Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă

Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă

Drepte perpendiculare, piciorul perpendicularei, distanța de la un punct la o dreaptă, distanța dintre două drepte paralele, înălțimea unui triunghi.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Drepte perpendiculare

Două drepte care se taie formând un unghi drept (90°) sunt perpendiculare. Atunci toate cele patru unghiuri formate sunt drepte. Scriem a ⟂ b.

ABCDO

AC ⟂ BD în O: toate cele patru unghiuri din jurul lui O au 90°.

a ⟂ b  ⟺  unghiul format de ele este de 90°
Printr-un punct dat trece o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.
Dacă a ∥ b și c ⟂ a, atunci c ⟂ b.  Dacă a ⟂ c și b ⟂ c (în plan), atunci a ∥ b.

Distanța de la un punct la o dreaptă

Fie A un punct și d o dreaptă. Ducem din A perpendiculara pe d; ea taie dreapta în H, numit piciorul perpendicularei. Segmentul [AH] este perpendiculara, iar orice alt segment [AB], cu B ∈ d, B ≠ H, se numește oblică.

AHBCd

AH ⟂ d. AB și AC sunt oblice. AH este mai scurt decât AB și AC.

Distanța de la A la dreapta d este lungimea perpendicularei: d(A, d) = AH.
Perpendiculara este cel mai scurt segment dintre A și un punct al dreptei d.
Dacă A ∈ d, distanța este 0.

De ce este perpendiculara cea mai scurtă? Gândește-te la un fir întins între A și dreaptă: cel mai scurt drum către dreaptă este „drept în jos”, nu în diagonală. Pe un desen la scară poți măsura și vedea că AH < AB și AH < AC.

Distanța dintre două drepte paralele

Dacă d₁ ∥ d₂, toate punctele lui d₁ sunt la aceeași distanță de d₂. Această distanță comună se numește distanța dintre cele două drepte paralele.

d₁d₂4 cm

d₁ ∥ d₂, iar perpendiculara comună are 4 cm: orice punct al lui d₁ este la 4 cm de d₂.

Înălțimea unui triunghi

Distanța de la un vârf al triunghiului la dreapta care conține latura opusă se numește înălțime. Din ea rezultă aria triunghiului.

ABCHBC = 10 cm6 cm
Atriunghi = (baza · înălțimea) : 2
Exemplul 1. OA ⟂ OB, iar [OC este în interiorul unghiului AOB, cu m(∠AOC) = 34°. Cât este m(∠COB)?
Metoda 1 (unghiuri complementare). ∠AOC și ∠COB au suma ∠AOB = 90°, deci m(∠COB) = 90° − 34° = 56°.
Metoda 2 (adunarea unghiurilor adiacente). m(∠AOC) + m(∠COB) = m(∠AOB), adică 34° + m(∠COB) = 90°. Scădem: m(∠COB) = 90° − 34° = 56°.
Exemplul 2. Aceleași date, dar m(∠AOC) = (3x + 10)° și m(∠COB) = (2x + 20)°. Află x.
Metoda 1 (ecuație). (3x + 10) + (2x + 20) = 90, deci 5x + 30 = 90, 5x = 60 și x = 12.
Metoda 2 (un unghi prin celălalt). 3x + 10 = 90 − (2x + 20) = 70 − 2x, deci 5x = 60 și x = 12. Verificare: 3·12 + 10 = 46° și 2·12 + 20 = 44°; 46° + 44° = 90°.
Exemplul 3. ABCD este dreptunghi cu AB = 9 cm și BC = 5 cm. Care este distanța de la A la dreapta BC?
Rezolvare. Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare: AB ⟂ BC, iar B ∈ BC. Deci [AB] este perpendiculara din A pe BC, iar distanța este AB = 9 cm. (Nu este BC = 5 cm, și nici diagonala AC: aceea este oblică.)
ABCD9 cm5 cm
Exemplul 4. În triunghiul ABC, distanța de la A la BC este 6 cm, iar BC = 10 cm. Află aria triunghiului.
Metoda 1 (formula). Înălțimea este AH = 6 cm. Aria = (BC · AH) : 2 = (10 · 6) : 2 = 30 cm².
Metoda 2 (din dreptunghi). Dreptunghiul cu baza 10 cm și înălțimea 6 cm are aria 60 cm², iar triunghiul are exact jumătate din ea: 60 : 2 = 30 cm².
Exemplul 5. Dreptele d₁ ∥ d₂ sunt la 4 cm una de alta. Punctul M ∈ d₁. Care este distanța de la M la d₂?
Rezolvare. Distanța dintre două paralele este aceeași din orice punct: 4 cm. (Perpendiculara din M pe d₂ formează un dreptunghi cu perpendiculara comună, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale.)

