Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Bisectoarea și mediatoarea: proprietăți

Bisectoarea și mediatoarea: proprietăți

Punctele bisectoarei sunt egal depărtate de laturi, punctele mediatoarei sunt egal depărtate de capete.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Bisectoarea unui unghi

Pe bisectoarea unui unghi, orice punct P este egal depărtat de laturile unghiului: PD = PE (distanțele se măsoară perpendicular).

PDEOAB
P pe bisectoarea ∠AOB ⇒ distanța de la P la OA = distanța de la P la OB.
Reciproc: un punct egal depărtat de laturi este pe bisectoare.

Demonstrație: Δ POD și Δ POE sunt dreptunghice, cu ipotenuza OP comună și ∠POD = ∠POE (bisectoare). Se aplică IU, deci PD = PE.

Mediatoarea unui segment

Mediatoarea este perpendiculara pe segment în mijlocul lui. Orice punct M al mediatoarei verifică MA = MB. Reciproc, dacă MA = MB, M este pe mediatoare.

M pe mediatoarea lui [AB] ⇒ MA = MB
Exemplul 1. P este pe bisectoarea unui unghi. Distanța de la P la o latură este 8 cm. Care este distanța la cealaltă latură?
Rezolvare. Punctele bisectoarei sunt egal depărtate de laturi: tot 8 cm.
Exemplul 2. Distanțele de la P (pe bisectoare) la laturi sunt (2x + 3) cm și (x + 9) cm. Află x.
Rezolvare. Distanțele sunt egale: 2x + 3 = x + 9, deci x = 6. Distanța este 15 cm.
Exemplul 3. M este pe mediatoarea lui [AB], MA = 12 cm, iar perimetrul triunghiului MAB este 40 cm. Află AB.
Rezolvare. MB = MA = 12 cm, deci AB = 40 − 12 − 12 = 16 cm.
Exemplul 4. Segmentul [AB] are 18 cm. Mediatoarea lui intersectează [AB] în M. Cât este AM?
Rezolvare. M este mijlocul: AM = 18 : 2 = 9 cm. Mediatoarea este și perpendiculară pe [AB].

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 19 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  2. Bisectoarea unui unghi este
  3. Bisectoarea unghiului BSL, cu m(∠BSL) = 144°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  4. Bisectoarea unghiului QZX, cu m(∠QZX) = 140°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  5. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [TX] și FT = 9 cm. Cât este FX?
  6. Bisectoarea unghiului KFE, cu m(∠KFE) = 120°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  7. Bisectoarea unghiului XSP, cu m(∠XSP) = 162°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  8. Punctul G se află pe mediatoarea segmentului [XM] și GX = 10 cm. Cât este GM?
  9. Bisectoarea unghiului CAD, cu m(∠CAD) = 162°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  10. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului [AN] și TA = 25 cm. Cât este TN?
  11. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 21 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  12. Bisectoarea unghiului MEQ, cu m(∠MEQ) = 166°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  13. Bisectoarea unghiului EXF, cu m(∠EXF) = 76°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  14. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 11 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  15. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 23 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  16. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 17 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  17. Bisectoarea unghiului LAE, cu m(∠LAE) = 34°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  18. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 24 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  19. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [CH] și YC = 18 cm. Cât este YH?
  20. Bisectoarea unghiului GLS, cu m(∠GLS) = 142°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  21. Punctul N se află pe mediatoarea segmentului [HV] și NH = 14 cm. Cât este NV?
  22. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 20 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  23. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 18 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  24. Punctul R se află pe mediatoarea segmentului [NV] și RN = 6 cm. Cât este RV?
  25. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 9 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  26. Bisectoarea unghiului NCX, cu m(∠NCX) = 80°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  27. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 5 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  28. Punctul N se află pe mediatoarea segmentului [YC] și NY = 25 cm. Cât este NC?
