 20° : 2 = 10°.)
  2. 6° — m(∠A) = 180° − 42° − 30° = 108°, deci m(∠BAE) = 54°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 42° = 48° (în valoare absolută 48°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |54° − 48°| = 6°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 12° : 2 = 6°.)
  3. 68 cm — Metoda 1. Aria = (8 · 17) : 2 = 68 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 2 · hB = 136 și hB = 136 : 2 = 68 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 8 · 17 = 2 · hB, de unde hB = 68 cm.
  4. 16° — m(∠A) = 180° − 76° − 44° = 60°, deci m(∠BAE) = 30°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 76° = 14° (în valoare absolută 14°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |30° − 14°| = 16°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 32° : 2 = 16°.)
  5. 7° — m(∠A) = 180° − 50° − 36° = 94°, deci m(∠BAE) = 47°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 50° = 40° (în valoare absolută 40°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |47° − 40°| = 7°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 14° : 2 = 7°.)
  6. 16° — m(∠A) = 180° − 86° − 54° = 40°, deci m(∠BAE) = 20°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 86° = 4° (în valoare absolută 4°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |20° − 4°| = 16°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 32° : 2 = 16°.)
  7. 5° — m(∠A) = 180° − 84° − 74° = 22°, deci m(∠BAE) = 11°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 84° = 6° (în valoare absolută 6°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |11° − 6°| = 5°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 10° : 2 = 5°.)
  8. 21° — m(∠A) = 180° − 74° − 32° = 74°, deci m(∠BAE) = 37°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 74° = 16° (în valoare absolută 16°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |37° − 16°| = 21°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 42° : 2 = 21°.)
  9. 10° — m(∠A) = 180° − 88° − 68° = 24°, deci m(∠BAE) = 12°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 88° = 2° (în valoare absolută 2°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |12° − 2°| = 10°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 20° : 2 = 10°.)
  10. 1° — m(∠A) = 180° − 50° − 48° = 82°, deci m(∠BAE) = 41°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 50° = 40° (în valoare absolută 40°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |41° − 40°| = 1°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 2° : 2 = 1°.)
  11. 42 cm — Metoda 1. Aria = (15 · 14) : 2 = 105 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 5 · hB = 210 și hB = 210 : 5 = 42 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 15 · 14 = 5 · hB, de unde hB = 42 cm.
  12. 7° — m(∠A) = 180° − 54° − 40° = 86°, deci m(∠BAE) = 43°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 54° = 36° (în valoare absolută 36°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |43° − 36°| = 7°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 14° : 2 = 7°.)
  13. 100 cm — Metoda 1. Aria = (20 · 15) : 2 = 150 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 3 · hB = 300 și hB = 300 : 3 = 100 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 20 · 15 = 3 · hB, de unde hB = 100 cm.
  14. 6° — m(∠A) = 180° − 70° − 58° = 52°, deci m(∠BAE) = 26°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 70° = 20° (în valoare absolută 20°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |26° − 20°| = 6°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 12° : 2 = 6°.)
  15. 3° — m(∠A) = 180° − 58° − 52° = 70°, deci m(∠BAE) = 35°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 58° = 32° (în valoare absolută 32°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |35° − 32°| = 3°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 6° : 2 = 3°.)
  16. 21° — m(∠A) = 180° − 82° − 40° = 58°, deci m(∠BAE) = 29°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 82° = 8° (în valoare absolută 8°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |29° − 8°| = 21°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 42° : 2 = 21°.)
  17. 2° — m(∠A) = 180° − 56° − 52° = 72°, deci m(∠BAE) = 36°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 56° = 34° (în valoare absolută 34°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |36° − 34°| = 2°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 4° : 2 = 2°.)
  18. 12° — m(∠A) = 180° − 88° − 64° = 28°, deci m(∠BAE) = 14°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 88° = 2° (în valoare absolută 2°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |14° − 2°| = 12°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 24° : 2 = 12°.)