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. În figură, SD ⟂ d, SD = 14 cm, SR = 21 cm și SE = 22 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la S la dreapta d?SDREd
  2. În figură, AU ⟂ d, AU = 13 cm, AY = 21 cm și AE = 20 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la A la dreapta d?AUYEd
  3. În figură, HU ⟂ d, HU = 14 cm, HN = 16 cm și HG = 21 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la H la dreapta d?HUNGd
  4. În figură, ST ⟂ d, ST = 11 cm, SB = 12 cm și SK = 18 cm. Care este distanța de la punctul S la dreapta d?STBKd
  5. În figură, FZ ⟂ d, FZ = 12 cm, FS = 20 cm și FX = 13 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la F la dreapta d?FZSXd
  6. În figură, XK ⟂ d, XK = 6 cm, XM = 13 cm și XH = 9 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la X la dreapta d?XKMHd
  7. În figură, AM ⟂ d, AM = 4 cm, AN = 5 cm și AC = 13 cm. Care este distanța de la punctul A la dreapta d?AMNCd
  8. În figură, TX ⟂ d, TX = 4 cm, TM = 8 cm și TY = 5 cm. Care este distanța de la punctul T la dreapta d?TXMYd
  9. În figură, PL ⟂ d, PL = 5 cm, PA = 12 cm și PZ = 6 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la P la dreapta d?PLAZd
  10. Semidreptele [SL și [ST sunt perpendiculare, iar [SC este interioară unghiului LST. Dacă m(∠LSC) = 80°, cât este m(∠CST)?LTCS
  11. În figură, TU ⟂ d, TU = 3 cm, TH = 6 cm și TX = 11 cm. Care este distanța de la punctul T la dreapta d?TUHXd
  12. În figură, UC ⟂ d, UC = 9 cm, US = 15 cm și UK = 14 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la U la dreapta d?UCSKd
  13. În figură, EN ⟂ d, EN = 13 cm, EK = 21 cm și EX = 20 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la E la dreapta d?ENKXd
  14. Două drepte perpendiculare formează unghiuri de
  15. În figură, ZK ⟂ d, ZK = 3 cm, ZG = 6 cm și ZB = 11 cm. Care este distanța de la punctul Z la dreapta d?ZKGBd
  16. Se spune „dreapta a este perpendiculară pe dreapta b” și se scrie
  17. Câte perpendiculare se pot duce dintr-un punct exterior pe o dreaptă dată?
  18. Semidreptele [VX și [VU sunt perpendiculare, iar [VP este interioară unghiului XVU. Dacă m(∠XVP) = 50°, cât este m(∠PVU)?XUPV
  19. În figură, FN ⟂ d, FN = 7 cm, FU = 13 cm și FD = 12 cm. Care este distanța de la punctul F la dreapta d?FNUDd
  20. Semidreptele [SK și [SM sunt perpendiculare, iar [SD este interioară unghiului KSM. Dacă m(∠KSD) = 55°, cât este m(∠DSM)?KMDS
  21. În figură, YU ⟂ d, YU = 6 cm, YQ = 9 cm și YT = 14 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la Y la dreapta d?YUQTd
  22. Câte unghiuri drepte formează două drepte perpendiculare?
  23. Semidreptele [BN și [BR sunt perpendiculare, iar [BH este interioară unghiului NBR. Dacă m(∠NBH) = 20°, cât este m(∠HBR)?NRHB
  24. Semidreptele [TM și [TQ sunt perpendiculare, iar [TG este interioară unghiului MTQ. Dacă m(∠MTG) = 30°, cât este m(∠GTQ)?MQGT
  25. În figură, XB ⟂ d, XB = 13 cm, XH = 17 cm și XD = 15 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la X la dreapta d?XBHDd
  26. Semidreptele [RQ și [RB sunt perpendiculare, iar [RD este interioară unghiului QRB. Dacă m(∠QRD) = 70°, cât este m(∠DRB)?QBDR
  27. În figură, MZ ⟂ d, MZ = 5 cm, MB = 8 cm și MQ = 13 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la M la dreapta d?MZBQd
  28. În figură, DC ⟂ d, DC = 12 cm, DU = 17 cm și DR = 21 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la D la dreapta d?DCURd
  29. În figură, QS ⟂ d, QS = 10 cm, QN = 13 cm și QC = 11 cm. Care este distanța de la punctul Q la dreapta d?QSNCd
  30. În figură, UH ⟂ d, UH = 6 cm, UK = 9 cm și UB = 10 cm. Care este distanța de la punctul U la dreapta d?UHKBd
  31. În figură, GD ⟂ d, GD = 5 cm, GH = 6 cm și GL = 7 cm. Care este distanța de la punctul G la dreapta d?GDHLd
  32. În figură, BK ⟂ d, BK = 10 cm, BZ = 15 cm și BM = 12 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la B la dreapta d?BKZMd
  33. În figură, HP ⟂ d, HP = 6 cm, HM = 13 cm și HQ = 9 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la H la dreapta d?HPMQd
  34. În figură, EU ⟂ d, EU = 4 cm, EN = 6 cm și EY = 9 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la E la dreapta d?EUNYd
  35. În figură, ZE ⟂ d, ZE = 11 cm, ZD = 12 cm și ZC = 13 cm. Care este distanța de la punctul Z la dreapta d?ZEDCd
  36. În figură, TF ⟂ d, TF = 8 cm, TM = 12 cm și TD = 17 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la T la dreapta d?TFMDd
  37. În figură, LV ⟂ d, LV = 14 cm, LT = 17 cm și LH = 19 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la L la dreapta d?LVTHd
  38. În figură, DK ⟂ d, DK = 4 cm, DU = 11 cm și DN = 13 cm. Care este distanța de la punctul D la dreapta d?DKUNd
  39. În figură, YM ⟂ d, YM = 13 cm, YS = 21 cm și YX = 17 cm. Care este distanța de la punctul Y la dreapta d?YMSXd
  40. În figură, CX ⟂ d, CX = 10 cm, CG = 18 cm și CV = 11 cm. Care este distanța de la punctul C la dreapta d?CXGVd
  41. În figură, XM ⟂ d, XM = 5 cm, XS = 11 cm și XN = 8 cm. Care este distanța de la punctul X la dreapta d?XMSNd
  42. În figură, RT ⟂ d, RT = 9 cm, RG = 16 cm și RN = 15 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la R la dreapta d?RTGNd
  43. În figură, QB ⟂ d, QB = 11 cm, QD = 16 cm și QG = 15 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la Q la dreapta d?QBDGd
  44. În figură, EN ⟂ d, EN = 6 cm, ET = 9 cm și ER = 14 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la E la dreapta d?ENTRd
  45. În figură, KQ ⟂ d, KQ = 11 cm, KG = 12 cm și KR = 16 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la K la dreapta d?KQGRd
  46. Semidreptele [XL și [XF sunt perpendiculare, iar [XS este interioară unghiului LXF. Dacă m(∠LXS) = 55°, cât este m(∠SXF)?LFSX
  47. Semidreptele [PF și [PN sunt perpendiculare, iar [PT este interioară unghiului FPN. Dacă m(∠FPT) = 20°, cât este m(∠TPN)?FNTP
  48. Semidreptele [MH și [MA sunt perpendiculare, iar [MD este interioară unghiului HMA. Dacă m(∠HMD) = 75°, cât este m(∠DMA)?HADM
  49. În figură, AY ⟂ d, AY = 7 cm, AP = 12 cm și AK = 14 cm. Care este distanța de la punctul A la dreapta d?AYPKd
  50. În figură, TS ⟂ d, TS = 4 cm, TH = 8 cm și TM = 11 cm. Care dintre segmente reprezintă distanța de la T la dreapta d?TSHMd
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. SD — Distanța de la S la d este lungimea perpendicularei din S pe d, adică a segmentului [SD]. Se observă și că SD = 14 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din S spre dreapta.
  2. AU — Distanța de la A la d este lungimea perpendicularei din A pe d, adică a segmentului [AU]. Se observă și că AU = 13 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din A spre dreapta.
  3. HU — Distanța de la H la d este lungimea perpendicularei din H pe d, adică a segmentului [HU]. Se observă și că HU = 14 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din H spre dreapta.
  4. 11 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici ST ⟂ d, deci distanța este ST = 11 cm. Segmentele SB și SK sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  5. FZ — Distanța de la F la d este lungimea perpendicularei din F pe d, adică a segmentului [FZ]. Se observă și că FZ = 12 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din F spre dreapta.