  29. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 12 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  30. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 7 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  31. Bisectoarea unghiului HYC, cu m(∠HYC) = 86°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  32. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 4 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  33. Punctul V se află pe mediatoarea segmentului [FY] și VF = 9 cm. Cât este VY?
  34. Punctul D se află pe mediatoarea segmentului [UC] și DU = 7 cm. Cât este DC?
  35. Punctul D se află pe mediatoarea segmentului [VC] și DV = 5 cm. Cât este DC?
  36. Punctul V se află pe mediatoarea segmentului [TA] și VT = 5 cm. Cât este VA?
  37. Mediatoarea unui segment este dreapta care
  38. Bisectoarea unghiului KPX, cu m(∠KPX) = 106°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  39. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 3 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  40. Bisectoarea unghiului HMQ, cu m(∠HMQ) = 20°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  41. Bisectoarea unghiului DGH, cu m(∠DGH) = 76°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  42. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului [DB] și TD = 15 cm. Cât este TB?
  43. Punctul G se află pe mediatoarea segmentului [EQ] și GE = 25 cm. Cât este GQ?
  44. Bisectoarea unghiului DGP, cu m(∠DGP) = 42°, îl împarte în două unghiuri congruente. Cât măsoară fiecare?
  45. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [ZB] și FZ = 14 cm. Cât este FB?
  46. Punctul P se află pe bisectoarea unghiului AOB. Distanța de la P la dreapta OA este 16 cm. Care este distanța de la P la dreapta OB?PDEOAB
  47. Punctul M se află pe mediatoarea segmentului [LG] și ML = 3 cm. Cât este MG?
  48. Punctul U se află pe mediatoarea segmentului [KL] și UK = 20 cm. Cât este UL?
  49. Punctul A se află pe mediatoarea segmentului [YT] și AY = 7 cm. Cât este AT?
  50. Punctul C se află pe mediatoarea segmentului [ZS] și CZ = 7 cm. Cât este CS?
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 19 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 19 cm.
  2. semidreapta care îl împarte în două unghiuri congruente — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale.
  3. 72° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 144° : 2 = 72°.
  4. 70° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 140° : 2 = 70°.
  5. 9 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: FX = FT = 9 cm.
  6. 60° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 120° : 2 = 60°.
  7. 81° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 162° : 2 = 81°.
  8. 10 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: GM = GX = 10 cm.
  9. 81° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 162° : 2 = 81°.
  10. 25 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: TN = TA = 25 cm.
  11. 21 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 21 cm.
  12. 83° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 166° : 2 = 83°.
  13. 38° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 76° : 2 = 38°.
  14. 11 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 11 cm.
  15. 23 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 23 cm.
  16. 17 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 17 cm.
  17. 17° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 34° : 2 = 17°.
  18. 24 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 24 cm.
  19. 18 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: YH = YC = 18 cm.
  20. 71° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 142° : 2 = 71°.
  21. 14 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: NV = NH = 14 cm.
  22. 20 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 20 cm.
  23. 18 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 18 cm.
  24. 6 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: RV = RN = 6 cm.
  25. 9 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 9 cm.
  26. 40° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 80° : 2 = 40°.
  27. 5 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 5 cm.
  28. 25 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: NC = NY = 25 cm.
  29. 12 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 12 cm.
  30. 7 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 7 cm.
  31. 43° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 86° : 2 = 43°.
  32. 4 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 4 cm.
  33. 9 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: VY = VF = 9 cm.
  34. 7 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: DC = DU = 7 cm.
  35. 5 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: DC = DV = 5 cm.
  36. 5 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: VA = VT = 5 cm.
  37. trece prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe el — Mediatoarea = perpendiculara în mijloc.
  38. 53° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 106° : 2 = 53°.
  39. 3 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 3 cm.
  40. 10° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 20° : 2 = 10°.
  41. 38° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 76° : 2 = 38°.
  42. 15 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: TB = TD = 15 cm.
  43. 25 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: GQ = GE = 25 cm.