  19. 8° — m(∠A) = 180° − 78° − 62° = 40°, deci m(∠BAE) = 20°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 78° = 12° (în valoare absolută 12°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |20° − 12°| = 8°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 16° : 2 = 8°.)
  20. 8° — m(∠A) = 180° − 82° − 66° = 32°, deci m(∠BAE) = 16°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 82° = 8° (în valoare absolută 8°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |16° − 8°| = 8°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 16° : 2 = 8°.)
  21. 7 cm — Metoda 1. Aria = (14 · 12) : 2 = 84 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 24 · hB = 168 și hB = 168 : 24 = 7 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 14 · 12 = 24 · hB, de unde hB = 7 cm.
  22. 6° — m(∠A) = 180° − 60° − 48° = 72°, deci m(∠BAE) = 36°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 60° = 30° (în valoare absolută 30°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |36° − 30°| = 6°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 12° : 2 = 6°.)
  23. 11° — m(∠A) = 180° − 64° − 42° = 74°, deci m(∠BAE) = 37°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 64° = 26° (în valoare absolută 26°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |37° − 26°| = 11°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 22° : 2 = 11°.)
  24. 12 cm — Metoda 1. Aria = (10 · 6) : 2 = 30 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 5 · hB = 60 și hB = 60 : 5 = 12 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 10 · 6 = 5 · hB, de unde hB = 12 cm.
  25. 6° — m(∠A) = 180° − 52° − 40° = 88°, deci m(∠BAE) = 44°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 52° = 38° (în valoare absolută 38°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |44° − 38°| = 6°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 12° : 2 = 6°.)
  26. 3° — m(∠A) = 180° − 48° − 42° = 90°, deci m(∠BAE) = 45°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 48° = 42° (în valoare absolută 42°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |45° − 42°| = 3°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 6° : 2 = 3°.)
  27. 16° — m(∠A) = 180° − 64° − 32° = 84°, deci m(∠BAE) = 42°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 64° = 26° (în valoare absolută 26°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |42° − 26°| = 16°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 32° : 2 = 16°.)
  28. 10° — m(∠A) = 180° − 76° − 56° = 48°, deci m(∠BAE) = 24°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 76° = 14° (în valoare absolută 14°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |24° − 14°| = 10°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 20° : 2 = 10°.)
  29. 14° — m(∠A) = 180° − 64° − 36° = 80°, deci m(∠BAE) = 40°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 64° = 26° (în valoare absolută 26°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |40° − 26°| = 14°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 28° : 2 = 14°.)
  30. 6° — m(∠A) = 180° − 58° − 46° = 76°, deci m(∠BAE) = 38°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 58° = 32° (în valoare absolută 32°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |38° − 32°| = 6°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 12° : 2 = 6°.)
  31. 20° — m(∠A) = 180° − 80° − 40° = 60°, deci m(∠BAE) = 30°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 80° = 10° (în valoare absolută 10°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |30° − 10°| = 20°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 40° : 2 = 20°.)
  32. 8° — m(∠A) = 180° − 46° − 30° = 104°, deci m(∠BAE) = 52°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 46° = 44° (în valoare absolută 44°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |52° − 44°| = 8°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 16° : 2 = 8°.)
  33. 13° — m(∠A) = 180° − 68° − 42° = 70°, deci m(∠BAE) = 35°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 68° = 22° (în valoare absolută 22°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |35° − 22°| = 13°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 26° : 2 = 13°.)
  34. 4 cm — Metoda 1. Aria = (8 · 12) : 2 = 48 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 24 · hB = 96 și hB = 96 : 24 = 4 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 8 · 12 = 24 · hB, de unde hB = 4 cm.
  35. 2 cm — Metoda 1. Aria = (19 · 4) : 2 = 38 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 38 · hB = 76 și hB = 76 : 38 = 2 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 19 · 4 = 38 · hB, de unde hB = 2 cm.