  6. XK — Distanța de la X la d este lungimea perpendicularei din X pe d, adică a segmentului [XK]. Se observă și că XK = 6 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din X spre dreapta.
  7. 4 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici AM ⟂ d, deci distanța este AM = 4 cm. Segmentele AN și AC sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  8. 4 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici TX ⟂ d, deci distanța este TX = 4 cm. Segmentele TM și TY sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  9. PL — Distanța de la P la d este lungimea perpendicularei din P pe d, adică a segmentului [PL]. Se observă și că PL = 5 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din P spre dreapta.
  10. 10° — Metoda 1. ∠LSC și ∠CST sunt complementare, deci m(∠CST) = 90° − 80° = 10°.
    Metoda 2. m(∠LSC) + m(∠CST) = m(∠LST) = 90°, deci 80° + m(∠CST) = 90°, de unde 10°.
  11. 3 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici TU ⟂ d, deci distanța este TU = 3 cm. Segmentele TH și TX sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  12. UC — Distanța de la U la d este lungimea perpendicularei din U pe d, adică a segmentului [UC]. Se observă și că UC = 9 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din U spre dreapta.
  13. EN — Distanța de la E la d este lungimea perpendicularei din E pe d, adică a segmentului [EN]. Se observă și că EN = 13 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din E spre dreapta.
  14. 90° — Perpendicularitatea înseamnă unghi de 90°.
  15. 3 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici ZK ⟂ d, deci distanța este ZK = 3 cm. Segmentele ZG și ZB sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  16. a ⟂ b — Simbolul ⟂ înseamnă perpendicular; ∥ înseamnă paralel.
  17. 1 — Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură perpendiculară pe acea dreaptă.
  18. 40° — Metoda 1. ∠XVP și ∠PVU sunt complementare, deci m(∠PVU) = 90° − 50° = 40°.
    Metoda 2. m(∠XVP) + m(∠PVU) = m(∠XVU) = 90°, deci 50° + m(∠PVU) = 90°, de unde 40°.
  19. 7 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici FN ⟂ d, deci distanța este FN = 7 cm. Segmentele FU și FD sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  20. 35° — Metoda 1. ∠KSD și ∠DSM sunt complementare, deci m(∠DSM) = 90° − 55° = 35°.
    Metoda 2. m(∠KSD) + m(∠DSM) = m(∠KSM) = 90°, deci 55° + m(∠DSM) = 90°, de unde 35°.
  21. YU — Distanța de la Y la d este lungimea perpendicularei din Y pe d, adică a segmentului [YU]. Se observă și că YU = 6 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din Y spre dreapta.
  22. 4 — Două drepte perpendiculare se taie și formează patru unghiuri, toate drepte (90°).
  23. 70° — Metoda 1. ∠NBH și ∠HBR sunt complementare, deci m(∠HBR) = 90° − 20° = 70°.
    Metoda 2. m(∠NBH) + m(∠HBR) = m(∠NBR) = 90°, deci 20° + m(∠HBR) = 90°, de unde 70°.
  24. 60° — Metoda 1. ∠MTG și ∠GTQ sunt complementare, deci m(∠GTQ) = 90° − 30° = 60°.
    Metoda 2. m(∠MTG) + m(∠GTQ) = m(∠MTQ) = 90°, deci 30° + m(∠GTQ) = 90°, de unde 60°.
  25. XB — Distanța de la X la d este lungimea perpendicularei din X pe d, adică a segmentului [XB]. Se observă și că XB = 13 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din X spre dreapta.
  26. 20° — Metoda 1. ∠QRD și ∠DRB sunt complementare, deci m(∠DRB) = 90° − 70° = 20°.
    Metoda 2. m(∠QRD) + m(∠DRB) = m(∠QRB) = 90°, deci 70° + m(∠DRB) = 90°, de unde 20°.
  27. MZ — Distanța de la M la d este lungimea perpendicularei din M pe d, adică a segmentului [MZ]. Se observă și că MZ = 5 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din M spre dreapta.
  28. DC — Distanța de la D la d este lungimea perpendicularei din D pe d, adică a segmentului [DC]. Se observă și că DC = 12 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din D spre dreapta.
  29. 10 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici QS ⟂ d, deci distanța este QS = 10 cm. Segmentele QN și QC sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  30. 6 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici UH ⟂ d, deci distanța este UH = 6 cm. Segmentele UK și UB sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  31. 5 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici GD ⟂ d, deci distanța este GD = 5 cm. Segmentele GH și GL sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  32. BK — Distanța de la B la d este lungimea perpendicularei din B pe d, adică a segmentului [BK]. Se observă și că BK = 10 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din B spre dreapta.
  33. HP — Distanța de la H la d este lungimea perpendicularei din H pe d, adică a segmentului [HP]. Se observă și că HP = 6 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din H spre dreapta.
  34. EU — Distanța de la E la d este lungimea perpendicularei din E pe d, adică a segmentului [EU]. Se observă și că EU = 4 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din E spre dreapta.
  35. 11 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici ZE ⟂ d, deci distanța este ZE = 11 cm. Segmentele ZD și ZC sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  36. TF — Distanța de la T la d este lungimea perpendicularei din T pe d, adică a segmentului [TF]. Se observă și că TF = 8 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din T spre dreapta.
  37. LV — Distanța de la L la d este lungimea perpendicularei din L pe d, adică a segmentului [LV]. Se observă și că LV = 14 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din L spre dreapta.
  38. 4 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici DK ⟂ d, deci distanța este DK = 4 cm. Segmentele DU și DN sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  39. 13 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici YM ⟂ d, deci distanța este YM = 13 cm. Segmentele YS și YX sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  40. 10 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici CX ⟂ d, deci distanța este CX = 10 cm. Segmentele CG și CV sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  41. 5 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici XM ⟂ d, deci distanța este XM = 5 cm. Segmentele XS și XN sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  42. RT — Distanța de la R la d este lungimea perpendicularei din R pe d, adică a segmentului [RT]. Se observă și că RT = 9 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din R spre dreapta.
  43. QB — Distanța de la Q la d este lungimea perpendicularei din Q pe d, adică a segmentului [QB]. Se observă și că QB = 11 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din Q spre dreapta.
  44. EN — Distanța de la E la d este lungimea perpendicularei din E pe d, adică a segmentului [EN]. Se observă și că EN = 6 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din E spre dreapta.
  45. KQ — Distanța de la K la d este lungimea perpendicularei din K pe d, adică a segmentului [KQ]. Se observă și că KQ = 11 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din K spre dreapta.
  46. 35° — Metoda 1. ∠LXS și ∠SXF sunt complementare, deci m(∠SXF) = 90° − 55° = 35°.