  44. 21° — Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 42° : 2 = 21°.
  45. 14 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: FB = FZ = 14 cm.
  46. 16 cm — Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Deci distanța la OB este tot 16 cm.
  47. 3 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: MG = ML = 3 cm.
  48. 20 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: UL = UK = 20 cm.
  49. 7 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: AT = AY = 7 cm.
  50. 7 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: CS = CZ = 7 cm.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Mediatoarea segmentului [BU] cu BU = 56 cm îl intersectează în R. Cât este BR?
  2. Mediatoarea segmentului [TN] cu TN = 58 cm îl intersectează în Q. Cât este TQ?
  3. Mediatoarea segmentului [NQ] cu NQ = 54 cm îl intersectează în Z. Cât este NZ?
  4. Punctul S este pe mediatoarea lui [PH], iar SP = 25 cm. Perimetrul triunghiului SPH este 66 cm. Cât este PH?
  5. Mulțimea punctelor egal depărtate de laturile unui unghi este
  6. Mediatoarea segmentului [MC] cu MC = 36 cm îl intersectează în E. Cât este ME?
  7. Mediatoarea segmentului [VH] cu VH = 28 cm îl intersectează în P. Cât este VP?
  8. Mediatoarea segmentului [AE] cu AE = 24 cm îl intersectează în D. Cât este AD?
  9. Mediatoarea segmentului [KB] cu KB = 46 cm îl intersectează în L. Cât este KL?
  10. Mediatoarea segmentului [XG] cu XG = 16 cm îl intersectează în B. Cât este XB?
  11. Mediatoarea segmentului [KB] cu KB = 6 cm îl intersectează în Q. Cât este KQ?
  12. Mediatoarea segmentului [RK] cu RK = 30 cm îl intersectează în Y. Cât este RY?
  13. Punctul X este pe mediatoarea lui [QG], iar XQ = 23 cm. Perimetrul triunghiului XQG este 72 cm. Cât este QG?
  14. Mulțimea punctelor egal depărtate de capetele unui segment este
  15. Mediatoarea segmentului [RV] cu RV = 36 cm îl intersectează în C. Cât este RC?
  16. Mediatoarea segmentului [MV] cu MV = 26 cm îl intersectează în P. Cât este MP?
  17. Dacă un punct M verifică MA = MB, atunci M se află pe
  18. Mediatoarea segmentului [SE] cu SE = 38 cm îl intersectează în U. Cât este SU?
  19. Mediatoarea segmentului [XL] cu XL = 14 cm îl intersectează în A. Cât este XA?
  20. Mediatoarea segmentului [UV] cu UV = 14 cm îl intersectează în H. Cât este UH?
  21. Punctul X este pe mediatoarea lui [CG], iar XC = 21 cm. Perimetrul triunghiului XCG este 62 cm. Cât este CG?
  22. Mediatoarea segmentului [CQ] cu CQ = 44 cm îl intersectează în R. Cât este CR?
  23. Punctul H este pe mediatoarea lui [AK], iar HA = 20 cm. Perimetrul triunghiului HAK este 54 cm. Cât este AK?
  24. Mediatoarea segmentului [TZ] cu TZ = 52 cm îl intersectează în K. Cât este TK?
  25. Mediatoarea segmentului [PE] cu PE = 36 cm îl intersectează în V. Cât este PV?
  26. Mediatoarea segmentului [YH] cu YH = 44 cm îl intersectează în F. Cât este YF?
  27. Mediatoarea segmentului [RA] cu RA = 38 cm îl intersectează în P. Cât este RP?
  28. Mediatoarea segmentului [UF] cu UF = 22 cm îl intersectează în M. Cât este UM?
  29. Mediatoarea segmentului [GN] cu GN = 10 cm îl intersectează în M. Cât este GM?
  30. Punctul X este pe mediatoarea lui [YL], iar XY = 17 cm. Perimetrul triunghiului XYL este 44 cm. Cât este YL?