  36. 15° — m(∠A) = 180° − 74° − 44° = 62°, deci m(∠BAE) = 31°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 74° = 16° (în valoare absolută 16°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |31° − 16°| = 15°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 30° : 2 = 15°.)
  37. 6 cm — Metoda 1. Aria = (12 · 16) : 2 = 96 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 32 · hB = 192 și hB = 192 : 32 = 6 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 12 · 16 = 32 · hB, de unde hB = 6 cm.
  38. 9° — m(∠A) = 180° − 82° − 64° = 34°, deci m(∠BAE) = 17°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 82° = 8° (în valoare absolută 8°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |17° − 8°| = 9°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 18° : 2 = 9°.)
  39. 12° — m(∠A) = 180° − 54° − 30° = 96°, deci m(∠BAE) = 48°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 54° = 36° (în valoare absolută 36°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |48° − 36°| = 12°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 24° : 2 = 12°.)
  40. 24° — m(∠A) = 180° − 80° − 32° = 68°, deci m(∠BAE) = 34°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 80° = 10° (în valoare absolută 10°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |34° − 10°| = 24°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 48° : 2 = 24°.)
  41. 4° — m(∠A) = 180° − 74° − 66° = 40°, deci m(∠BAE) = 20°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 74° = 16° (în valoare absolută 16°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |20° − 16°| = 4°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 8° : 2 = 4°.)
  42. 9° — m(∠A) = 180° − 74° − 56° = 50°, deci m(∠BAE) = 25°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 74° = 16° (în valoare absolută 16°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |25° − 16°| = 9°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 18° : 2 = 9°.)
  43. 9° — m(∠A) = 180° − 48° − 30° = 102°, deci m(∠BAE) = 51°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 48° = 42° (în valoare absolută 42°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |51° − 42°| = 9°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 18° : 2 = 9°.)
  44. 60 cm — Metoda 1. Aria = (6 · 20) : 2 = 60 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 2 · hB = 120 și hB = 120 : 2 = 60 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 6 · 20 = 2 · hB, de unde hB = 60 cm.
  45. 4 cm — Metoda 1. Aria = (6 · 18) : 2 = 54 cm². Aria este și (AC · hB) : 2, deci 27 · hB = 108 și hB = 108 : 27 = 4 cm.
    Metoda 2. Aria se poate calcula cu orice latură: BC · hA = AC · hB, adică 6 · 18 = 27 · hB, de unde hB = 4 cm.
  46. 2° — m(∠A) = 180° − 52° − 48° = 80°, deci m(∠BAE) = 40°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 52° = 38° (în valoare absolută 38°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |40° − 38°| = 2°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 4° : 2 = 2°.)
  47. 8° — m(∠A) = 180° − 58° − 42° = 80°, deci m(∠BAE) = 40°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 58° = 32° (în valoare absolută 32°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |40° − 32°| = 8°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 16° : 2 = 8°.)
  48. 17° — m(∠A) = 180° − 86° − 52° = 42°, deci m(∠BAE) = 21°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 86° = 4° (în valoare absolută 4°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |21° − 4°| = 17°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 34° : 2 = 17°.)
  49. 13° — m(∠A) = 180° − 58° − 32° = 90°, deci m(∠BAE) = 45°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 58° = 32° (în valoare absolută 32°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |45° − 32°| = 13°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 26° : 2 = 13°.)
  50. 15° — m(∠A) = 180° − 60° − 30° = 90°, deci m(∠BAE) = 45°. Din triunghiul dreptunghic ABD: m(∠BAD) = 90° − 60° = 30° (în valoare absolută 30°).
    Unghiul dintre înălțime și bisectoare este diferența: |45° − 30°| = 15°.
    (Formula: m(∠DAE) = |m(∠B) − m(∠C)| : 2 = 30° : 2 = 15°.)

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a