    Metoda 2. m(∠LXS) + m(∠SXF) = m(∠LXF) = 90°, deci 55° + m(∠SXF) = 90°, de unde 35°.
  47. 70° — Metoda 1. ∠FPT și ∠TPN sunt complementare, deci m(∠TPN) = 90° − 20° = 70°.
    Metoda 2. m(∠FPT) + m(∠TPN) = m(∠FPN) = 90°, deci 20° + m(∠TPN) = 90°, de unde 70°.
  48. 15° — Metoda 1. ∠HMD și ∠DMA sunt complementare, deci m(∠DMA) = 90° − 75° = 15°.
    Metoda 2. m(∠HMD) + m(∠DMA) = m(∠HMA) = 90°, deci 75° + m(∠DMA) = 90°, de unde 15°.
  49. 7 cm — Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Aici AY ⟂ d, deci distanța este AY = 7 cm. Segmentele AP și AK sunt oblice: sunt mai lungi, pentru că perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
  50. TS — Distanța de la T la d este lungimea perpendicularei din T pe d, adică a segmentului [TS]. Se observă și că TS = 4 cm este cel mai scurt dintre segmentele duse din T spre dreapta.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 9 cm. Punctul A aparține dreptei d₂. Care este distanța de la A la dreapta d₁?d₁d₂9 cm
  2. Semidreptele [CH și [CX sunt perpendiculare, iar [CG este interioară unghiului HCX. Dacă m(∠HCG) = 49°, cât este m(∠GCX)?HXGC
  3. Semidreptele [GU și [GQ sunt perpendiculare, iar [GX este interioară unghiului UGQ. Dacă m(∠UGX) = 28°, cât este m(∠XGQ)?UQXG
  4. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 6 cm. Punctul A aparține dreptei d₂. Care este distanța de la A la dreapta d₁?d₁d₂6 cm
  5. ABCD este dreptunghi, cu AB = 13 cm și BC = 11 cm. Care este distanța de la punctul C la dreapta AB?ABCD13 cm11 cm
  6. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 6 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 8 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 6 cm8 cm
  7. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 12 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 10 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 12 cm10 cm
  8. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 10 cm. Punctul A aparține dreptei d₁. Care este distanța de la A la dreapta d₂?d₁d₂10 cm
  9. Cel mai scurt segment cu un capăt într-un punct A și celălalt pe dreapta d este
  10. Semidreptele [CL și [CN sunt perpendiculare, iar [CQ este interioară unghiului LCN. Dacă m(∠LCQ) = 52°, cât este m(∠QCN)?LNQC
  11. ABCD este dreptunghi, cu AB = 9 cm și BC = 7 cm. Care este distanța de la punctul B la dreapta AD?ABCD9 cm7 cm
  12. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 14 cm. Punctul B aparține dreptei d₂. Care este distanța de la B la dreapta d₁?d₁d₂14 cm
  13. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 6 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 3 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 6 cm3 cm
  14. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 6 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 10 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 6 cm10 cm
  15. Dreptele UD și SD sunt perpendiculare. Punctul B se află în interiorul unghiului UDS și m(∠BDS) = 23°. Cât este m(∠UDB)?USBD
  16. Dacă a ⟂ c și b ⟂ c (în același plan), atunci dreptele a și b sunt
  17. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 8 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 6 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 8 cm6 cm
  18. Semidreptele [QG și [QY sunt perpendiculare, iar [QP este interioară unghiului GQY. Dacă m(∠GQP) = 29°, cât este m(∠PQY)?GYPQ
  19. ABCD este dreptunghi, cu AB = 5 cm și BC = 12 cm. Care este distanța de la punctul A la dreapta CD?ABCD5 cm12 cm
  20. Semidreptele [VE și [VN sunt perpendiculare, iar [VC este interioară unghiului EVN. Dacă m(∠EVC) = 41°, cât este m(∠CVN)?ENCV
  21. Semidreptele [BT și [BL sunt perpendiculare, iar [BZ este interioară unghiului TBL. Dacă m(∠TBZ) = 17°, cât este m(∠ZBL)?TLZB
  22. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 16 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 7 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 16 cm7 cm
  23. Semidreptele [KN și [KQ sunt perpendiculare, iar [KH este interioară unghiului NKQ. Dacă m(∠NKH) = 51°, cât este m(∠HKQ)?NQHK
  24. Semidreptele [RD și [RZ sunt perpendiculare, iar [RV este interioară unghiului DRZ. Dacă m(∠DRV) = 62°, cât este m(∠VRZ)?DZVR
  25. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 14 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 11 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 14 cm11 cm
  26. Dreptele EZ și KZ sunt perpendiculare. Punctul S se află în interiorul unghiului EZK și m(∠SZK) = 29°. Cât este m(∠EZS)?EKSZ
  27. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 5 cm. Punctul B aparține dreptei d₂. Care este distanța de la B la dreapta d₁?d₁d₂5 cm
  28. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 10 cm. Punctul F aparține dreptei d₂. Care este distanța de la F la dreapta d₁?d₁d₂10 cm
  29. ABCD este dreptunghi, cu AB = 17 cm și BC = 12 cm. Care este distanța de la punctul D la dreapta BC?ABCD17 cm12 cm
  30. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 6 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 9 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 6 cm9 cm
  31. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 10 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 12 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 10 cm12 cm
  32. Dacă punctul A aparține dreptei d, distanța de la A la d este
  33. ABCD este dreptunghi, cu AB = 17 cm și BC = 7 cm. Care este distanța de la punctul D la dreapta AB?ABCD17 cm7 cm
  34. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 14 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 7 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 14 cm7 cm
  35. Semidreptele [QF și [QL sunt perpendiculare, iar [QR este interioară unghiului FQL. Dacă m(∠FQR) = 14°, cât este m(∠RQL)?FLRQ
  36. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 20 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 11 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 20 cm11 cm
  37. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 24 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 7 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 24 cm7 cm
  38. În triunghiul ABC, AH ⟂ BC, H ∈ BC, BC = 10 cm, iar distanța de la A la dreapta BC este 11 cm. Care este aria triunghiului ABC?ABCHBC = 10 cm11 cm
  39. Dreptele QN și GN sunt perpendiculare. Punctul Y se află în interiorul unghiului QNG și m(∠YNG) = 56°. Cât este m(∠QNY)?QGYN
  40. Semidreptele [NV și [NQ sunt perpendiculare, iar [NU este interioară unghiului VNQ. Dacă m(∠VNU) = 12°, cât este m(∠UNQ)?VQUN
  41. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 18 cm. Punctul C aparține dreptei d₂. Care este distanța de la C la dreapta d₁?d₁d₂18 cm
  42. ABCD este dreptunghi, cu AB = 12 cm și BC = 13 cm. Care este distanța de la punctul C la dreapta AD?ABCD12 cm13 cm
  43. Semidreptele [VZ și [VR sunt perpendiculare, iar [VQ este interioară unghiului ZVR. Dacă m(∠ZVQ) = 61°, cât este m(∠QVR)?ZRQV
  44. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele, iar distanța dintre ele este 14 cm. Punctul R aparține dreptei d₂. Care este distanța de la R la dreapta d₁?d₁d₂14 cm