  31. Mediatoarea segmentului [PE] cu PE = 18 cm îl intersectează în Q. Cât este PQ?
  32. Mediatoarea segmentului [NA] cu NA = 14 cm îl intersectează în G. Cât este NG?
  33. Mediatoarea segmentului [EC] cu EC = 6 cm îl intersectează în M. Cât este EM?
  34. Punctul A este pe mediatoarea lui [BY], iar AB = 13 cm. Perimetrul triunghiului ABY este 40 cm. Cât este BY?
  35. Mediatoarea segmentului [GS] cu GS = 30 cm îl intersectează în C. Cât este GC?
  36. Punctul S este pe mediatoarea lui [AM], iar SA = 15 cm. Perimetrul triunghiului SAM este 54 cm. Cât este AM?
  37. Mediatoarea segmentului [KG] cu KG = 12 cm îl intersectează în T. Cât este KT?
  38. Mediatoarea segmentului [CH] cu CH = 48 cm îl intersectează în P. Cât este CP?
  39. Mediatoarea segmentului [AP] cu AP = 26 cm îl intersectează în S. Cât este AS?
  40. Punctul Z este pe mediatoarea lui [KX], iar ZK = 22 cm. Perimetrul triunghiului ZKX este 68 cm. Cât este KX?
  41. Mediatoarea segmentului [HT] cu HT = 20 cm îl intersectează în Y. Cât este HY?
  42. Mediatoarea segmentului [PE] cu PE = 46 cm îl intersectează în Z. Cât este PZ?
  43. Punctul F este pe mediatoarea lui [MX], iar FM = 18 cm. Perimetrul triunghiului FMX este 64 cm. Cât este MX?
  44. Punctul Y este pe mediatoarea lui [KX], iar YK = 20 cm. Perimetrul triunghiului YKX este 76 cm. Cât este KX?
  45. Mediatoarea segmentului [VP] cu VP = 10 cm îl intersectează în E. Cât este VE?
  46. Mediatoarea segmentului [UG] cu UG = 30 cm îl intersectează în B. Cât este UB?
  47. Punctul F este pe mediatoarea lui [GM], iar FG = 24 cm. Perimetrul triunghiului FGM este 72 cm. Cât este GM?
  48. Punctul N este pe mediatoarea lui [RC], iar NR = 17 cm. Perimetrul triunghiului NRC este 60 cm. Cât este RC?
  49. Mediatoarea segmentului [HN] cu HN = 40 cm îl intersectează în R. Cât este HR?
  50. Punctul R este pe mediatoarea lui [ZU], iar RZ = 22 cm. Perimetrul triunghiului RZU este 68 cm. Cât este ZU?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 28 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: BR = BU : 2 = 56 : 2 = 28 cm. În plus, este perpendiculară pe [BU].
  2. 29 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: TQ = TN : 2 = 58 : 2 = 29 cm. În plus, este perpendiculară pe [TN].
  3. 27 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: NZ = NQ : 2 = 54 : 2 = 27 cm. În plus, este perpendiculară pe [NQ].
  4. 16 cm — SH = SP = 25 cm, deci PH = 66 − 25 − 25 = 16 cm.
  5. bisectoarea unghiului — Reciproc: orice punct egal depărtat de laturi se află pe bisectoare.
  6. 18 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: ME = MC : 2 = 36 : 2 = 18 cm. În plus, este perpendiculară pe [MC].
  7. 14 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: VP = VH : 2 = 28 : 2 = 14 cm. În plus, este perpendiculară pe [VH].
  8. 12 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: AD = AE : 2 = 24 : 2 = 12 cm. În plus, este perpendiculară pe [AE].
  9. 23 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: KL = KB : 2 = 46 : 2 = 23 cm. În plus, este perpendiculară pe [KB].
  10. 8 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: XB = XG : 2 = 16 : 2 = 8 cm. În plus, este perpendiculară pe [XG].
  11. 3 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: KQ = KB : 2 = 6 : 2 = 3 cm. În plus, este perpendiculară pe [KB].