  45. Semidreptele [XL și [XE sunt perpendiculare, iar [XN este interioară unghiului LXE. Dacă m(∠LXN) = 36°, cât este m(∠NXE)?LENX
  46. Dreptele NS și BS sunt perpendiculare. Punctul L se află în interiorul unghiului NSB și m(∠LSB) = 8°. Cât este m(∠NSL)?NBLS
  47. ABCD este dreptunghi, cu AB = 12 cm și BC = 19 cm. Care este distanța de la punctul B la dreapta CD?ABCD12 cm19 cm
  48. Dreptele VS și QS sunt perpendiculare. Punctul A se află în interiorul unghiului VSQ și m(∠ASQ) = 62°. Cât este m(∠VSA)?VQAS
  49. ABCD este dreptunghi, cu AB = 13 cm și BC = 8 cm. Care este distanța de la punctul B la dreapta AD?ABCD13 cm8 cm
  50. ABCD este dreptunghi, cu AB = 11 cm și BC = 3 cm. Care este distanța de la punctul A la dreapta CD?ABCD11 cm3 cm
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 9 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 9 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din A perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 9 cm.
  2. 41° — Metoda 1. ∠HCG și ∠GCX sunt complementare, deci m(∠GCX) = 90° − 49° = 41°.
    Metoda 2. m(∠HCG) + m(∠GCX) = m(∠HCX) = 90°, deci 49° + m(∠GCX) = 90°, de unde 41°.
  3. 62° — Metoda 1. ∠UGX și ∠XGQ sunt complementare, deci m(∠XGQ) = 90° − 28° = 62°.
    Metoda 2. m(∠UGX) + m(∠XGQ) = m(∠UGQ) = 90°, deci 28° + m(∠XGQ) = 90°, de unde 62°.
  4. 6 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 6 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din A perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 6 cm.
  5. 11 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [BC] este perpendicular pe dreapta AB și are un capăt în C, deci distanța de la C la AB este BC = 11 cm.
  6. 24 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 8 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (6 · 8) : 2 = 24 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 6 cm și înălțimea 8 cm are aria 48 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 48 : 2 = 24 cm².
  7. 60 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 10 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (12 · 10) : 2 = 60 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 12 cm și înălțimea 10 cm are aria 120 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 120 : 2 = 60 cm².
  8. 10 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₁ se află la 10 cm de d₂.
    Metoda 2. Ducem din A perpendiculara pe d₂. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 10 cm.
  9. perpendiculara din A pe d — Perpendiculara este cel mai scurt drum de la un punct la o dreaptă; de aceea ea dă distanța.
  10. 38° — Metoda 1. ∠LCQ și ∠QCN sunt complementare, deci m(∠QCN) = 90° − 52° = 38°.
    Metoda 2. m(∠LCQ) + m(∠QCN) = m(∠LCN) = 90°, deci 52° + m(∠QCN) = 90°, de unde 38°.
  11. 9 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [AB] este perpendicular pe dreapta AD și are un capăt în B, deci distanța de la B la AD este AB = 9 cm.
  12. 14 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 14 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din B perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 14 cm.
  13. 9 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 3 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (6 · 3) : 2 = 9 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 6 cm și înălțimea 3 cm are aria 18 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 18 : 2 = 9 cm².
  14. 30 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 10 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (6 · 10) : 2 = 30 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 6 cm și înălțimea 10 cm are aria 60 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 60 : 2 = 30 cm².
  15. 67° — Unghiul UDS este drept. m(∠UDB) = 90° − m(∠BDS) = 90° − 23° = 67°. Verificare: 67° + 23° = 90°.
  16. paralele — Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele (unghiurile corespondente au câte 90°).
  17. 24 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 6 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (8 · 6) : 2 = 24 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 8 cm și înălțimea 6 cm are aria 48 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 48 : 2 = 24 cm².
  18. 61° — Metoda 1. ∠GQP și ∠PQY sunt complementare, deci m(∠PQY) = 90° − 29° = 61°.
    Metoda 2. m(∠GQP) + m(∠PQY) = m(∠GQY) = 90°, deci 29° + m(∠PQY) = 90°, de unde 61°.
  19. 12 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [AD] este perpendicular pe dreapta CD și are un capăt în A, deci distanța de la A la CD este AD = 12 cm.
  20. 49° — Metoda 1. ∠EVC și ∠CVN sunt complementare, deci m(∠CVN) = 90° − 41° = 49°.
    Metoda 2. m(∠EVC) + m(∠CVN) = m(∠EVN) = 90°, deci 41° + m(∠CVN) = 90°, de unde 49°.
  21. 73° — Metoda 1. ∠TBZ și ∠ZBL sunt complementare, deci m(∠ZBL) = 90° − 17° = 73°.
    Metoda 2. m(∠TBZ) + m(∠ZBL) = m(∠TBL) = 90°, deci 17° + m(∠ZBL) = 90°, de unde 73°.
  22. 56 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 7 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (16 · 7) : 2 = 56 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 16 cm și înălțimea 7 cm are aria 112 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 112 : 2 = 56 cm².
  23. 39° — Metoda 1. ∠NKH și ∠HKQ sunt complementare, deci m(∠HKQ) = 90° − 51° = 39°.
    Metoda 2. m(∠NKH) + m(∠HKQ) = m(∠NKQ) = 90°, deci 51° + m(∠HKQ) = 90°, de unde 39°.
  24. 28° — Metoda 1. ∠DRV și ∠VRZ sunt complementare, deci m(∠VRZ) = 90° − 62° = 28°.
    Metoda 2. m(∠DRV) + m(∠VRZ) = m(∠DRZ) = 90°, deci 62° + m(∠VRZ) = 90°, de unde 28°.
  25. 77 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 11 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (14 · 11) : 2 = 77 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 14 cm și înălțimea 11 cm are aria 154 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 154 : 2 = 77 cm².
  26. 61° — Unghiul EZK este drept. m(∠EZS) = 90° − m(∠SZK) = 90° − 29° = 61°. Verificare: 61° + 29° = 90°.
  27. 5 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 5 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din B perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 5 cm.
  28. 10 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 10 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din F perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 10 cm.
  29. 17 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [DC] este perpendicular pe dreapta BC și are un capăt în D, deci distanța de la D la BC este DC = 17 cm.
  30. 27 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 9 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (6 · 9) : 2 = 27 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 6 cm și înălțimea 9 cm are aria 54 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 54 : 2 = 27 cm².
  31. 60 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 12 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (10 · 12) : 2 = 60 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 10 cm și înălțimea 12 cm are aria 120 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 120 : 2 = 60 cm².
  32. 0 — Punctul este chiar pe dreaptă, deci distanța este 0.