  12. 15 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: RY = RK : 2 = 30 : 2 = 15 cm. În plus, este perpendiculară pe [RK].
  13. 26 cm — XG = XQ = 23 cm, deci QG = 72 − 23 − 23 = 26 cm.
  14. mediatoarea segmentului — Reciproc: punctele egal depărtate de A și B sunt exact pe mediatoarea lui [AB].
  15. 18 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: RC = RV : 2 = 36 : 2 = 18 cm. În plus, este perpendiculară pe [RV].
  16. 13 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: MP = MV : 2 = 26 : 2 = 13 cm. În plus, este perpendiculară pe [MV].
  17. mediatoarea segmentului [AB] — Egal depărtat de A și B înseamnă pe mediatoare.
  18. 19 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: SU = SE : 2 = 38 : 2 = 19 cm. În plus, este perpendiculară pe [SE].
  19. 7 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: XA = XL : 2 = 14 : 2 = 7 cm. În plus, este perpendiculară pe [XL].
  20. 7 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: UH = UV : 2 = 14 : 2 = 7 cm. În plus, este perpendiculară pe [UV].
  21. 20 cm — XG = XC = 21 cm, deci CG = 62 − 21 − 21 = 20 cm.
  22. 22 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: CR = CQ : 2 = 44 : 2 = 22 cm. În plus, este perpendiculară pe [CQ].
  23. 14 cm — HK = HA = 20 cm, deci AK = 54 − 20 − 20 = 14 cm.
  24. 26 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: TK = TZ : 2 = 52 : 2 = 26 cm. În plus, este perpendiculară pe [TZ].
  25. 18 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: PV = PE : 2 = 36 : 2 = 18 cm. În plus, este perpendiculară pe [PE].
  26. 22 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: YF = YH : 2 = 44 : 2 = 22 cm. În plus, este perpendiculară pe [YH].
  27. 19 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: RP = RA : 2 = 38 : 2 = 19 cm. În plus, este perpendiculară pe [RA].
  28. 11 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: UM = UF : 2 = 22 : 2 = 11 cm. În plus, este perpendiculară pe [UF].
  29. 5 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: GM = GN : 2 = 10 : 2 = 5 cm. În plus, este perpendiculară pe [GN].
  30. 10 cm — XL = XY = 17 cm, deci YL = 44 − 17 − 17 = 10 cm.
  31. 9 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: PQ = PE : 2 = 18 : 2 = 9 cm. În plus, este perpendiculară pe [PE].
  32. 7 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: NG = NA : 2 = 14 : 2 = 7 cm. În plus, este perpendiculară pe [NA].
  33. 3 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: EM = EC : 2 = 6 : 2 = 3 cm. În plus, este perpendiculară pe [EC].
  34. 14 cm — AY = AB = 13 cm, deci BY = 40 − 13 − 13 = 14 cm.
  35. 15 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: GC = GS : 2 = 30 : 2 = 15 cm. În plus, este perpendiculară pe [GS].
  36. 24 cm — SM = SA = 15 cm, deci AM = 54 − 15 − 15 = 24 cm.
  37. 6 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: KT = KG : 2 = 12 : 2 = 6 cm. În plus, este perpendiculară pe [KG].
  38. 24 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: CP = CH : 2 = 48 : 2 = 24 cm. În plus, este perpendiculară pe [CH].
  39. 13 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: AS = AP : 2 = 26 : 2 = 13 cm. În plus, este perpendiculară pe [AP].
  40. 24 cm — ZX = ZK = 22 cm, deci KX = 68 − 22 − 22 = 24 cm.
  41. 10 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: HY = HT : 2 = 20 : 2 = 10 cm. În plus, este perpendiculară pe [HT].
  42. 23 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: PZ = PE : 2 = 46 : 2 = 23 cm. În plus, este perpendiculară pe [PE].
  43. 28 cm — FX = FM = 18 cm, deci MX = 64 − 18 − 18 = 28 cm.
  44. 36 cm — YX = YK = 20 cm, deci KX = 76 − 20 − 20 = 36 cm.
  45. 5 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: VE = VP : 2 = 10 : 2 = 5 cm. În plus, este perpendiculară pe [VP].
  46. 15 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: UB = UG : 2 = 30 : 2 = 15 cm. În plus, este perpendiculară pe [UG].
  47. 24 cm — FM = FG = 24 cm, deci GM = 72 − 24 − 24 = 24 cm.
  48. 26 cm — NC = NR = 17 cm, deci RC = 60 − 17 − 17 = 26 cm.
  49. 20 cm — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului: HR = HN : 2 = 40 : 2 = 20 cm. În plus, este perpendiculară pe [HN].
  50. 24 cm — RU = RZ = 22 cm, deci ZU = 68 − 22 − 22 = 24 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (4x + 2) cm și (3x + 7) cm. Cât este x?PDEOAB
  2. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (2x + 7) cm și (x + 9) cm. Cât este x?PDEOAB
  3. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (2x + 2) cm și (x + 16) cm. Cât este x?PDEOAB
  4. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [NV], cu FN = (5x + 5) cm și FV = (3x + 29) cm. Cât este x?
  5. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului [XD], cu TX = (3x + 3) cm și TD = (x + 15) cm. Cât este x?
  6. Punctul N se află pe mediatoarea segmentului [QM], cu NQ = (2x + 4) cm și NM = (x + 10) cm. Cât este x?
  7. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 8) cm și (2x + 38) cm. Cât este x?PDEOAB
  8. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 2) cm și (x + 14) cm. Cât este x?PDEOAB
  9. Punctul Q se află pe mediatoarea segmentului [GM], cu QG = (3x + 6) cm și QM = (2x + 10) cm. Cât este x?
  10. Punctul C se află pe mediatoarea segmentului [VB], cu CV = (2x + 4) cm și CB = (x + 19) cm. Cât este x?
  11. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 8) cm și (3x + 24) cm. Cât este x?PDEOAB
  12. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [RS], cu FR = (5x + 8) cm și FS = (3x + 16) cm. Cât este x?
  13. Punctul V se află pe mediatoarea segmentului [ET], cu VE = (4x + 7) cm și VT = (x + 34) cm. Cât este x?
  14. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 8) cm și (x + 64) cm. Cât este x?PDEOAB
  15. Punctul B se află pe mediatoarea segmentului [HX], cu BH = (5x + 4) cm și BX = (2x + 28) cm. Cât este x?
  16. Punctul L se află pe mediatoarea segmentului [XC], cu LX = (5x + 7) cm și LC = (3x + 21) cm. Cât este x?
  17. Punctul U se află pe mediatoarea segmentului [EM], cu UE = (3x + 5) cm și UM = (x + 27) cm. Cât este x?
  18. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 6) cm și (2x + 9) cm. Cât este x?PDEOAB
  19. Punctul R se află pe mediatoarea segmentului [BE], cu RB = (5x + 4) cm și RE = (4x + 11) cm. Cât este x?
  20. Punctul E se află pe mediatoarea segmentului [XB], cu EX = (5x + 2) cm și EB = (4x + 11) cm. Cât este x?
  21. Punctul V se află pe mediatoarea segmentului [LP], cu VL = (3x + 7) cm și VP = (2x + 14) cm. Cât este x?
  22. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (4x + 3) cm și (2x + 23) cm. Cât este x?PDEOAB
  23. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (2x + 3) cm și (x + 6) cm. Cât este x?PDEOAB
  24. Punctul R se află pe mediatoarea segmentului [KF], cu RK = (3x + 9) cm și RF = (x + 19) cm. Cât este x?
  25. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului [CB], cu TC = (5x + 8) cm și TB = (2x + 41) cm. Cât este x?