  33. 7 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [DA] este perpendicular pe dreapta AB și are un capăt în D, deci distanța de la D la AB este DA = 7 cm.
  34. 49 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 7 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (14 · 7) : 2 = 49 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 14 cm și înălțimea 7 cm are aria 98 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 98 : 2 = 49 cm².
  35. 76° — Metoda 1. ∠FQR și ∠RQL sunt complementare, deci m(∠RQL) = 90° − 14° = 76°.
    Metoda 2. m(∠FQR) + m(∠RQL) = m(∠FQL) = 90°, deci 14° + m(∠RQL) = 90°, de unde 76°.
  36. 110 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 11 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (20 · 11) : 2 = 110 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 20 cm și înălțimea 11 cm are aria 220 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 220 : 2 = 110 cm².
  37. 84 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 7 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (24 · 7) : 2 = 84 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 24 cm și înălțimea 7 cm are aria 168 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 168 : 2 = 84 cm².
  38. 55 cm² — Distanța de la A la BC este înălțimea AH = 11 cm. Metoda 1: aria = (BC · AH) : 2 = (10 · 11) : 2 = 55 cm².
    Metoda 2: dreptunghiul cu baza 10 cm și înălțimea 11 cm are aria 110 cm², iar triunghiul are jumătate din ea: 110 : 2 = 55 cm².
  39. 34° — Unghiul QNG este drept. m(∠QNY) = 90° − m(∠YNG) = 90° − 56° = 34°. Verificare: 34° + 56° = 90°.
  40. 78° — Metoda 1. ∠VNU și ∠UNQ sunt complementare, deci m(∠UNQ) = 90° − 12° = 78°.
    Metoda 2. m(∠VNU) + m(∠UNQ) = m(∠VNQ) = 90°, deci 12° + m(∠UNQ) = 90°, de unde 78°.
  41. 18 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 18 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din C perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 18 cm.
  42. 12 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [CD] este perpendicular pe dreapta AD și are un capăt în C, deci distanța de la C la AD este CD = 12 cm.
  43. 29° — Metoda 1. ∠ZVQ și ∠QVR sunt complementare, deci m(∠QVR) = 90° − 61° = 29°.
    Metoda 2. m(∠ZVQ) + m(∠QVR) = m(∠ZVR) = 90°, deci 61° + m(∠QVR) = 90°, de unde 29°.
  44. 14 cm — Metoda 1. Două drepte paralele sunt peste tot la aceeași distanță una de alta, deci orice punct al lui d₂ se află la 14 cm de d₁.
    Metoda 2. Ducem din R perpendiculara pe d₁. Ea formează cu perpendiculara comună un dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale: distanța este 14 cm.
  45. 54° — Metoda 1. ∠LXN și ∠NXE sunt complementare, deci m(∠NXE) = 90° − 36° = 54°.
    Metoda 2. m(∠LXN) + m(∠NXE) = m(∠LXE) = 90°, deci 36° + m(∠NXE) = 90°, de unde 54°.
  46. 82° — Unghiul NSB este drept. m(∠NSL) = 90° − m(∠LSB) = 90° − 8° = 82°. Verificare: 82° + 8° = 90°.
  47. 19 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [BC] este perpendicular pe dreapta CD și are un capăt în B, deci distanța de la B la CD este BC = 19 cm.
  48. 28° — Unghiul VSQ este drept. m(∠VSA) = 90° − m(∠ASQ) = 90° − 62° = 28°. Verificare: 28° + 62° = 90°.
  49. 13 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [AB] este perpendicular pe dreapta AD și are un capăt în B, deci distanța de la B la AD este AB = 13 cm.
  50. 3 cm — Într-un dreptunghi laturile alăturate sunt perpendiculare. Segmentul [AD] este perpendicular pe dreapta CD și are un capăt în A, deci distanța de la A la CD este AD = 3 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Semidreptele [TS și [TZ sunt perpendiculare, [TF este interioară unghiului STZ, iar m(∠STF) = 70°. Dacă [TG este bisectoarea unghiului FTZ, cât este m(∠STG)?
  2. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 2 : 1. Cât este m(∠AOC)?
  3. Semidreptele [PR și [PA sunt perpendiculare, [PM este interioară unghiului RPA, iar m(∠RPM) = 18°. Dacă [PB este bisectoarea unghiului MPA, cât este m(∠RPB)?
  4. Semidreptele [DC și [DY sunt perpendiculare, [DZ este interioară unghiului CDY, iar m(∠CDZ) = 64°. Dacă [DF este bisectoarea unghiului ZDY, cât este m(∠CDF)?
  5. Semidreptele [RN și [RH sunt perpendiculare, [RV este interioară unghiului NRH, iar m(∠NRV) = 38°. Dacă [RF este bisectoarea unghiului VRH, cât este m(∠NRF)?
  6. Semidreptele [VZ și [VM sunt perpendiculare, [VU este interioară unghiului ZVM, iar m(∠ZVU) = 44°. Dacă [VL este bisectoarea unghiului UVM, cât este m(∠ZVL)?
  7. Semidreptele [YQ și [YR sunt perpendiculare, [YF este interioară unghiului QYR, iar m(∠QYF) = 30°. Dacă [YT este bisectoarea unghiului FYR, cât este m(∠QYT)?
  8. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 4 : 5. Cât este m(∠AOC)?
  9. Semidreptele [VF și [VC sunt perpendiculare, [VH este interioară unghiului FVC, iar m(∠FVH) = 50°. Dacă [VG este bisectoarea unghiului HVC, cât este m(∠FVG)?
  10. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 2 : 3. Cât este m(∠AOC)?
  11. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 3 : 2. Cât este m(∠AOC)?
  12. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 1 : 2. Cât este m(∠AOC)?
  13. Semidreptele [TD și [TB sunt perpendiculare, [TY este interioară unghiului DTB, iar m(∠DTY) = 70°. Dacă [TS este bisectoarea unghiului YTB, cât este m(∠DTS)?
  14. Semidreptele [RS și [RT sunt perpendiculare, [RE este interioară unghiului SRT, iar m(∠SRE) = 48°. Dacă [RN este bisectoarea unghiului ERT, cât este m(∠SRN)?
  15. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, cu m(∠AOC) = (5x + 1)° și m(∠COB) = (5x + 9)°. Cât este x?
  16. Semidreptele [FE și [FB sunt perpendiculare, [FL este interioară unghiului EFB, iar m(∠EFL) = 48°. Dacă [FR este bisectoarea unghiului LFB, cât este m(∠EFR)?
  17. Semidreptele [MN și [MC sunt perpendiculare, [MQ este interioară unghiului NMC, iar m(∠NMQ) = 40°. Dacă [ME este bisectoarea unghiului QMC, cât este m(∠NME)?
  18. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, cu m(∠AOC) = (4x + 8)° și m(∠COB) = (x + 27)°. Cât este x?
  19. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 4 : 1. Cât este m(∠AOC)?
  20. Semidreptele [LT și [LQ sunt perpendiculare, [LH este interioară unghiului TLQ, iar m(∠TLH) = 38°. Dacă [LR este bisectoarea unghiului HLQ, cât este m(∠TLR)?
  21. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, cu m(∠AOC) = (3x + 7)° și m(∠COB) = (4x + 13)°. Cât este x?
  22. Semidreptele [HA și [HX sunt perpendiculare, [HP este interioară unghiului AHX, iar m(∠AHP) = 34°. Dacă [HT este bisectoarea unghiului PHX, cât este m(∠AHT)?
  23. Semidreptele [MG și [ME sunt perpendiculare, [MD este interioară unghiului GME, iar m(∠GMD) = 16°. Dacă [MQ este bisectoarea unghiului DME, cât este m(∠GMQ)?
  24. Semidreptele [XU și [XN sunt perpendiculare, [XQ este interioară unghiului UXN, iar m(∠UXQ) = 38°. Dacă [XF este bisectoarea unghiului QXN, cât este m(∠UXF)?
  25. Semidreptele [XQ și [XZ sunt perpendiculare, [XT este interioară unghiului QXZ, iar m(∠QXT) = 56°. Dacă [XP este bisectoarea unghiului TXZ, cât este m(∠QXP)?
  26. Semidreptele [YE și [YA sunt perpendiculare, [YG este interioară unghiului EYA, iar m(∠EYG) = 46°. Dacă [YZ este bisectoarea unghiului GYA, cât este m(∠EYZ)?