  26. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (2x + 6) cm și (x + 15) cm. Cât este x?PDEOAB
  27. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [AN], cu YA = (4x + 6) cm și YN = (x + 39) cm. Cât este x?
  28. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (2x + 7) cm și (x + 17) cm. Cât este x?PDEOAB
  29. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 4) cm și (x + 48) cm. Cât este x?PDEOAB
  30. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (2x + 6) cm și (x + 13) cm. Cât este x?PDEOAB
  31. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 2) cm și (x + 30) cm. Cât este x?PDEOAB
  32. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 9) cm și (2x + 11) cm. Cât este x?PDEOAB
  33. Punctul H se află pe mediatoarea segmentului [CE], cu HC = (2x + 3) cm și HE = (x + 12) cm. Cât este x?
  34. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 5) cm și (2x + 11) cm. Cât este x?PDEOAB
  35. Punctul U se află pe mediatoarea segmentului [GQ], cu UG = (4x + 8) cm și UQ = (x + 41) cm. Cât este x?
  36. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 9) cm și (2x + 13) cm. Cât este x?PDEOAB
  37. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 5) cm și (x + 23) cm. Cât este x?PDEOAB
  38. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 2) cm și (3x + 30) cm. Cât este x?PDEOAB
  39. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 8) cm și (3x + 20) cm. Cât este x?PDEOAB
  40. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (4x + 6) cm și (3x + 21) cm. Cât este x?PDEOAB
  41. Punctul E se află pe mediatoarea segmentului [DG], cu ED = (3x + 1) cm și EG = (2x + 4) cm. Cât este x?
  42. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 1) cm și (x + 27) cm. Cât este x?PDEOAB
  43. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (4x + 9) cm și (3x + 24) cm. Cât este x?PDEOAB
  44. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (5x + 1) cm și (2x + 31) cm. Cât este x?PDEOAB
  45. Punctul K se află pe mediatoarea segmentului [SX], cu KS = (4x + 1) cm și KX = (2x + 9) cm. Cât este x?
  46. Punctul N se află pe mediatoarea segmentului [AH], cu NA = (3x + 6) cm și NH = (2x + 9) cm. Cât este x?
  47. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (3x + 7) cm și (2x + 17) cm. Cât este x?PDEOAB
  48. Punctul H se află pe mediatoarea segmentului [XS], cu HX = (2x + 8) cm și HS = (x + 17) cm. Cât este x?
  49. Punctul U se află pe mediatoarea segmentului [XS], cu UX = (4x + 8) cm și US = (3x + 20) cm. Cât este x?
  50. Punctul P este pe bisectoarea unghiului AOB. Distanțele de la P la laturi sunt (4x + 7) cm și (3x + 13) cm. Cât este x?PDEOAB
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 5 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 4x + 2 = 3x + 7, de unde x = 5.
  2. 2 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 2x + 7 = x + 9, de unde x = 2.
  3. 14 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 2x + 2 = x + 16, de unde x = 14.
  4. 12 — F este pe mediatoare, deci FN = FV: 5x + 5 = 3x + 29 și 2x = 24, deci x = 12.
  5. 6 — T este pe mediatoare, deci TX = TD: 3x + 3 = x + 15 și 2x = 12, deci x = 6.
  6. 6 — N este pe mediatoare, deci NQ = NM: 2x + 4 = x + 10 și x = 6.
  7. 10 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 8 = 2x + 38, de unde 3x = 30, deci x = 10.
  8. 3 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 2 = x + 14, de unde 4x = 12, deci x = 3.
  9. 4 — Q este pe mediatoare, deci QG = QM: 3x + 6 = 2x + 10 și x = 4.
  10. 15 — C este pe mediatoare, deci CV = CB: 2x + 4 = x + 19 și x = 15.
  11. 8 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 8 = 3x + 24, de unde 2x = 16, deci x = 8.
  12. 4 — F este pe mediatoare, deci FR = FS: 5x + 8 = 3x + 16 și 2x = 8, deci x = 4.
  13. 9 — V este pe mediatoare, deci VE = VT: 4x + 7 = x + 34 și 3x = 27, deci x = 9.
  14. 14 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 8 = x + 64, de unde 4x = 56, deci x = 14.
  15. 8 — B este pe mediatoare, deci BH = BX: 5x + 4 = 2x + 28 și 3x = 24, deci x = 8.
  16. 7 — L este pe mediatoare, deci LX = LC: 5x + 7 = 3x + 21 și 2x = 14, deci x = 7.
  17. 11 — U este pe mediatoare, deci UE = UM: 3x + 5 = x + 27 și 2x = 22, deci x = 11.
  18. 3 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 6 = 2x + 9, de unde x = 3.
  19. 7 — R este pe mediatoare, deci RB = RE: 5x + 4 = 4x + 11 și x = 7.
  20. 9 — E este pe mediatoare, deci EX = EB: 5x + 2 = 4x + 11 și x = 9.
  21. 7 — V este pe mediatoare, deci VL = VP: 3x + 7 = 2x + 14 și x = 7.
  22. 10 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 4x + 3 = 2x + 23, de unde 2x = 20, deci x = 10.
  23. 3 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 2x + 3 = x + 6, de unde x = 3.
  24. 5 — R este pe mediatoare, deci RK = RF: 3x + 9 = x + 19 și 2x = 10, deci x = 5.
  25. 11 — T este pe mediatoare, deci TC = TB: 5x + 8 = 2x + 41 și 3x = 33, deci x = 11.
  26. 9 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 2x + 6 = x + 15, de unde x = 9.
  27. 11 — Y este pe mediatoare, deci YA = YN: 4x + 6 = x + 39 și 3x = 33, deci x = 11.
  28. 10 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 2x + 7 = x + 17, de unde x = 10.
  29. 11 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 4 = x + 48, de unde 4x = 44, deci x = 11.
  30. 7 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 2x + 6 = x + 13, de unde x = 7.
  31. 14 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 2 = x + 30, de unde 2x = 28, deci x = 14.
  32. 2 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 9 = 2x + 11, de unde x = 2.
  33. 9 — H este pe mediatoare, deci HC = HE: 2x + 3 = x + 12 și x = 9.
  34. 2 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 5 = 2x + 11, de unde 3x = 6, deci x = 2.
  35. 11 — U este pe mediatoare, deci UG = UQ: 4x + 8 = x + 41 și 3x = 33, deci x = 11.
  36. 4 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 9 = 2x + 13, de unde x = 4.
  37. 9 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 5 = x + 23, de unde 2x = 18, deci x = 9.
  38. 14 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 2 = 3x + 30, de unde 2x = 28, deci x = 14.
  39. 6 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 8 = 3x + 20, de unde 2x = 12, deci x = 6.
  40. 15 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 4x + 6 = 3x + 21, de unde x = 15.
  41. 3 — E este pe mediatoare, deci ED = EG: 3x + 1 = 2x + 4 și x = 3.
  42. 13 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 1 = x + 27, de unde 2x = 26, deci x = 13.
  43. 15 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 4x + 9 = 3x + 24, de unde x = 15.
  44. 10 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 5x + 1 = 2x + 31, de unde 3x = 30, deci x = 10.
  45. 4 — K este pe mediatoare, deci KS = KX: 4x + 1 = 2x + 9 și 2x = 8, deci x = 4.
  46. 3 — N este pe mediatoare, deci NA = NH: 3x + 6 = 2x + 9 și x = 3.
  47. 10 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 3x + 7 = 2x + 17, de unde x = 10.
  48. 9 — H este pe mediatoare, deci HX = HS: 2x + 8 = x + 17 și x = 9.
  49. 12 — U este pe mediatoare, deci UX = US: 4x + 8 = 3x + 20 și x = 12.
  50. 6 — Distanțele la laturile unghiului sunt egale: 4x + 7 = 3x + 13, de unde x = 6.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a