  27. Semidreptele [AZ și [AG sunt perpendiculare, [AM este interioară unghiului ZAG, iar m(∠ZAM) = 38°. Dacă [AT este bisectoarea unghiului MAG, cât este m(∠ZAT)?
  28. Semidreptele [LN și [LV sunt perpendiculare, [LK este interioară unghiului NLV, iar m(∠NLK) = 74°. Dacă [LZ este bisectoarea unghiului KLV, cât este m(∠NLZ)?
  29. Semidreptele [VM și [VN sunt perpendiculare, [VU este interioară unghiului MVN, iar m(∠MVU) = 22°. Dacă [VQ este bisectoarea unghiului UVN, cât este m(∠MVQ)?
  30. Semidreptele [PF și [PU sunt perpendiculare, [PL este interioară unghiului FPU, iar m(∠FPL) = 10°. Dacă [PY este bisectoarea unghiului LPU, cât este m(∠FPY)?
  31. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, cu m(∠AOC) = (4x)° și m(∠COB) = (5x + 27)°. Cât este x?
  32. Dreptele OA și OB sunt perpendiculare, iar semidreapta [OC este interioară unghiului AOB. Dacă m(∠AOC) = (3x + 1)° și m(∠COB) = (3x + 35)°, cât este m(∠AOC)?
  33. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 1 : 8. Cât este m(∠AOC)?
  34. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, cu m(∠AOC) = (2x + 8)° și m(∠COB) = (3x + 17)°. Cât este x?
  35. Semidreptele [EC și [EB sunt perpendiculare, [EU este interioară unghiului CEB, iar m(∠CEU) = 80°. Dacă [EF este bisectoarea unghiului UEB, cât este m(∠CEF)?
  36. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 2 : 7. Cât este m(∠AOC)?
  37. Semidreptele [VQ și [VY sunt perpendiculare, [VZ este interioară unghiului QVY, iar m(∠QVZ) = 66°. Dacă [VN este bisectoarea unghiului ZVY, cât este m(∠QVN)?
  38. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 1 : 4. Cât este m(∠AOC)?
  39. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 7 : 2. Cât este m(∠AOC)?
  40. Dreptele OA și OB sunt perpendiculare, iar semidreapta [OC este interioară unghiului AOB. Dacă m(∠AOC) = (x + 9)° și m(∠COB) = (4x + 26)°, cât este m(∠AOC)?
  41. Semidreptele [LG și [LA sunt perpendiculare, [LU este interioară unghiului GLA, iar m(∠GLU) = 28°. Dacă [LE este bisectoarea unghiului ULA, cât este m(∠GLE)?
  42. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, cu m(∠AOC) = (4x + 9)° și m(∠COB) = (5x + 27)°. Cât este x?
  43. Semidreptele [SA și [SC sunt perpendiculare, [SR este interioară unghiului ASC, iar m(∠ASR) = 10°. Dacă [SL este bisectoarea unghiului RSC, cât este m(∠ASL)?
  44. Unghiurile ∠AOC și ∠COB sunt complementare, iar m(∠AOC) : m(∠COB) = 1 : 5. Cât este m(∠AOC)?
  45. Semidreptele [BV și [BC sunt perpendiculare, [BT este interioară unghiului VBC, iar m(∠VBT) = 16°. Dacă [BK este bisectoarea unghiului TBC, cât este m(∠VBK)?
  46. Semidreptele [DF și [DB sunt perpendiculare, [DG este interioară unghiului FDB, iar m(∠FDG) = 44°. Dacă [DQ este bisectoarea unghiului GDB, cât este m(∠FDQ)?
  47. Semidreptele [EA și [EY sunt perpendiculare, [EQ este interioară unghiului AEY, iar m(∠AEQ) = 30°. Dacă [EC este bisectoarea unghiului QEY, cât este m(∠AEC)?
  48. Semidreptele [CX și [CH sunt perpendiculare, [CZ este interioară unghiului XCH, iar m(∠XCZ) = 60°. Dacă [CL este bisectoarea unghiului ZCH, cât este m(∠XCL)?
  49. Dreptele OA și OB sunt perpendiculare, iar semidreapta [OC este interioară unghiului AOB. Dacă m(∠AOC) = (5x + 2)° și m(∠COB) = (2x + 18)°, cât este m(∠AOC)?
  50. Semidreptele [NV și [NU sunt perpendiculare, [NS este interioară unghiului VNU, iar m(∠VNS) = 30°. Dacă [NK este bisectoarea unghiului SNU, cât este m(∠VNK)?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 80° — ∠FTZ are 90° − 70° = 20°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 10°.
    Metoda 1. m(∠STG) = m(∠STF) + m(∠FTG) = 70° + 10° = 80°.
    Metoda 2. m(∠STG) = 90° − m(∠GTZ) = 90° − 10° = 80°.
  2. 60° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 1 = 3, iar o parte are 90° : 3 = 30°. Atunci m(∠AOC) = 2 · 30° = 60°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 2k și m(∠COB) = k. Din 2k + k = 90 rezultă 3k = 90 și k = 30, deci m(∠AOC) = 60°.
  3. 54° — ∠MPA are 90° − 18° = 72°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 36°.
    Metoda 1. m(∠RPB) = m(∠RPM) + m(∠MPB) = 18° + 36° = 54°.
    Metoda 2. m(∠RPB) = 90° − m(∠BPA) = 90° − 36° = 54°.
  4. 77° — ∠ZDY are 90° − 64° = 26°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 13°.
    Metoda 1. m(∠CDF) = m(∠CDZ) + m(∠ZDF) = 64° + 13° = 77°.
    Metoda 2. m(∠CDF) = 90° − m(∠FDY) = 90° − 13° = 77°.
  5. 64° — ∠VRH are 90° − 38° = 52°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 26°.
    Metoda 1. m(∠NRF) = m(∠NRV) + m(∠VRF) = 38° + 26° = 64°.
    Metoda 2. m(∠NRF) = 90° − m(∠FRH) = 90° − 26° = 64°.
  6. 67° — ∠UVM are 90° − 44° = 46°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 23°.
    Metoda 1. m(∠ZVL) = m(∠ZVU) + m(∠UVL) = 44° + 23° = 67°.
    Metoda 2. m(∠ZVL) = 90° − m(∠LVM) = 90° − 23° = 67°.
  7. 60° — ∠FYR are 90° − 30° = 60°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 30°.
    Metoda 1. m(∠QYT) = m(∠QYF) + m(∠FYT) = 30° + 30° = 60°.
    Metoda 2. m(∠QYT) = 90° − m(∠TYR) = 90° − 30° = 60°.
  8. 40° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 4 + 5 = 9, iar o parte are 90° : 9 = 10°. Atunci m(∠AOC) = 4 · 10° = 40°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 4k și m(∠COB) = 5k. Din 4k + 5k = 90 rezultă 9k = 90 și k = 10, deci m(∠AOC) = 40°.
  9. 70° — ∠HVC are 90° − 50° = 40°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 20°.
    Metoda 1. m(∠FVG) = m(∠FVH) + m(∠HVG) = 50° + 20° = 70°.
    Metoda 2. m(∠FVG) = 90° − m(∠GVC) = 90° − 20° = 70°.
  10. 36° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 3 = 5, iar o parte are 90° : 5 = 18°. Atunci m(∠AOC) = 2 · 18° = 36°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 2k și m(∠COB) = 3k. Din 2k + 3k = 90 rezultă 5k = 90 și k = 18, deci m(∠AOC) = 36°.
  11. 54° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 3 + 2 = 5, iar o parte are 90° : 5 = 18°. Atunci m(∠AOC) = 3 · 18° = 54°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 3k și m(∠COB) = 2k. Din 3k + 2k = 90 rezultă 5k = 90 și k = 18, deci m(∠AOC) = 54°.
  12. 30° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 2 = 3, iar o parte are 90° : 3 = 30°. Atunci m(∠AOC) = 1 · 30° = 30°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = k și m(∠COB) = 2k. Din k + 2k = 90 rezultă 3k = 90 și k = 30, deci m(∠AOC) = 30°.
  13. 80° — ∠YTB are 90° − 70° = 20°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 10°.
    Metoda 1. m(∠DTS) = m(∠DTY) + m(∠YTS) = 70° + 10° = 80°.
    Metoda 2. m(∠DTS) = 90° − m(∠STB) = 90° − 10° = 80°.
  14. 69° — ∠ERT are 90° − 48° = 42°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 21°.
    Metoda 1. m(∠SRN) = m(∠SRE) + m(∠ERN) = 48° + 21° = 69°.
    Metoda 2. m(∠SRN) = 90° − m(∠NRT) = 90° − 21° = 69°.
  15. 8 — Metoda 1 (ecuație). (5x + 1) + (5x + 9) = 90, deci 10x + 10 = 90, adică 10x = 80 și x = 8.
    Metoda 2 (verificare). Pentru x = 8: m(∠AOC) = 41°, m(∠COB) = 49°, iar 41 + 49 = 90.
  16. 69° — ∠LFB are 90° − 48° = 42°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 21°.
    Metoda 1. m(∠EFR) = m(∠EFL) + m(∠LFR) = 48° + 21° = 69°.
    Metoda 2. m(∠EFR) = 90° − m(∠RFB) = 90° − 21° = 69°.
  17. 65° — ∠QMC are 90° − 40° = 50°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 25°.
    Metoda 1. m(∠NME) = m(∠NMQ) + m(∠QME) = 40° + 25° = 65°.
    Metoda 2. m(∠NME) = 90° − m(∠EMC) = 90° − 25° = 65°.
  18. 11 — Metoda 1 (ecuație). (4x + 8) + (x + 27) = 90, deci 5x + 35 = 90, adică 5x = 55 și x = 11.
    Metoda 2 (verificare). Pentru x = 11: m(∠AOC) = 52°, m(∠COB) = 38°, iar 52 + 38 = 90.
  19. 72° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 4 + 1 = 5, iar o parte are 90° : 5 = 18°. Atunci m(∠AOC) = 4 · 18° = 72°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 4k și m(∠COB) = k. Din 4k + k = 90 rezultă 5k = 90 și k = 18, deci m(∠AOC) = 72°.
  20. 64° — ∠HLQ are 90° − 38° = 52°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 26°.
    Metoda 1. m(∠TLR) = m(∠TLH) + m(∠HLR) = 38° + 26° = 64°.
    Metoda 2. m(∠TLR) = 90° − m(∠RLQ) = 90° − 26° = 64°.
  21. 10 — Metoda 1 (ecuație). (3x + 7) + (4x + 13) = 90, deci 7x + 20 = 90, adică 7x = 70 și x = 10.
    Metoda 2 (verificare). Pentru x = 10: m(∠AOC) = 37°, m(∠COB) = 53°, iar 37 + 53 = 90.
  22. 62° — ∠PHX are 90° − 34° = 56°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 28°.
    Metoda 1. m(∠AHT) = m(∠AHP) + m(∠PHT) = 34° + 28° = 62°.
    Metoda 2. m(∠AHT) = 90° − m(∠THX) = 90° − 28° = 62°.
  23. 53° — ∠DME are 90° − 16° = 74°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 37°.
    Metoda 1. m(∠GMQ) = m(∠GMD) + m(∠DMQ) = 16° + 37° = 53°.
    Metoda 2. m(∠GMQ) = 90° − m(∠QME) = 90° − 37° = 53°.
  24. 64° — ∠QXN are 90° − 38° = 52°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 26°.
    Metoda 1. m(∠UXF) = m(∠UXQ) + m(∠QXF) = 38° + 26° = 64°.
    Metoda 2. m(∠UXF) = 90° − m(∠FXN) = 90° − 26° = 64°.
  25. 73° — ∠TXZ are 90° − 56° = 34°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 17°.
    Metoda 1. m(∠QXP) = m(∠QXT) + m(∠TXP) = 56° + 17° = 73°.
    Metoda 2. m(∠QXP) = 90° − m(∠PXZ) = 90° − 17° = 73°.
  26. 68° — ∠GYA are 90° − 46° = 44°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 22°.
    Metoda 1. m(∠EYZ) = m(∠EYG) + m(∠GYZ) = 46° + 22° = 68°.
    Metoda 2. m(∠EYZ) = 90° − m(∠ZYA) = 90° − 22° = 68°.
  27. 64° — ∠MAG are 90° − 38° = 52°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 26°.
    Metoda 1. m(∠ZAT) = m(∠ZAM) + m(∠MAT) = 38° + 26° = 64°.
    Metoda 2. m(∠ZAT) = 90° − m(∠TAG) = 90° − 26° = 64°.
  28. 82° — ∠KLV are 90° − 74° = 16°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 8°.
    Metoda 1. m(∠NLZ) = m(∠NLK) + m(∠KLZ) = 74° + 8° = 82°.
    Metoda 2. m(∠NLZ) = 90° − m(∠ZLV) = 90° − 8° = 82°.
  29. 56° — ∠UVN are 90° − 22° = 68°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 34°.
    Metoda 1. m(∠MVQ) = m(∠MVU) + m(∠UVQ) = 22° + 34° = 56°.
    Metoda 2. m(∠MVQ) = 90° − m(∠QVN) = 90° − 34° = 56°.
  30. 50° — ∠LPU are 90° − 10° = 80°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 40°.
    Metoda 1. m(∠FPY) = m(∠FPL) + m(∠LPY) = 10° + 40° = 50°.
    Metoda 2. m(∠FPY) = 90° − m(∠YPU) = 90° − 40° = 50°.
  31. 7 — Metoda 1 (ecuație). (4x) + (5x + 27) = 90, deci 9x + 27 = 90, adică 9x = 63 și x = 7.
    Metoda 2 (verificare). Pentru x = 7: m(∠AOC) = 28°, m(∠COB) = 62°, iar 28 + 62 = 90.
  32. 28° — Cele două unghiuri au suma 90°: 6x + 36 = 90, deci x = 9. Atunci m(∠AOC) = 3·9 + 1 = 28°.
  33. 10° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 8 = 9, iar o parte are 90° : 9 = 10°. Atunci m(∠AOC) = 1 · 10° = 10°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = k și m(∠COB) = 8k. Din k + 8k = 90 rezultă 9k = 90 și k = 10, deci m(∠AOC) = 10°.
  34. 13 — Metoda 1 (ecuație). (2x + 8) + (3x + 17) = 90, deci 5x + 25 = 90, adică 5x = 65 și x = 13.
    Metoda 2 (verificare). Pentru x = 13: m(∠AOC) = 34°, m(∠COB) = 56°, iar 34 + 56 = 90.
  35. 85° — ∠UEB are 90° − 80° = 10°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 5°.
    Metoda 1. m(∠CEF) = m(∠CEU) + m(∠UEF) = 80° + 5° = 85°.
    Metoda 2. m(∠CEF) = 90° − m(∠FEB) = 90° − 5° = 85°.
  36. 20° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 7 = 9, iar o parte are 90° : 9 = 10°. Atunci m(∠AOC) = 2 · 10° = 20°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 2k și m(∠COB) = 7k. Din 2k + 7k = 90 rezultă 9k = 90 și k = 10, deci m(∠AOC) = 20°.
  37. 78° — ∠ZVY are 90° − 66° = 24°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 12°.
    Metoda 1. m(∠QVN) = m(∠QVZ) + m(∠ZVN) = 66° + 12° = 78°.
    Metoda 2. m(∠QVN) = 90° − m(∠NVY) = 90° − 12° = 78°.
  38. 18° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 4 = 5, iar o parte are 90° : 5 = 18°. Atunci m(∠AOC) = 1 · 18° = 18°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = k și m(∠COB) = 4k. Din k + 4k = 90 rezultă 5k = 90 și k = 18, deci m(∠AOC) = 18°.
  39. 70° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 7 + 2 = 9, iar o parte are 90° : 9 = 10°. Atunci m(∠AOC) = 7 · 10° = 70°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = 7k și m(∠COB) = 2k. Din 7k + 2k = 90 rezultă 9k = 90 și k = 10, deci m(∠AOC) = 70°.
  40. 20° — Cele două unghiuri au suma 90°: 5x + 35 = 90, deci x = 11. Atunci m(∠AOC) = 1·11 + 9 = 20°.
  41. 59° — ∠ULA are 90° − 28° = 62°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 31°.
    Metoda 1. m(∠GLE) = m(∠GLU) + m(∠ULE) = 28° + 31° = 59°.
    Metoda 2. m(∠GLE) = 90° − m(∠ELA) = 90° − 31° = 59°.
  42. 6 — Metoda 1 (ecuație). (4x + 9) + (5x + 27) = 90, deci 9x + 36 = 90, adică 9x = 54 și x = 6.
    Metoda 2 (verificare). Pentru x = 6: m(∠AOC) = 33°, m(∠COB) = 57°, iar 33 + 57 = 90.
  43. 50° — ∠RSC are 90° − 10° = 80°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 40°.
    Metoda 1. m(∠ASL) = m(∠ASR) + m(∠RSL) = 10° + 40° = 50°.
    Metoda 2. m(∠ASL) = 90° − m(∠LSC) = 90° − 40° = 50°.
  44. 15° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 5 = 6, iar o parte are 90° : 6 = 15°. Atunci m(∠AOC) = 1 · 15° = 15°.
    Metoda 2 (ecuație). Fie m(∠AOC) = k și m(∠COB) = 5k. Din k + 5k = 90 rezultă 6k = 90 și k = 15, deci m(∠AOC) = 15°.
  45. 53° — ∠TBC are 90° − 16° = 74°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 37°.
    Metoda 1. m(∠VBK) = m(∠VBT) + m(∠TBK) = 16° + 37° = 53°.
    Metoda 2. m(∠VBK) = 90° − m(∠KBC) = 90° − 37° = 53°.
  46. 67° — ∠GDB are 90° − 44° = 46°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 23°.
    Metoda 1. m(∠FDQ) = m(∠FDG) + m(∠GDQ) = 44° + 23° = 67°.
    Metoda 2. m(∠FDQ) = 90° − m(∠QDB) = 90° − 23° = 67°.
  47. 60° — ∠QEY are 90° − 30° = 60°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 30°.
    Metoda 1. m(∠AEC) = m(∠AEQ) + m(∠QEC) = 30° + 30° = 60°.
    Metoda 2. m(∠AEC) = 90° − m(∠CEY) = 90° − 30° = 60°.
  48. 75° — ∠ZCH are 90° − 60° = 30°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 15°.
    Metoda 1. m(∠XCL) = m(∠XCZ) + m(∠ZCL) = 60° + 15° = 75°.
    Metoda 2. m(∠XCL) = 90° − m(∠LCH) = 90° − 15° = 75°.
  49. 52° — Cele două unghiuri au suma 90°: 7x + 20 = 90, deci x = 10. Atunci m(∠AOC) = 5·10 + 2 = 52°.
  50. 60° — ∠SNU are 90° − 30° = 60°, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 30°.
    Metoda 1. m(∠VNK) = m(∠VNS) + m(∠SNK) = 30° + 30° = 60°.
    Metoda 2. m(∠VNK) = 90° − m(∠KNU) = 90° − 30° = 60°.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a